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1、指数函数习题精讲习题精选精讲 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨 1比较大小 例1 已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3，则f(bx)与f(cx)的大小关系是_ 分析：先求b，c的值再比较大小，要注意bx，cx的取值是否在同一单调区间内 解：f(1+x)=f(1-x)， 函数f(x)的对称轴是x=1 故b=2，又f(0)=3，c=3 函数f(x)在(-，1上递减，在1，+)上递增 若x0，则3x2x1，
2、f(3x)f(2x)； 若x0，则3x2xf(2x) 综上可得f(3x)f(2x)，即f(cx)f(bx) 评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论 2求解有关指数不等式 例2 已知(a+2a+5)23x(a+2a+5)21-x，则x的取值范围是_ 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围 解：a+2a+5=(a+1)+441， 函数y=(a+2a+5)在(-，+)上是增函数， 3x1-x，解得x14+ x的取值范围是，412x22 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式
3、，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论 3求定义域及值域问题 例3 求函数y=1-6x-2x-2的定义域和值域 解：由题意可得1-60，即6x-21， 2 x-20，故x2 函数f(x)的定义域是(-，x-2 令t=6，则y=1-t， x-2 又x2，x-20 06 01-t1，即0y1 1) 函数的值域是0，1，即00且a1)在区间-1，1上有最大值14，则a的值是_ 分析：令t=ax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围 解：令t=ax，则t0，函数y=a2x+2ax-1可化为y=(t+1)2-2，其对称轴为t=-1 当a1时，x-1，1， 1aax
4、a，即1ata 当t=a时，ymax=(a+1)2-2=14 解得a=3或a=-5； 当0a0)，上述方程可化为9t-80t-9=0，解得t=9或t=-，x3=9，x=2，经检验原方程的解是x=2 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根 6图象变换及应用问题 例6 为了得到函数y=93+5的图象，可以把函数y=3的图象 A向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 分析：注意先将函数y=93+5转化为t=3 解：y=93+5=3
5、的图象，故选 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等 习题 1、比较下列各组数的大小： xx+2xxxx+2+5，再利用图象的平移规律进行判断 x+5，把函数y=3的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数y=93+5x习题精选精讲 若 若 若 若 若 ，比较 ，比较 ，比较 与 与 与 ，且 ，且 ； ； ； ，比较a与b； ，比较a与b 解：由 ，故 ，此时函数 为减函数由 ，故 由 ，故 又 ，故 从而 由 ，因 ，故 又 ，故 从而 应有而 因若 ，则 矛盾
6、 又 ，故 ，这样 又因 ，故 从 ，这与已知 应有 因若 ，则 又 ，故 ，这样有 又因 ，且 ，故 从而 ，这与已知 矛盾 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解 2曲线 ( 分别是指数函数 ,在轴右侧令题则是由图到 , 和 的图象,则 与1的大小关系是 ( ). 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值 3 求下列函数的定义域与值域. 1(1)y2x-3; (2)y4x+2x+1+1. 习题
7、精选精讲 1解：(1)x-30，y2x-3的定义域为xxR且x3.又1x-310，2x-31， 1y2x-3的值域为yy0且y1. (2)y4x+2x+1+1的定义域为R.2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21. y4x+2x+1+1的值域为yy1. 4 已知-1x2,求函数f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值 解：设t=3x,因为-1x2，所以小值-24。 5、设 ，求函数 的最大值和最小值 13t9，且f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当t=3即x=1时，f(x)取最大值12，当t=9即x=2时f(x)取最 分析：注意到的求法，可求得函数的最
8、值 解：设 ，由 知， ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间上二次函数的值域 ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函数最小值为 ，因端点6已知函数y=a解： y=a2xx2x 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 +2a-1(a1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值. 2x+2a-1(a1)， 换元为y=t+2t-1(1at1，t=a，即x=1时取最大值，略 解得 a=3 (a= 5舍去) 7已知函数 求 若 且 ） ，求 的取值范围 解： ， 当 即 时， 当 当 有最小值为 ，解得 时， 时， ； 8已知f(x)=x23-1x+m是奇函数，求常数m的值； k无 画出函数y=|3-1|的图象，
9、并利用图象回答：k为何值时，方程|3解？有一解？有两解？ 习题精选精讲 解： 常数m=1 当k0时，直线y=k与函数y=|3-1|的图象无交点,即方程无解; xy=|3-1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当k=0或k1时, 直线y=k与函数 当0k0且a1). (1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性. 解：(1)易得f(x)的定义域为xxR. 设ya-1a+1xx,解得ax-y+1y-1ax0当且仅当-y+1y-10时，方程有解.解-y+1y-10得-1y1时，ax+1为增函数，且ax+10. 2ax+1为减函数，从而f(x)1-2ax+1a-1a+1xx为增函数.2当0a0 4+1x1x2(4+1)(4+1)0x1x21 f(x1)-f(x2)=(2x1-2x2)+(2x1xx+2x2x2-2x2+2x1)(4+1)(4+1)在上为减函数。 f(x)在上为减函数。 f(1)f(x)1)的图像是( ) 分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想. 解法1：(分类讨论)： ax(x0),去绝对值，可得y1 x(x1，由指数函数图像易知，应选B. 解法2：因为yax是偶函数，又a1，所以当x0时，yax是增函数；x0时，ya-x是减函数. 应选B.
