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1、第三章 多维随机变量及其分布,关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度,1 二维随机变量,问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H的分布或仅研究体重W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。,定
2、义：设E是一个随机试验，样本空间S=e；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。,定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，二元函数称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。,几何意义,(X,Y)平面上随机点的 坐标,即为随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点,位于该点左下方的无穷矩形区域G内的概率值。,分布函数 的性质,2.二维离散型随机变量的联合分布,中心问题：(X,Y)取这些可能值的概率分别为多少？,定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散型随机变量。,则,(
3、1)公式法,二维（X，Y）的联合分布律:,(2)表格法,(X,Y)的概率分布表：描述(X,Y)的取值规律,例1：将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，试求(X,Y)的联合分布律。,（0,3）（1,1）（2,1）（3,3）,P(X=0,Y=3)=P(反反反)=1/8,解:(X,Y)所有可能的取值为：,例2:设随机变量X在1,2,3,4中随机地取一个数,另一随机变量Y在1到X中随机地取一整数.求(X,Y)的分布律。,分析(X,Y)所有可能的取值为：(1,1);(2,1)、(2,2);(3,1)、(3,2)、(3,3);(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4
4、,4).,解：设X可能的取值为,Y可能的取值为,则：,(X,Y)的联合分布律为:,X,Y,二维连续型随机变量,说明,(2)的性质,分布函数 是连续函数.(因为 是积分上限函数),反映(X,Y)落在 处附近的概率大小,概率微分,描述(X,Y)的取值规律,例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：,例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度(1)求常数k；(2)求概率 解：,2 边缘分布,二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为：称为边缘分布函数。,事实上，,对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为,X,Y的边缘分布律为：,注意：,我们常在表格上直接
5、求边缘分布律,1,例:求例1中二维随机变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.,1,X与Y的边缘分布律如下:,实际应用例子,X,Y,对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为,事实上，,同理：,X,Y的边缘概率密度为：,例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值；(2)X,Y的边缘分布律；(3),(2),解：(1)由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4,例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边缘概率密度 解：,二维正态分布的图形,作业题（同济大学）,
6、P64：3 题、5题、6题和7题,1.当（X，Y）为离散型,三.二维随机变量的条件分布,定义 在(X,Y)中，当一个随机变量取固定值的条件下，另一个随机变量的分布，此分布为条件分布,在 条件下，X的条件分布,固定值,自变量,同理,总和,分量,例8 在例2中，求：(1)在X=3的条件下Y的条件分布律；(2)求在Y=1的条件下X的条件分布律。,因为：,所以，,类似可求：,2.当（X，Y）为连续型,总和,分量,例:设二维随机变量(X,Y)的 概率密度为：,解,独立性,独立性,复习:两个事件A与B独立性的定义,P(AB)=P(A)P(B),四、随机变量的独立性,1、定义：设X与Y是两个随机变量,若对任
7、意的,(1)由定义可知：若X与Y独立,则,(2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:,(3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:,2、随机变量独立性的重要结论,(4)联合分布和边缘分布的关系,联合分布,边缘分布,条件：独立性,例:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为:,一般n维随机变量的一些概念和结果,边缘分布 如：,相互独立,作业题（同济大学）,P65：12题、14题,1.(X,Y)离散,使 对应的(X,Y)的那些可能值,其概率之和,5 两个随机变量的函数的分布,例1:设二维随机变量(X,Y)的分布律为:,求Z=X+Y的分布律.,解:Z的所有取值为:,1,2,3,4,5,6.
8、,2.(X,Y)连续型,方法:分布函数法,解：由 x,y,的取值及Z与X、Y的函数关系可知，Z的取值范围（Z的密度函数不为0的范围）是 0 z 1,首先求Z的分布函数；,当 0z1时，如图：,则Z的密度函数为：,0z1,下面我们就几个具体的函数来讨论,Z=X+Y的分布,由概率密度的定义可得Z的概率密度为：,固定,特别地，当X和Y相互独立时，上述两式变为（称为卷积公式）：,例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量,它们都服从N(0,1),即有,求Z=X+Y的概率密度。,解：由卷积公式,结论:,分布的可加性,例2:设随机变量X与Y独立同分布，X的概率密度为：,求Z=X+Y的概率密度。,解：由卷积公式
9、,特别地,当X和Y相互独立时,有,2.Z=X-Y,类似与Z=X+Y的情形,可知,例3:设随机变量X与Y独立同分布,X的概率密度为：,求Z=X-Y的概率密度。,解：由卷积公式,3.M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)。,由于,现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。,(1)M=max(X,Y)的分布函数为：,(2)N=min(X,Y)的分布函数为：,例1：设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为:(1)串联;(2)并联;(3)备用(当L1损坏时，L2开始工作)，
10、如图所示。,（1）,（2）,（3）,L1，L2的寿命分别用X，Y表示，已知它们的概率密度分别为:,试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.,解:(1)串联的情况:Z=min(X,Y),X,Y的分布函数分别为：,Z=min(X,Y)的分布函数为：,Z的概率密度为:,（2）并联的情况：Z=max(X,Y),Z=max(X,Y)的分布函数为：,Z的概率密度为:,（3）备用的情况：Z=X+Y,Z的概率密度为:,作业题（同济大学）,P64：1题、3 题、9题和12题,复习联合分布函数，联合分布律，联合概率密度,复习-边缘分布,复习-条件分布律，条件密度函数,(1)由定义可知：若X与Y独立,则,(2)离散型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:,(3)连续型随机变量，X与Y相互独立的充要条件为:,随机变量独立性的重要结论,1.(X,Y)离散,使 对应的(X,Y)的那些可能值,其概率之和,5 两个随机变量的函数的分布,2.(X,Y)连续型,方法:分布函数法,特别地，当X和Y相互独立时，上述两式变为（称为卷积公式）：,特别地,当X和Y相互独立时,有,(2).Z=X-Y,类似与Z=X+Y的情形,可知,(3)X,Y相互独立时，M=max(X,Y)的分布函数为：,(4)X,Y相互独立时，N=min(X,Y)的分布函数为：,
