特别解析椭圆经典例题分类.docx

《特别解析椭圆经典例题分类.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特别解析椭圆经典例题分类.docx（52页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、特别解析椭圆经典例题分类特别解析：椭圆经典例题分类 题型一 .椭圆定义的应用 0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程 例1 椭圆的一个顶点为A(2， 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 x2y2=1； 0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：+解：当A(2，41x2y2=1； 0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：+ 当A(2，416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况 x2y21+=1的离心率e=，求k的值 例2 已知椭圆k+892 分析：分两种情况进行讨论 解：当椭圆的焦点在x轴

2、上时，a=k+8，b=9，得c=k-1由e= 当椭圆的焦点在y轴上时，a=9，b=k+8，得c=1-k 2222221，得k=4 211-k15，得=，即k=- 29445 满足条件的k=4或k=- 4 由e=说明：本题易出现漏解排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上故必须进行讨论 x2y2+=-1表示椭圆，求k的取值范围 例3 已知方程k-53-kk-50,解：由3-k0,得3k5，且k4满足条件的k的取值范围是3k5，且k4 k-53-k,说明：本题易出现如下错解：由k-50,得3k5，故k的取值范围是3k5 3-kb0这个条件，当a=b

3、时，并不表示椭圆 例4 已知xsina-ycosa=1(0ap)表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围 分析：依据已知条件确定a的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出a的取值范围 22 1 x2y211+=1因为焦点在y轴上，所以- 解：方程可化为0 11cosasinasinacosa 因此sina0且tana0，-0，这是容易忽视的地方 sinacosa1122 (2)由焦点在y轴上，知a=-，b= (3)求a的取值范围时，应注cosasina意题目中的条件0ab0)，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，Pab是椭圆上一点，A1PA2=q，F1PF2=a求：DF1PF2的面积

4、 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a的两邻边，从而利用SD=1absinC求面积 2解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知：F1F222 =PF-2PFPFcosa=4c1+PF212222b2由椭圆定义知： PF 1+PF2=2a ， 则得：PF1PF2=1+cosa2故SDF1PF212b21asina =b2tan =PF1PF2sina =21+cosa222 x2y2+=1内有一点A(1,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭 例2 已知椭圆95圆上一点 求PA+PF1的最大值、最小值及对应的点P坐标

5、； 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解 解：如上图，2a=6，F2(2,0)，AF2=设P是椭圆上任一点，由PF2，1+PF2=2a=6，PAPF2-AF2，PA+PF1PF1+PF2-AF2=2a-AF2=6-2，等号仅当PA=PF2-AF2时成立，此时P、A、F2共线 由PAPF2+AF2，PA+PF1PF1+PF2+AF2=2a+AF2=6+2，等号仅当PA=PF2+AF2时成立，此时P、A、F2共线 x+y-2

6、=0,建立A、F2的直线方程x+y-2=0，解方程组2得两交点 25x+9y=45915515915515、P(-2,+2)P(+2,-2) 12714714714714综上所述，P点与P1重合时，PA+PF1取最小值6-2，P点与P2重合时，PA+PF2取最大值6+2 题型三 参数方程应用 x2+y2=1上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值 例1 求椭圆3分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值 解：椭圆的参数方程为x=3cosq，设椭圆上的点的坐标为y=sinq.(3cosq，sinq，则点到直线的) 3 距离为：d=p2sin-q+63cosq

7、-sinq+63 =22当sinp-q=-1时，d最小值=22 3说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程 x2y2+=1的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积 例2 (1)写出椭圆94分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题 解：(1) x=3cosq(qR) y=2sinq (2)设椭圆内接矩形面积为S，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x轴和y轴，设p(3cosq,2sinq)为矩形在第一象限的顶点，(0qb0)与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使abOPAP(O为坐标原

8、点)，求其离心率e的取值范围 分析：O、A为定点，P为动点，可以P点坐标作为参数，把OPAP，转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a、b、c的一个不等式，转化为关于e的不等式为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程 解：设椭圆的参数方程是x=acosq(ab0)， y=bsinq则椭圆上的点P(acosq,bsinq)，A(a,0)， OPAP，bsinqbsinq=-1， acosqacosq-a22b2即(a-b)cosq-acosq+b=0，解得cosq=1或cosq=2， 2a-b222b21，又b2=a2-c2 -1cosq1 cosq=1，-122a-b 4 22a2e

9、1 02，又0e0符合题意，442x+4y-3=0为所求 将y1-y2=2代入得所求轨迹方程为：x+4y=0 x1-x2y1-y2y-122=代入得所求轨迹方程为：x+2y-2x-2y=0 x1-x2x-2将2x12+x22+y12+y2=2， 将平方并整理得： 由得 2()22x12+x2=4x2-2x1x2， y12+y2=4y2-2y1y2 4x2-2x1x2+4y2-2y1y2=2 将代入得： 4()y211222=1 再将y1y2=-x1x2代入式得：2x-x1x2+4y-2-x1x2=2， 即：x+1222此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 x2y

10、2=1， 例4 已知椭圆C：+试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上438 有不同的两点关于该直线对称 分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1)直线ABl；(2)弦AB的中点M在l上利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围 B(x2,y2)两点关于直线l对称， 解：(法1)设椭圆上A(x1,y1)，直线AB与l交于M(x0,y0)点 y=-x+n,14l的斜率kl=4，设直线AB的方程为y=-x+n由方程组消去y得 224xy+=1,34113x2-8nx+16n2-48=0 。x1+x2=8nx+x24n于是x0=1，=13213112n4

11、n12n，即点M的坐标为(y0=-x0+n=,)点M在直线y=4x+m上，41313134n13n=4+m解得n=-m 13422将式代入式得13x+26mx+169m-48=0 A，B是椭圆上的两点，D=(26m)-413(169m-48)0解得-(法2)同解法1得出n=-22213213m 131313413m，x0=(-m)=-m， 4134113113y0=-x0-m=-(-m)-m=-3m，即M点坐标为(-m,-3m) 4444(-m)2(-3m)2+1 A，B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，43解得-213213m0，建立参数方程(2)利用弦AB的中点M(x0,y0)在椭xy圆内

12、部，满足0+06，解得m3 解：方程变形为62m又c=2，所以2m-6=2，m=5适合故m=5 20)，a=3b，求椭圆的标准方程 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3，分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况根据题设条件，运用待定系数法， 11 求出参数a和b的值，即可求得椭圆的标准方程 22x2y2解：当焦点在x轴上时，设其方程为2+2=1(ab0) ab0)，知由椭圆过点P(3，90+2=1又a=3b，代入得b2=1，a2=9，故椭圆的方程为2abx2+y2=1 9y2x2当焦点在y轴上时，设其方程为2+2=1(ab0) ab0)，知由椭圆过点P(3，90+2=1又a=3b

13、，联立解得a2=81，b2=9，故椭圆的方程为2aby2x2+=1 819例3 DABC的底边BC=16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹 分析：由已知可得GC+GB=20，再利用椭圆定义求解 由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程 解： 以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为(x，y)，由GC+GB=20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点因a=10，c=8，有b=6， x2y2+=1(y0) 故其方程为10036x2y2+=1(y0) 设A(x，y)，G(x，y)，则10036xx=，x2y2

14、3+=1(y0)，其轨迹是椭圆 例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程 4525和，过P点作33 12 解：设两焦点为F1、F2，且PF1=4525，PF2=从椭圆定义知2a=PF即1+PF2=2533a=5 从PF所以在RtDPF2F1中，sinPF1F2=2垂直焦点所在的对称轴，1PF2知PFPF21 =，PF12可求出PF1F2=p6，2c=PF1cosp6=1025222，从而b=a-c= 33x23y23x2y2+=1或+=1 所求椭圆方程为510105x2y2例5 已知椭圆方程2+2=1(ab0)，长轴

15、端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是椭圆上一ab点，A1PA2=q，F1PF2=a求：DF1PF2的面积 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角a的两邻边，从而利用SD=1 absinC求面积2解：如图，设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限由余弦定理知： F1F222 =PF-2PFPFcosa=4c1+PF212222b2由椭圆定义知： PF 1+PF2=2a ，则得 PF1PF2=1+cosa2故SDF1PF212b21asina =b2tan =PF1PF2sina =21+cosa222(x-3)+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆

16、心P0)，例6 已知动圆P过定点A(-3，且在定圆B：的轨迹方程 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式 解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M动点P到两定点， 0)距离之和恰好等于定圆半径， 0)和定圆圆心B(3，即定点A(-3，即PA+PB=PM+PB=BM=8点P的轨迹是以A，B为两焦点， x2y2+=1 半长轴为4，半短轴长为b=4-3=7的椭圆的方程：16722 13 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想方法 x211+y2=1，例7 已知椭圆求过点P，且被P平分的弦所在直线的方程； 222求斜率为2的平

17、行弦的中点轨迹方程； 1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； 过A(2，椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ=-求线段PQ中点M的轨迹方程 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法 解：设弦两端点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点R(x，y)，则 1， 2x12+2y12=2，22x2+2y2=2，x1+x2=2x，y+y=2y，12得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0 由题意知x1x2，则上式两端同除以x1-x2，有(x1+x2)2(y1+y2)y1+y2=0， x1-x2将代入得x

18、+2y将x=y1-y2=0 x1-x2y-y2111=-，故所求直线方程为： 2x+4y-3=0 ，y=代入，得1x1-x2222222将代入椭圆方程x+2y=2得6y-6y-11=0，D=36-460符合题意，442x+4y-3=0为所求 将y1-y2=2代入得所求轨迹方程为： x+4y=0 x1-x2y1-y2y-122=代入得所求轨迹方程为： x+2y-2x-2y=0 x1-x2x-2将2x12+x22+y12+y2=2， ， 将平方并整理得 由得 ： 2()22x12+x2=4x2-2x1x2， ， y12+y2=4y2-2y1y2， 14 4x2-2x1x2+4y2-2y1y2=2，

19、 将代入得： 4()再将y1y2=-11x1x2代入式得： 2x2-x1x2+4y2-2-x1x2=2， 即 22y2x+=1 122此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 例8 已知椭圆4x+y=1及直线y=x+m 当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ 若直线被椭圆截得的弦长为22210，求直线的方程 52222解：把直线方程y=x+m代入椭圆方程4x+y=1得 4x+(x+m)=1， 2222即5x+2mx+m-1=0D=(2m)-45m-1=-16m+200，解得-2()55m 22m2-12m设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由得x1+x2=-，x

20、1x2= 55m2-12102m=根据弦长公式得 ：1+1-解得m=0方程为y=x -455522说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式D；解决弦长问题，一般应用弦长公式 用弦长公式，若能合理运用韦达定理，可大大简化运算过程 x2y2+=1的焦点为焦点，过直线l：x-y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的例9以椭圆123长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程 x2y2+=1的焦点为F1(-3，0) 0)，F2(3，解：如图所示，椭圆123点F1关于直线l：x-y+9=0的对称点F的坐标为，直

21、线FF2的方程 15 为x+2y-3=0 解方程组x+2y-3=0得交点M的坐标为此时MF1+MF2最小 x-y+9=0所求椭圆的长轴：2a=MF1+MF2=FF2=65，a=35，又c=3， x2y2+=1 b=a-c=35-3=36因此，所求椭圆的方程为4536222()22x2y2+=-1表示椭圆，求k的取值范围 例10 已知方程k-53-kk-50,解：由3-k0,得3k5，且k4 k-53-k,满足条件的k的取值范围是3k5，且k4 k-50,说明：本题易出现如下错解：由得3k5，故k的取值范围是3k5 3-kb0这个条件，当a=b时，并不表示椭圆 例11 已知xsina-ycosa

22、=1(0ap)表示焦点在y轴上的椭圆，求a的取值范围 分析：依据已知条件确定a的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出a的取值范围 22x2y211+=1因为焦点在y轴上，所以-解：方程可化为0 11cosasinasinacosa因此sina0且tana0，-0，这是容易忽视的地方 sinacosa1122(2)由焦点在y轴上，知a=-，b= (3)求a的取值范围时，应注意题目中的条件cosasina0a0，n0)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求22 16 出方程 22解：设所求椭圆方程为mx+ny=1(m0，n0)由A(3,-2)和B(-23,1)两点在椭圆上可得 223

23、m+4n=1,11m(3)+n(-2)=1,即所以，故所求的椭圆方程为m=n=2215512m+n=1,m(-23)+n1=1,x2y2+=1 155例13 知圆x2+y2=1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹 分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹 解：设点M的坐标为(x,y)，点P的坐标为(x0,y0)，则x=因为P(x0,y0)在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1 将x0=2x，y0=y代入方程x02+y02=1得4x2+y2=1所以点M的轨迹是一个椭圆x0，y=y0 24x2+y2=1 说明：此题是利用相

24、关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为(x,y)， 设已知轨迹上的点的坐标为(x0,y0)，然后根据题目要求，使x，y与x0，y0建立等式关系， 从而由这些等式关系求出x0和y0代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x，y的方程， 化简后即我们所求的方程这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握 例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 分析：可以利用弦长公式AB=1+kx1-x2=(1+k)(x1+x2)-4x1x2求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求 解：(法1)利用

25、直线与椭圆相交的弦长公式求解 222p的直线3AB=1+k2x1-x2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2因为a=6，b=3，所以c=33因为焦 17 点在x轴上， x2y2+=1，左焦点F(-33,0)，从而直线方程为y=3x+9 所以椭圆方程为369由直线方程与椭圆方程联立得：13x+723x+368=0设x1，x2为方程两根，所以2x1+x2=-72313，x1x2=36813，k=3， 从而AB=1+k2x1-x2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解 48 13x2y2+=1，设AF由题意可知椭圆方程为 1=m，BF1=n，则AF2=12-m，BF2=12-n369在DAF1F2中，AF2=AF1+F1F2-2AF1F1F2c222p3o，s即1(12-m)2=m2+363-2m63； 2所以m=6648同理在DBF1F2中，用余弦定理得n=，所以AB=m+n= 134-34+