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1、电磁场与电磁波课后习题及答案电磁场与电磁波课后习题解答 1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A=ex+ey2-ez3 B=-ey4+ez C=ex5-ez2 求：aA；A-B；AgB；qAB；A在B上的分量；AC； Ag(AB)C和A(BC)。 (BC)和(AB)gC；解 aA=ex+ey2-ez3A123 =ex+ey-ez222A1414141+2+(-3)A-B=(ex+ey2-ez3)-(-ey4+ez)=ex+ey6-ez4=53 AgB=(ex+ey2-ez3)g(-ey4+ez)=11 AgB-1111111，得 q=co-=-(-)=135.5o sABAB141723823
2、8AgB11 A在B上的分量 AB=Acoq=-sAB=B17exeyez由 coqsAB=AC=12-3=-ex4-ey13-ez10 0-2ex5exeyez1=ex8+ey5+ez20 ez5由于BC=0-40-2eyAB=12-3=-ex10-ey1-ez4 0-41所以 Ag(BC)=(ex+ey2-ez3)g(ex8+ey5+ez20)=-42 (AB)gC=(-ex10-ey1-ez4)g(ex5-ez2)=-42 ex5exA(BC)=1eyez(AB)C=-10-1-4=ex2-ey40+ez5 0-2ey5ez202-3=ex55-ey44-ez11 8 1.2 三角形的三
3、个顶点为P、P(4,1,-3)和P。 1(0,1,-2)3(6,2,5)2 判断DPPP是否为一直角三角形； 123 求三角形的面积。 解 三个顶点P、P和P的位置矢量分别为 1(0,1,-2)3(6,2,5)2(4,1,-3) r1=ey-ez2，r2=ex4+ey-ez3，r3=ex6+ey2+ez5 则 R12=r2-r1=ex4-ez， R23=r3， -r=2ex2+ey+ez8R31=r1-r3=-ex6-ey-ez7 由此可见 R12gR23=(ex4-ez)g(ex2+ey+ez8)=0 故DPP为一直角三角形。 12P3 三角形的面积 S=1RR=1R12231=1769=1
4、7. 1323222 1.3 求P(-3,1,4)点到P(2,-2,3)点的距离矢量R及R的方向。 解 rP=-ex3+ey+ez4，rP=ex2-ey2+ez3， 12R则 RPP=rP-rP=ex5-ey3-ez 且RPP与x、y、z轴的夹角分别为 exgRPP5)=cos-1=32.31o RPP35eygRPP-3-1fy=cos=cos-1=120.47o RPP35egR1fz=cos-1(zPP)=cos-1(-)=99.73o RPP351.4 给定两矢量A=ex2+ey3-ez4和B=ex4-ey5+ez6，求它们之间的夹角和A在fx=cos-1(B上的分量。 解 A与B之间
5、的夹角为 qAB=cos-1(AgB-31)=cos-1=131o AB2977A在B上的分量为 AB=AgB-31=-3.532 B771.5 给定两矢量A=ex2+ey3-ez4和B=-ex6-ey4+ez，求AB在C=ex-ey+ezex解 AB=2上的分量。 eyez3-4=-ex13+ey22+ez10 -6-41所以AB在C上的分量为 (AB)C=(AB)gC25=-=1-4.4 3C31.6 证明：如果AgB=AgC和AB=AC，则B=C； 解 由AB=AC，则有A(AB)=A(AC)，即 (AgB)A-(AgA)B=(AgC)A-(AgA)C 由于AgB=Ag=(AgA) CC
6、，于是得到 (AgA)B故 B=C 1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p=AgX而P=AX，p和P已知，试求X。 解 由P=AX，有 AP=A(AX)=(AgX)A-(AgA)X=pA-(AgA)X 故得 X=球坐标中的坐标。 pA-AP AgA2p1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,直角坐标中的坐标；,3)定出，求该点在：3解 在直角坐标系中 x=4cosp(2=3)-、2y=4sin(2p3)=23、z=3 故该点的直角坐标为(-2,23,3)。 2在球坐标系中 -1oor=4+32=5、q=tan(43)=53.1、f
7、=2p3=120 故该点的球坐标为(5,53.1o,120o) 25， r2求在直角坐标中点(-3,4,-5)处的E和Ex； 1.9 用球坐标表示的场E=er求在直角坐标中点(-3,4,-5)处E与矢量B=ex2-ey2+ez构成的夹角。 解 在直角坐标中点(-3,4,-5)处，r2=(-3)2+42+(-5)2=50，故 E=er251 =r221-332 Ex=exgE=Ecosqrx=-25220在直角坐标中点(-3,4,-5)处，r=-ex3+ey4-ez5，所以 E=2525r-ex3+ey4-ez5 =3=2rr102故E与B构成的夹角为 qEB=cos-1(EgB19(102)=
8、cos-1(-)=153.6o EgB321.10 球坐标中两个点(r1,q1,f1)和(r2,q2,f2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为 cosg=cosq1cosq2+sinq1sinq2cos(f1-f2) 解 由 R1=exr1sinq1cosf1+eyr1sinq1sinf1+ezr1cosq1R2=exr2sinq2cosf2+eyr2sinq2sinf2+ezr2cosq2 得到 cosg=R1gR2= R1R2121211212 sinqcosfsinqcosf+sinqsinfsinqsinf+cosqcosq= 1122112212sinqsinq
9、(cosfcosf+sinfsinf)+cosqcosq= sinq1sinq2cos(f1-f2)+cosq1cosq2 1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： 2pg(e3sinq)gdS的值。 rS解 g(e3sinq)gdS=g(e3sinq)gedS=df3sinq5rrrSSp2sinqdq=75p2 001.12 在由r=5、z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量A=er2+e2z验证散度定rz理。 解 在圆柱坐标系中 gA=42p1(rr2)+(2z)=3r+2 rrz50所以 又 gAdt=dzdf(3r+2)rdr=1200p t002rgAgdS=g(erSS
10、+ez2z)g(erdSr+efdSf+ezdSz)= 52p42p 故有 50025dfdz+24rdrdf=1200p 00SAgdS gAdt=1200p=gt1.13 求矢量A=exx2+eyx2y2+ez24x2y2z3的散度；求gA对中心在原点的一个单位立方体的积分；求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。 222223(x)(xy)(24xyz)解 gA=+=2x+2x2y+72x2y2z2 xyzgA对中心在原点的一个单位立方体的积分为 12121212222 gAdt=(2x+2xy+72xyz)dxdydz=24t-12-12-12 A对此立方体表面的积分 1212AgdS
11、=dydz-(-)dydz+ g22S-12-12-12-121212121212122 2xdxdz-2x(-)dxdz+ 22-12-12-12-12212121212131221322 24xydxdy-24xy(-)dxdy=2224-12-12-12-1212121212故有 1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求gr对球体积的积分。 2ptgAdt=1=AgdS g24Sp解 grgdS=grgerdS=SS23 dfaasinqdq=4pa00又在球坐标系中，gr=12(rr)=3，所以 2rr2ppatgrdt=23 3rsinqdrdqdf=4pa
12、00021.15 求矢量A=exx+eyx2+ezyz沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。 22222解 gAgdl=xdx-xdx+2C000dy-0dy=8 0ex又 A=xxeyyx2ez=ex2yz+ez2x zy2z22所以 AgdS=S(e2yz+e2x)gexz00Szdxdy=8 故有 gAgdl=8=AgdS C1.16 求矢量A=exx+eyxy2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算A对此圆面积的积分。 解 gAgdl=gxdx+xydy=CC22ppa4 (-acosfs
13、inf+acosfsinf)df=242204AxAgdS=e(-)gezdS=zxySSAypa4 ydS=rsinfrdfdr=222S00a2p41.17 证明：gR=3；R=0；(AgR)=A。其中R=exx+eyy+ezz，A为一常矢量。 解 gR=xyz+=3 xyz可得到 exeyez R=0 xyzxyy设A=exAx+eyAy+ezAz，则AgR=Axx+Ayy+Azz，故 (AgR)=ex(Axx+Ayy+Azz)+ey(Axx+Ayy+Azz)+ xyez(Axx+Ayy+Azz)=exAx+eyAy+ezAz=A z1.18 一径向矢量场F=erf(r)表示，如果gF=
14、0，那么函数f(r)会有什么特点呢？ 1d解 在圆柱坐标系中，由 gF=rf(r)=0 rdrf(r)=CrC为任意常数。 在球坐标系中，由 gF=1d2rf(r)=0 2rdrC 可得到 f(r)=2r1.19 给定矢量函数E=exy+eyx，试求从点P到点P的线积分-1)1(2,1,-1)2(8,2,沿抛物线x=y2；沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？ Egdl：dl=Edx+Edy=ydx+xdy= 解 EgxyCCC222226yyd(2y)+2ydy=dy=14 11连接点P1(2,1,-1)到点P2(8,2,-1)直线方程为 x-2x-8= 即 x-6y+4=0 y-1y-22
15、2故 CEgdl=ECxdx+Eydy=yd(6y-4)+(6y-4)dy=(12y-4)dy=14 11由此可见积分与路径无关，故是保守场。 1.20 求标量函数Y=x2yz的梯度及Y在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量ex345定出；求(2,3,1)点的方向导数值。 +ey+ez5050502解 Y=ex(xyz)+ey(x2yz)+ez(x2yz)= xyzex2xyz+eyx2z+ezx2y z rDf r Dr Dz o f x z y 345的方向导数为 +ey+ez50505022Y6xyz4xz5xy =Ygel=+l505050点(2,3,1)处沿el的方向导数值为 Y
16、361660112 =+=l50505050故沿方向el=ex1.21 试采用与推导直角坐标中的通量为 AxAyAz相似的方法推导圆柱坐标下的公式 gA=+题1.21图 xyzAfAz1。 gA=(rAr)+rrrfz解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面f+Dfz+Dzf+Dfz+DzDf Yr=fzArr+Dr(r+Dr)drdf-fzArrrdrdf (rAr)1(rAr)DrDfDz=Dt rrr(r+Dr)Ar(r+Dr,f,z)-rAr(r,f,z)DfDz同理 r+Drz+Dzr+Drz+DzYf=rzr+Drf+DfAff+Dfdr
17、dz-rzAffdrdz Af(r,f+Df,z)-Af(r,f,z)DrDzr+Drf+DfAffDrDfDz=AfrfDt Yz=frAzz+Dzrdrdf-frAzzrdrdf AzArDrDfDz=zDt zzAz(r,f,z+Dz)-Az(r,f,z)rDrDfDz因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为 1(rAr)AfAz+Dt rrrfzY1(rAr)AfAz =+故得到圆柱坐标下的散度表达式 A=limDt0Dtrrrfz=r+f+z222xyz1.22 方程u=+2+2给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 2abc2x2y2z 解 由于 u=ex+e+eyza2
18、b2c2 u=2(x)2+(y)2+(z)2 222故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 abcn=uxyz=(ex2+ey2+ez2)abcu(x2y2z2 )+222abc1.23 现有三个矢量A、B、C为 A=ersinqcosf+eqcosqcosf-efsinf B=erz2sinf+efz2cosf+ez2rzsinf C=ex(3y2-2x)+eyx2+ez2z 哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ 求出这些矢量的源分布。 解在球坐标系中 1211AfgA=2(rAr)+(sinqAq)+=rrrsinqqrsinqf1211(rsinqco
19、sf)+(sinqcosqcosf)+(-sinf)= 2rrrsinqqrsinqf2cosf2sinqcosfcosfsinqcosf+-=0 rrsinqrrsinqer1A=2rsinqrArreqqrAqrsinqef= frsinqAfer1r2sinqrsinqcosfreqqrcosqcosfrsinqef=0 f-rsinqsinf故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示； 在圆柱坐标系中 11BfBz gB=(rBr)+=rrrfz112 (rz2sinf)+(zcosf)+(2rzsinf)= rrrfzz2sinfz2sinf-+2rsin
20、f=2rsinf rrerB=1rrBrreqfrBqezerreqfrz2cosfez=0 z2rzsinf1=zrrBzz2sinf故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中 gC=CxCyCz +=xyz(3y2-2x)+(x2)+(2z)=0xyzeyyx2ez=ez(2x-6y) z2zexC=x3y2-2x故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。 这些矢量的源分布为 gA=0，A=0； gB=2rsinf，B=0； 1.24 利用直角坐标，证明 解 在直角坐标中 gC=0，C=ez(2x-6y) g(fA)=fgA+Agf fgA+Agf=f(AxAyAzfff+)+(A
21、x+Ay+Az)= xyzxyzAAAfff(fx+Ax)+(fy+Ay)+(fz+Az)= xxyyzz(fAx)+(fAy)+(fAz)=g(fA) xyzg(AH)=HgA-AgH 1.25 证明 解 根据算子的微分运算性质，有 g(AH)=Ag(AH)+Hg(AH) 式中A表示只对矢量A作微分运算，H表示只对矢量H作微分运算。 由ag(bc)=cg(ab)，可得 Ag(AH)=Hg(AA)=Hg(A) 同理 Hg(AH)=-Ag(HH)=-Ag(H) 故有 g(AH)=HgA-AgH 1.26 利用直角坐标，证明 (fG)=fG+fG 解 在直角坐标中 GyGxGxGzGzGyfG=f
22、ex(-)+ey(-)+ez(-) yzzxxyffffff-Gy)+ey(Gx-Gz)+ez(Gy-Gx) fG=ex(Gzyzzxxy所以 GyGzfffG+fG=ex(Gz+f)-(Gy+f)+ yyzzGxGzffey(Gx+f)-(Gz+f)+ zzxxGyGxffez(Gy+f)-(Gx+f)= xxyy(fGx)(fGz) (fGz)(fGy)-+ex-+eyzxyz(fGy)(fGx)ez-=(fG) xy1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明(u)=0及g(A)=0，试证明之。 解 对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有 (u)gdS=gugdl=g由于曲面S是任意的，故有 SCCudl=gdu=0 lC(u)=0 对于任意闭合曲面S为边界的体积t，由散度定理有 g(A)dt=g(A)gdS=(A)gdS+(A)gdS tSS1S2其中S1和S2如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有 S1(A)gdS=gAgdl， (A)gdS=gAgdl C1S2C2由题1.27图可知C1和C2是方向相反的同一回路，则有 所以得到 gAgdl=-gAgdl C1C2C2g(A)dt=Agdl+ggtC1C2Agdl=g-gdlg+gdl =0AAC2由于体积t是任意的，故有 g(A)=0 C2 C1S1n1 n2 S2题1.27图
