第七章无穷级数.docx

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1、第七章 无穷级数第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1 数项级数敛散性； 2 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3 求和函数； 4 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令sn=u1+u2+L+un=若不然，则称uk=1nk，若limsn=s，则称级数nun=1n收敛， un=1n发散； 2绝对收敛：若3. 条件收敛：若un收敛，则称un=1n=1un=1n为绝对收敛； n发散，而un=1n收敛，则称un=1n为条件收敛； 二 基本结论 1级数un=1n收敛的必要条件limun=0。 n2. 等比级数3. p级数aqn=1n的公比的绝对值小

2、于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 1，当p1时，收敛；当p1时，发散。 pn=1n三 基本方法 1正项级数敛散性的判别方法 比较判别法： 一般形式：若unvn，则 若vn=1n收敛，则un=1n收敛；若un=1n发散，则vn=1n 发散。 极限形式：如果vn0，且 lim当0l时，则un=l， nvnnun=1n和vn=1n=1n具有相同的敛散性。 也收敛。 也发散。 当l=0时，则vn=1收敛，un当l=时，则un=1n发散，vn=1n 1 比值判别法： limun+1nunr1发散 r=1不确定根值判别法： r1发散 nr=1不确定n注 Pm(n)=1。例如 m(n)是关于n的

3、m次多项式，m是有限数，则limPnlimnn3-2n2+5n-7=1。 n 积分判别法：若f(x)是单调递减连续函数，f(n)=un，则具有相同的敛散性。 un=1n与+1f(x)dx2 交错级数敛散性的判别方法： 莱布尼兹判别法：若交错级数(-1)unn=1n(un0)满足 n单调递减，即un+1un；极限为零，即limun+1=0， 则级数(-1)unn=1n收敛。 3 任意项级数敛散性的判别方法 1考虑级数2若un=1n是否收敛，若收敛，则un=1n是绝对收敛。 un=1n不收敛，把级数un=1n+un，分别讨论级数 的一般项分解为un=unu 和 u的敛散性。 nnn=1n=1例1

4、讨论下列正项级数的敛散性： 2nn!xnn； 2sinn； 3n=1n=1nn(1-cos)； ； nn=1n=12n+11lnn2； 1+-1； nn=1n=1npn(en=11n+e-1n-2)； (n-1)。 n=11n解利用比值判别法 2 2un+12n+1(n+1)!nnnn=0，利用等价无穷小替换，可知 xnnx与具有相同的敛散性，而2sin2nn33n=1n=1xn收敛。 2sinn3n=12nx2=x收敛，所以n3n=1n=13n 利用比较判别法：利用等价无穷小替换，1p性，而2收敛，所以(1-cos)收敛。 nn=1nn=11与具有相同的敛散(1-cos)2nn=1n=1np

5、1nn根据根值判别法：因为limun=3，则f(x)=2x(-1)n(-1)nln(1+n)级数发散，所以ln(1+n)收敛。又由于ln(1+n)条件收敛。 1+n1+n1+nn=1n=1n=1由于 sin(pn=1n+a)=sin(pn+a-np+np)=(-1)nsin(pn2+a2-np) 2222n=1n=1n+a+n11pa2因为正项级数sin与具有相同的敛散性，由于发散，所以n=1nn=1n2+a2+nn=1nn=122sin(pn+a)发散。 n=1=(-1)sinnpa222。 又由于级数(-1)n=1nnsinpa2n+a+npa222是交错级数，显然收敛。故pa2n+a+n

6、22单调递减，极限为0，所以(-1)n=1sinn2+a2+nsin(pn=1n2+a2)条件收敛。 例3 讨论下列任意项级数的敛散性： (-1)n(-1)nn2+n ； 。 n2n+(-1)nnn=1n=1(-1)n1(-1)nn2+n解由于和2收敛，于是收敛。 2nnnn=1nn=1n=1由于 (-1)n(-1)nn-(-1)n(-1)nn1 =-nn-1n-1n-1n+(-1)n=1(-1)nnn对于级数，根据莱布尼兹判别法，单调递减，极限是0，所以收敛。 n-1n-1n=11(-1)n对于级数，显然发散。故发散。 nn+(-1)n=1n-1n=1习题7-1 1用比较法判别下列级数的敛散

7、性： 1pn2； 2arcsinn； 3n=1n+nn=1 4 2+(-1)n1(1-cos； )； 2n+12nn=1n=1(lnn)21； ； 3nnn=1nnn=11； (na-1)(a1)； n=1n=1n3+111-n2+1nn(a+a-2)； (10) ln2； n-1n=1n=2p1 (11) -lncos； (12) ； lnnnn=3n=2(lnn)n=1nn-1； (14) nnn=1n+1-n n2用比值法和根值法判别下列级数的敛散性 1n； (a0)； n1+a2n+1n=1n=13nn!n2+2n+1n； ； nn2n=1n=1n!nn+1nx(x0)； n=1nn=

8、1n+2n+3； nn!p； nnsin； nn=1(2n-1)!n=12+(-1)n+1； 4nn=1n=1n+2nnn2+13讨论下列变号级数绝对收敛，条件收敛或发散： sinnxnn； ； (-1)n2n+1n=1n=1(-1)npn； ； (-1)sin(p0)pnnn=1n=1(-1)nn+nn1； (-1)； nnnnn=1n=1n-1n2n-1(-1) ； (-1)(n+1-n) 3n+1n=1n=112sin(pn+1)； sin(np+) lnnn=1n=2n7.2函数项级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 求函数项级数un(x)的收敛半径、收敛区间和收敛域： n=1 5 幂级数

9、axnn=1n每项系数都不是零 若级数anxn系数an0，且limn=1nan+1=r 或limnan=r，则 nan收敛半径是R=区间上就是收敛域。 幂级数1r；收敛区间为(-R,R)；收敛域：收敛端点加到收敛 naxn某些项系数等于零 n=1an+1(x)=r(x)，或根值法limnan(x)=r(x)； nna(x)n 2解不等式r(x)1，其解为axb，于是收敛区间为(a,b)； 1用比值法lim 3讨论区间端点x=a和x=b对应的两个级数收敛点加到收敛区间上，得到收敛域。 例1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域： 1n2nnx； x ； n=1n!n=1n1nnn nx ； 2(x-1

10、) n=1n=1na(a)和a(b)是否收敛，再将 nnn=1n=1解由于 2n+1a1=lim2n=2， r=limn+1=limn+nan2nnn+1nnn12n11所以幂级数x的收敛半径为R=，收敛区间为-, 222n=1n下面讨论幂级数在收敛区间的端点是否收敛 当x=-1时，相应的数项级数为 22n1n1 -=(-1)2nn=1nn=1n此级数是交错级数，un=当x=1单调递减，极限是0，于是此级数收敛； n1时，相应的数项级数为 2n2n11= n=1n2n=1n112nn此级数是调和级数，当然发散所以级数x的收敛域是-,) 22n=1n由于 6 r=limnan+1n!1=lim=

11、lim=0， n(n+1)!nn+1an所以幂级数1nx的收敛半径为R=+，当然它的收敛域是R n=0n!an+1(n+1)n+11r=lim=lim=lim(n+1)1+=+， nnannnnnn由于 所以幂级数nxnn=0n的收敛半径为R=0于是它的收敛域是0(级数仅在x=0处收敛，其它点都发散) 11nn 令t=x-1，则2(x-1)=2t由于 n=0nn=0nan+1n2n2r=lim=lim=lim=1， nan(n+1)2n(n+1)2n1n1n(1)n1所以幂级数2t的收敛半径为R=1当t=1时，级数2t=2=2n=1nn=1nn=1nn=1n1n都收敛，因此幂级数2t的收敛域是

12、-1,1于是有-1x-11，即0x2，所以n=1n1n幂级数2(x-1)的收敛域是0,2 n=1n上述方法仅仅适合幂级数的各项系数不是0的情形，对于部分项系数是0的幂级数，就不能应用此法计算幂级数的收敛半径如 例2 求下列幂级数收敛半径和收敛域： (x-1)2n-1n2n nx； 2n -nn=12n=12n2n解设an(x)=nx，则有 2n+12n+2xn+1an+1(x)12 r(x)=lim=lim=x2 na(x)nn2n2nx2n令12x1，解不等式得到：x2，所以级数的收敛半径R=2，收敛区间为2n(-2,2)当x=2时，相应的数项级数是n，显然发散，于是级数nx2n收敛n=1n

13、=12域是(-2,2) (x-1)2n-1设an(x)=，则有 22n-n 7 (x-1)2n+12n+2an+1(x)2-n-1=1(x-1)2 r(x-1)=lim=limna(x)n(x-1)2n-14n22n-n令1(x-1)21，解不等式得：x-12，所以收敛半径R=2，收敛区间为(-1,3)当4(2)2n-1(x-1)2n-1x-1=2时，相应的数项级数2n发散于是级数2n的收敛域是-n-nn=12n=12(-1,3) 习题 7-2 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域： xnnx； (-1)2； nn=1n=12n-1xnnx； (-1)； 2n-1n=1(2n)!n=1nn

14、(-1)n(x-1)n； n+3nxn； nn=1n=12ln(n+1)n1xnx； n； nn+13+(-2)nn=1n=17.3 求和函数 一 求和函数 1等比级数aqn=0n和初等函数：ex,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)a展成的幂级数统称为已知级数 2求和函数有两个途径： 将所求级数变化为已知级数； 用已知级数变化为所求级数 这里的变化通常包括：加、减(增减项)，乘、除(常数或变量x)，积分，求导 例1 求幂级数(n+1)xn=0n的和函数 解 (用已知级数变化为所求级数) 幂级数的收敛域为(-1,1)由于 xn+1=n=0x，x(-1,1)， 1-x1，x(-1,1)

15、 2(1-x)两边求导 (n+1)xn=n=0例2 求级数1n-1x的和函数 nn2n=18 解 级数的收敛域是-2,2) nxn+1n-1x方法1 (把所求级数变化公式：ln(1+x)=(-1) =(-1)n+1n=1nn=01 设S(x)=nxn-1当x-2,2)且x0时，有 n=1n2n1n-11(-1)n-1x1xS(x)=nx=-=-ln1- xn=1n2x2n=1n21当x=0时，S(0)=，所以级数的和函数为 21x-ln1-,-2,0)(0,2)x2 S(x)=1,x=02n方法2(把所求级数变化为等比级数) 设S(x)=1n-1x，当x-2,2)，x0且x-2时，有 nn=1

16、n21xS(x)=nxn， n=1n2两边求导 1111 xS(x)=nxn=nxn-1=2=x2-xn=1n2n=121-2x的绝对值小于1，所以x-2)两边积分 2xx1xxxS(x)=xS(x)dx=dx=-ln(2-x)0=-ln1- 002-x2两边同除x(此处要求x0)，有 1xS(x)=-ln1- x21当x=0时，S(0)=；当x=-2时，S(x)有定义故幂级数的和函数为 21x-ln1-,x-2,0)(0,2),x2 S(x)= 1,x=0.2(此处要求公比求幂级数的和函数需要说明的是： 1在求和函数时，首先求收敛域，然后在收敛域上，求和函数在这个过程中，若对变量x有限制(如

17、例2的x0)，就在收敛域后添加对x的这个限制，最后求出限制点的和函数值 2由于和函数在收敛域内是连续的，所以对和函数的收敛域内有定义的点的函数值如例2的x=-2，不必单独计算，我们只需单独求出没有定义的点的函数值，如例1的x=0 3求和函数在特定点的函数值有两个办法：其一是将该点代回到原级数，求相应的数 9 项级数的和；其二是利用和函数在收敛域的连续性，求该点的极限，即S(x0)=limS(x) xx0x2n例3 求函数项级数的和函数 n=0(2n)!解 级数的收敛域是R令级数的和函数 x2n， S(x)=(2n)!n=0则有 S(x)+S(x)=ex 1x1-x此一阶线性方程的通解为S(x)

18、=Ce+e，由于S(0)=1，于是得到C=，所以幂级22数的和函数为 S(x)=1x-x(e+e)=chx 2 显然，例5的求和函数方法与例1例4的方法是不同的，例1例4采用了所求级数与已知级数相互转化方法；而例5是寻求和函数满足某个微分方程，解方程的方法这是求和函数的两个常用方法 习题7-3 求下列级数的和函数： xnn； nx ； n=1n=1nx2n-1xn+1； ； nn=1n=1n(n+1)x2n+1n-12n-1nx； (-1)； 2(2n)-1n=1n=1n2+1nn2+n+1nx x nnn=1n=1 7.4 函数展成幂级数 1 函数展成幂级数的方法 定义法： 泰勒级数：f(x

19、)=n=0f(n)(x0)也称f(x)在点x0展成的幂级数；或称f(x)(x-x0)n，n!展成的关于(x-x0)的幂级数； 麦克劳林级数：f(x)=展成的关于x的幂级数； n=0f(n)(0)nx ，也称f(x)在点0展成的幂级数，或称f(x)n!2 公式法： 常见公式 10 1 =xn，(-1,1)； 1-xn=01 =(-1n)xn，(-1,1)； 1+xn=0xn e=，(-,+)； n!n=0x2n+1n sinx=(-1)，(-,+)； (2n+1)!n=0x cosx=n=0x2n，(-,+)； -(1)(2n)!nnxn+1 ln(+1x=)-(1)，(-1,1； n+1n=0

20、a(a-1L)a(-n+1n)a (1+x)=x，(-1,1)； n!n=0一般的，只有少数比较简单的函数，其幂级数的展开式能从基本步骤出发，根据定理1求得在更多的情况下，将一个函数展成麦克劳林级数或泰勒级数，都使用上面九个公式，如果不能直接使用，可以通过变形：加、减、乘、除、求导和求积分，把函数变成符合上面公式的函数这样一方面不必求函数的任意阶导数，另一方面不必验证余项在收敛域上的极限是0因此熟悉、牢记和灵活运用上述公式显得尤其重要 2 函数展开麦克劳林级数 例1 将下列函数展开成关于x的幂级数 11； ； 21+x2-x122； cosx； x+3x+21(2010)xarctanx，并求

21、f； (0)； 2(x-1)解利用公式(2)，有 1=(-1)nx2n 21+xn=02由于x(-1,1)，于是级数的收敛域是(-1,1) 将函数变形，有 f(x)=利用公式(1)，得到 111 =2-x21-x2n1x1f(x)=n+1xn 2n=02n=02 11 由于x(-1,1)，所以级数的收敛域是(-2,2) 21将函数f(x)=2展开成麦克劳林级数 x+3x+2解 将函数f(x)变形，有 1111 f(x)=2 =-x+3x+2(x+1)(x+2)x+1x+21=(-1)nxn，-1x1； x+1n=0111(-1)nn=n+1x，-2x2， xx+221+n=022由于 合并，得

22、 1(-1)nnnn f(x)=2=(-1)x-n+1x x+3x+2n=0n=021=(-1)n1-n+1xn，-1x1 2n=0将函数f(x)变形，得到 111f(x)=cos2x=(1+cos2x)=+cos2x 222根据公式(5)，得到 2n1111n(2x) f(x)=+cos2x=+(-1)2222n=0(2n)!2n-11n2 =+(-1)x2n ，x(-,+) 2n=0(2n)!需要指出的是：函数的幂级数展开式一定要写出收敛域在确定其收敛域时，可以采用两个途径： 1求函数展成的幂级数的收敛域； 2根据公式的收敛域，确定函数展成的幂级数的收敛域 由于 (arctanx)=于是逐

23、项积分，有 x1n2n=(-1)x，x(-1,1) 21+xn=0arctanx=(arctanx)dx=(-1)0n=0nx0(-1)n2n+1xdx=x，x-1,1， n=02n+12n所以 (-1)n2n+2 f(x)=xarctanx=， x-1,1 xn=02n+1(2010)下面求f(0)由于函数展成的麦克劳林级数为 12 f(x)=n=0f(n)(0)nx， n!2010所以级数(5)和(6)是同一个级数，于是级数中对应项的系数相等在级数(6)中，x的系(-1)1004f(2010)(0)2010数是，在级数(5)中，x的系数是，从而有 20092010!f(2010)(0)(-

24、1)1004 =2010!2009于是有 f(2010)(0)=20102008! 注 利用函数的幂级数展开计算函数在一点的高阶导数是求函数在一点的高阶导数的有效方法 通过积分，将函数变形 xx于是，根据公式(1)有 0f(x)dx=x011dx=-1+ (x-1)21-x01f(x)dx=-1+=-1+xn 1-xn=0对上面等式两边求导，有 f(x)=nxn=1n-1，x(-1,1) 习题7-4 将下列函数展成麦克劳林级数： x； x+21+x2 sinx； ln ； 1-xxsintdex-1dt； ； 0dxxte； 2x1-cost1dt； ； 20tx-x-2x 第七章习题答案 7

25、-1答案 1收敛；收敛；发散；收敛；收敛；发散；收敛； 发散； nx-x收敛n2+122收敛； =ln1+2:2n-1n-1n-1ppp收敛； nnn收敛 2n-1e-1lnn =:3）2nnn2收敛；当01时，收敛；发散；收敛； 收敛当0xe时，发散；当x=e时，由于1+单调递增，nnue1于是1+1，从而有limun0，故此时级数发散； nnunn11+n发散；收敛；发散；收敛；收敛 3绝对收敛；发散；01绝对收敛； 条件收敛；发散；发散；绝对收敛；条件收敛； 条件收敛条件收敛； 11n） =(-1)sinlnnlnn7-2答案 收敛半径R=1，收敛域(-1,1)； 收敛半径R=1，收敛域

26、-1,1； 收敛半径R=，收敛域(-,)； 收敛半径R=1，收敛域-1,1； 收敛半径R=1，收敛域0,2)； 收敛半径R=111，收敛域-,； 333收敛半径R=1，收敛域-1,1)； 收敛半径R=3，收敛域-3,3)； 7-3答案 x1-ln(1-x)，x-1,1)；，x(-1,1)； 2(1-x)12-ln(1-x),x(-1,0)(0,1) x； x=00, 14 x+(1-x)ln(1-x),x-1,0)(0,1)； x=00,1+x ,x(-1,1)； 3(1-x)x21arctanx+arctanx-x,x-1,1； 22x -ln(1-x),x(-1,1)； (x-1)2 2x

27、-x2 -ln(1-x)+；x(-1,1) 2(1-x)7-4答案 2nnx；x(-,+)； n=0n!x1(-1)n+1n=1-=1+x；x(-2,2)； nxx+22n=01+2111(-1)n+12n2sinx=-cos2x=+x，x(-,+)； 222n=02(2n)!1+x1(-1)n-1n+1ln=ln(1+x)-ln(1-x)=x，x(-1,1)； 1-x2n=02(n+1)sint111n2n+1=(-1)t=(-1)nt2n，再定积分 ttn=0(2n+1)!(2n+1)!n=0xsint1 dt=(-1)nx2n+1，x(-,+)； 0t(2n+1)(2n+1)!n=0dex-1d1n-1n-1n-2n =x=x=xn-1，x(-,+) dxxdxn=1n!n=2n!n=1(n+1)!x1-cost1-cost(-1)n-12n-1(-1)n-12n =t，dt=x，x(-,+) 0ttn=1(2n)!n=12n(2n)!111111nnn 2=-=-x-(-1)x n+1x-x-23x-2x+132n=0n=011nn+1 =(-1)-n+1x，x(-1,1) 2n=03 15