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1、幂级数的和函数课题研究,小组成员：,研究课题：无穷级数,研究目的：更加全面地地了解无穷级数，掌握无穷级数的相关知识。侧重点：求幂级数的和函数。关键词：常数项级数、函数项级数、幂级数、收敛、发散、和函数。,一、背景,级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无
2、穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。,二、无穷级数课本知识点,1、常数项级数的概念和性质2、常数项级数敛散性的七条判别方法、四条
3、性质。3、幂级数收敛半径的两种求法及其解析性质。4、函数展开为幂级数5、函数展开为傅里叶级数,三、幂级数,幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。,幂级数,幂级数收敛半径的求法,缺项幂级数收敛半径的求法,法一：将原幂级数看成常数项级数，采用达朗
4、贝尔比值判别法来求半径。,法二：作变量变换，将原幂级数变换成变成标准型幂级数，再采用达朗贝尔比值判别法。,法三：采用柯西根值判别法来求半径。注：根指数与项数要相同，相当于对级数添加了一些值为零的项（级数敛散性不变）,法四：有些级数可以直接求和，利用和函数的奇点来确定幂级数的收敛半径。,幂级数和函数的求解方法,幂级数和函数的求解方法,2)分项组合法可以通过观察发现有些幂级数具有某些明显的特征，比如可以将已知函数的通项拆项组合，再计算所拆得各项的和函数，从而求得该函数的和函数,幂级数和函数的求解方法,3）逐项求导与逐项积分法。若幂级数的通项系数是自然数或相邻的自然数相乘形式，可以用“先积分再求导”
5、的方法；若幂级数的通项系数是自然数的倒数或相邻的自然数乘积的倒数，可以用“先求导，再积分”的方法。,幂级数和函数的求解方法,4）代数方程法：此种方法目的在于建立以所求幂级数的和为变量的代数方程，并解之，从而得到原幂级数的和函数。,幂级数和函数的求解方法,5）微分方程法在幂级数中，有一类含有阶乘运算的幂级数，此方法通过把幂级数求和问题划归为求解微分方程的问题，也就是把幂级数的和函数微分后，再与原来幂级数作某种运算，得到一个含有幂级数和函数以及和函数导数的关系式，即微分方程。最后求解此微分方程即得和函数。,幂级数和函数的求解方法,幂级数和函数的求解方法,六种求和函数方法的特点,1、定义法：适用于一
6、切形式的幂级数求和，但对于通项比较复杂的幂级数不宜使用。2、分项组合法：这种方法在对通项进行拆项上技巧性很强，一般可以利用已知和函数的幂级数来进行。3、逐项求导与逐项积分法：这种方法运用时要熟记常见函数的麦克劳林展开式，此时的展开式就是常见幂级数的和函数公式，这种求幂级数和函数的方法还可以用来求一些简单的数项级数的和。4、代数方程法：看到所求幂级数时，要仔细观察相邻两项之间是否存在有明显的关系，比如：前后两项之间只相差一个倍数，前一项乘以自变量、自变量的倍数或自变量的幂得到后一项。一旦发现这些规律时我们就可以果断的运用代数方程法求此幂级数的和函数，这样可以节约大量计算时间、带来很大的方便、提高
7、效率。,六种求和函数方法的特点,5、微分方程法：所求幂级数的一般项中通常含有阶乘因子，使用之前先对原来的和函数做一定的变形，求其一阶导数、必要时还要求其二阶导数、三阶导数，将所得结果与原来和函数联列。如果容易得到一个微分方程，那么就可以转化为求解此微分方程的初值问题解：容易求出初值解，则此解为要求的幂级数的和函数；若不易求初值解，此法就不再适用。6、柯西方法：这种方法的适用条件比较明显。只要所求级数的通项可以表示为另外两个级数前 n 项相应乘积之和，且这两个级数的和函数容易求得，那么就可以使用柯西方法将已求得的两个和函数相乘而得到所求幂级数的和函数。,上面是对六种求和函数的方法分别介绍的，但不
8、是说对于任何一题只要使用其中的一种方法就可以得出结果，有时候会碰到稍微复杂的题目，这时可能使用以上任何一种方法都不能得出结果，而是要综合使用其中的两种、三种甚至四种方法才可以顺利解答,四、无穷级数的应用,1、近似计算：如计算圆周率、圆的面积。2、医学领域：如药物在体内的残留量。（几何级数）3、工程领域：如在电工学、电工电子技术中研究非正弦周期电流电路中电压电流波的分解。（傅里叶级数）4、经济领域：如在债券理论中研究收益率对价格的影响（泰勒级数）。5、天文领域：（发散级数）,五、小结,1、通过对无穷级数背景的查阅知道了无穷级数是解决什么实际问题的。2、通过对无穷级数知识点的总结复习基本掌握了无穷级数的解题思路与方法3、通过对无穷级数实际应用的查阅基本明白了无穷级数在实际生活中的重要性。4、通过对求幂级数和函数的方法的深入了解，基本掌握了幂级数和函数的求法。,
