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1、绝对值函数的问题解决绝对值函数的问题解决 张家港高级中学 储聪忠 有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。 试题 已知函数f(x)=x2-1，g(x)=a|x-1|. 若关于x的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求实数a的取值范围； 若当xR时，不等式f(x)g(x)恒函数成立，求实数a的取值范围； 求函数h(x)=|f(x)|+g(x)在区间-2,2上的最大值. 解答 方程|f(x)|=g(x)，即|x2-1|=a|x-1|，变形得|x-1|(|x+1|-a)=0，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a
2、，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得a1),当x1时，可变形为a，令j(x)= =|x-1|x-1|-(x+1),(x1时，j(x)2，当x-2， 所以j(x)-2，故此时a-2. 综合，得所求实数a的取值范围是a-2. x2+ax-a-1,(x1),因为h(x)=|f(x)|+g(x)=|x2-1|+a|x-1|=-x2-ax+a+1,(-1x1), x2-ax+a-1,(x1,即a2时，结合图形可知h(x)在-2,1上递减，在1,2上递增， 2且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3，经比较，此时h(x)在-2,2上的最大值为3a+3. 当01,即0a2时，结合图形可知h(x)在-
3、2,-1，-,1上递减， aa22aa2a+a+1， 在-1,-，1,2上递增，且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3，h(-)=242经比较，知此时h(x)在-2,2上的最大值为3a+3. 当-10,即-2a0时，结合图形可知h(x)在-2,-1，-,1上递减， aa22aa2a+a+1， 在-1,-，1,2上递增，且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3，h(-)=242经比较，知此时h(x) 在-2,2上的最大值为a+3. 当-32aaa -1,即-3a-2时，结合图形可知h(x)在-2,，1,-上递减，222在,1，-,2上递增，且h(-2)=3a+30, h(2)=a+30， 经比较，知此时h(x) 在-2,2上的最大值为a+3. 当a2a2a3-,即a-3时，结合图形可知h(x)在-2,1上递增，在1,2上递减， 22故此时h(x) 在-2,2上的最大值为h(1)=0. 综上所述， 当a0时，h(x)在-2,2上的最大值为3a+3； 当-3a0时，h(x) 在-2,2上的最大值为a+3； 当a-3时，h(x) 在-2,2上的最大值为0.
