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1、高等数学第1章 函数与极限13极限存在则1.5极限存在准则 两个重要极限 教学目的：知道极限存在准则，会用它证明一些极限的存在性。掌握两个重要极限。 教学重点： 极限存在准则, 两个重要极限 教学内容： 1.4.1 极限存在准则 1夹逼准则 定理1.4.1 若数列xn，yn和zn满足 (1)xnynzn, nN0; (2) limxn=limzn=a nn则limyn=a。 n证明 因limxn=a，则e0，$N1，nN1时有xn-ae，即 na-exnN2时有zn-ae，即 a-eznN0时,xnynzn，于是nN时 (1.4.2) 取N=maxN0,N1,N2，nN时(1.4.1)式与(1
2、.4.2)式同时成立。 a-exnynzna+e 即 n yn-a0时，limna=1 n证明 a1时，设na=1+rn，rn0(n=1,2,L)。 由二项式定理有， a=(1+rn)n=1+nrn+于是 0rn1+nrn 2a nann因此，由夹逼准则，limrn=0. 于是 nlimna=1 n 34 a1，由上述结果有，limn=1，因此， naalimna=limnn1=1 1nana=1时，结论显然成立，综上所述，a0时，limna=1。 例2 求lim(a+a+L+a)=maxa1,a2,L,am，其中 ai0 (i=1,2,Lm) nn1n21nnmnnn解 设a=maxa1,a
3、2,L,an，于是 nnaa1n+a2+L+an0，xU(x0,d)，有xx0xx00g(x)f(x)x0limf(x)=A. h(x，则xx0例3 证明limcosx=1 x2xx2x证明 因 01-cosx=2sin0，x(x0-d,x0)时，函数f(x)内单调增加且有上界，则-xx0limf(x)存在. 例4 设x1=10，xn+1=6+xn(n=1,2,L)，证明数列xn收敛，并求它的极限. 证明 由x1=10，x2=6+x1=6+10=4知，x1x2.设对某个自然数k有xkxk+1，则有 xk+1=6+xk6+xk+1=xk+2 由数学归纳法知，对一切自然数n都有，xnxn+1，即数
4、列xn单调减少。又 35 xn0(n=1,2,L)，因此数列xn有下界。由极限存在准则，数列xn收敛。设limxn=a，n对xn+1=6+xn两边取极限，得 a=6+a 解此方程，得a=3，a=-2，但因xn0，所以limxn=3. n3 海涅定理 定理1.4.5 (海涅定理) 极限limf(x)存在且等于A的充分必要条件是对于任意收敛于x0的xx0数列xn，恒有 limf(xn)=A n利用海涅定理证明函数极限不存在。只要找出两个数列xn，且xnx0，yn都收敛于x0，但f(xn)，f(yn)收敛于不同的极限，或其中一个不收敛。 ynx0例5 证明limsinx01不存在。 x证明 取xn=
5、1，yn=np12np+p，limxn=limyn=0，且xn0，yn0，而nn2111plimsin=limsinnp=0，limsin=limsin=1，故limsin不存在(如图1.4.2)。 x0nnxxnnynn24. 柯西存在准则 定理1.4.6 数列xn收敛的充分必要条件是e0，存在自然数N，使得mnN时，有 xn-xme D 1.4.2 两个重要极限 sinx=1 1 limx0x证明 如图,在单位圆内，设圆心角O 1 x B C A pAOB=x0x，比较DAOB，扇形2SAOB和DAOC的面积的大小，得 sinxxtanx 36 即 cosx由于cosx、sinx1 (1.
6、4.3) xsinxp都为偶函数，所以(1.4.3)式对于-x0也成立. 2xsinx=1. 因limcosx=1，所以由夹逼准则， limx0x0x1x2 lim(1+)=e xx1n证明 先证明lim(1+)=e nn1n记xn=(1+)，下面证明数列xn单调有界。 na+a2+L+an由na1a2Lan1 得 n1n(1+)+11nxn=(1+)n1nn+1因此，数列xn单调增加。 由二项式定理得， n+11=1+n+1n+1=xn+1 1n(n-1)12n(n-1)(n-2)13n!10xn=(1+)n=1+1+L+nn2!n3!nn!n1111+1+L+ 2!3!n!11111+1+
7、2+L+n-1=3-n-13 2222数列xn有界。 因此，数列xn收敛，记lim(1+)=e，它是一个无理数。 n1nn下面证明lim(1+)=e x+1xx1x1时，有xxx+1，于是1+x+11而lim1+x+xx+1xx111+1+xxxx+111=lim1+lim1+x+=e x+xx 37 1lim1+x+x+1x1=lim1+x+x+11xxx+11lim1+=e x+x+1-1由夹逼准则，lim(1+)=e. x+ 再证明lim(1+)=e.令t=-x，于是当x-时，t+，由此得 x-1xx11tt1t1t-11lim(1+)x=lim(1-)-t=lim=lim(1+)=li
8、m(1+)1+=ex-xt+tt+t-1t+t-1t+t-1因此，lim(11xx+x)=e。 公式lim(1x+11x)x=e还可以表示为lim(1x0+x)x=e.这是因为： 设t=1x，x0时，t.于是 1lim(1+x1x0x)=lim(1t+t)t=e。 例6 求下列函数的极限： (1) limtanx1-cosxx0x；(2) limx0x2；(3) lim(1x1-x)tanp2x. 解 (1) limtanxx0x=limsinxx0xcosx=limsinxx0xlimx0cosx=1 x(2) lim1-cosx2sin2sinx2x0x2=lim2121x0x2=limx
9、02x=2 2(3) 令t=x-1，x1时，t0.于是 lim(1-x)tanpxpttx12=limt0tcot2=limt0cosptsinpt22pt=lim2t02cosptsinptp2=2p. 2作业 1.求下列函数的极限: 38 t-1. x1xsinx2(1) lim(1-)； (3) lim(1-3x)； (5) lim ； (6)lim； x0xxnpx-npx11-xxx+ax)=9，求常数a。 2.已知lim(xx-a1xcotp3求下列数列的极限： 111lim+L+。 222nn+2n+nn+14 设x1=2,xn+1=2+xn, n=1,2,.。证明数列xn的极限存在，并求此极限。 39
