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1、高等数学B答案高等数学B答案 一、填空题 1设f(x)的定义域为0,1, 则f(sinx)的定义域为 。2np,(2n+1)p,nZ 2已知lim(n+1)(n+2)(n+3)1=,则k= 3 . n55nk12xsin,x0,则f(0)= 0 . 3设f(x)=xx=0.x,4将函数f(x)=px2+qx+r在闭区间a,b上应用拉格朗日中值定理时，其中x= .aa+b 25-a2a . x(1+cosx)dx=二、计算题 1求极限lim(n1+2+3+nn-). n+22解：原式=lim(nn(n+1)n-n1-)=lim=- n2(n+2)2(n+2)22xsinx-cos2x+1. 2x
2、0sinxsinx+xcosx+2sin2x2cosx-xsinx+4cos2x=lim=3. 解：原式=limx0x0sin2x2cosx2求极限lim1+2x-3,0x4.(x-3),解：limf(x)=limx4-01+2x-3x-2bx-4x4-0=lim(1+2x-9)(x+2)(x-2)(1+2x+3)1bx-4x4-=lim2(x+2)x4-4=. 1+2x+33x4+limf(x)=lim(x-3)x4+=lim1+(x-4)x4+=eb. 由limf(x)=limf(x)知b=lnx4-x4+4 3从而a=f(4)=limf(x)=x44. 3三、计算题 x=ln1+t2,1
3、求曲线在t=3处的切线方程及法线方程. y=arctant.解：因dxtdy1dy=,=，所以dt1+t2dt1+t2dxt=31tt=313t=3所对应的直角坐标点为(ln2,p3) 故切线方程为y-p3=13(x-ln2) 法线方程为y-p3=-3(x-ln2) 2方程sin(xy)+ln(y-x)=x确定了y是x 的函数，求dy. dxx=0解：将x=0代入原方程得y=1 方程两边对x求导，得 cos(xy)(y+xy)+y-1=1 y-x将x=0,y=1代入上式得dy=1. dxx=0x33已知y= ，求y(n) 1-x解：因为y=-x-x-1+所以y=-2x-1+21, 1-x123
4、!,y=-2+,y=, 234(1-x)(1-x)(1-x) y(n)=n!(n3). n+1(1-x)四、计算题 1求cos2xcos2xsin2xdx. cos2x-sin2x11=(-)dx=-(cotx+tanx)+C. 解：原式=2222cosxsinxsinxcosx2求e2xdx. 解： 2xedx令2x=t111t1ttttedt=tde=te-edt=2222xex-ex+C 23求x(x-1)4dx. 121116154454. 解： x(x-1)dx=(t+1)tdt=(t+t)dt=t+t=65300100111-1,-1x0;xdF(x)x=0;. 4设f(x)=0,
5、 试求F(x)=f(x)dx,并求dx1,-10x1.-(x+1),-1x0x=0解：F(x)=f(x)dx=-1, -1x-1,0x1x1x0;-1,(0)=-1,F+(0)=1，所以F(0)不存在 F(x)=不存在,x=0;因为F-1,0x1.五、综合题 2x01已知f(x)为连续函数，且xf(t)dt+2tf(2t)dt=2x3(x-1)， 0x求f(x)在0,2上的最值 2x解：先求f(x)，等式两端对x求导，得f(t)dt=8x03-6x2 上式两端再对x求导，得f(2x)=6x(2x-1) 所以f(x)=3x(x-1) 又令f(x)=6x-3=0,得x=1 213f(0)=0,f=
6、-,f(2)=6 24所以f(x)在0,2上的最大值为6，最小值为-2设f(x)在-a,a上连续，求证 aa3. 4-af(x)dx=f(x)+f(-x)dx.， 0并利用上结果计算1dx 1+sinx-p4p4证：因为f(x)=g(x)+h(x), 11其中g(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,h(x)=f(x)-f(-x)为奇函数 22aa所以p4-af(x)dx=f(x)+f(-x)dx 01dx=1+sinx-p4p40111p(+)dx=2dx=2tanx201+sinx1-sinx0cosxa0ap44=2. 前一部分也可以这样证明：-a=-a+，前一积分作代换x=-t 03设f(x)在0,1上连续，且f(x)非负，证明：存在一点x(0,1)使 1.xf(x)=xf(x)dx x证明： 取F(x)=xf(t)dt.显然F(x)在0,1上连续，在(0,1)可导，又 1F(0)=0,F(1)=0 可知F(x)在0,1上满足罗尔定理，于是，$x(0,1)，使得 1F(x)=0，即xf(x)=f(x)dx x
