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1、第二章 热传导动方程,第一节 热传导方程的导出和定解条件,一、热传导方程的导出：,给定一空间内物体，设其上的点 在时刻 的温度为。,模型：,问题：,研究温度 的运动规律。,分析：（两个物理定律）,1、热量守恒定律:,2、傅里叶（Fourier）热传导定律:,温度变化吸收的热量,通过边界流入的热量,热源放出的热量,为热传导系数。,任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区域，研究物体在该区域 内热量变化规律。,热传导方程的推导：,热量守恒定律,区域 内各点的温度从时刻 的温度 改变为时刻 的温度 所吸收（或放出）的热量，应等于从时刻 到时刻 这段时间内通过曲面 流入（或流出）内的热量和热源提供（或
2、吸收）的热量之和。即,内温度变化所需要的热量=通过曲面 流入 内的热量+热源提供的热量,下面分别计算这些热量,（1）内温度变化所需要的能量,那么包含点 的体积微元 的温度从 变为 所需要的热量为,设物体,的比热（单位质量的物体温度改变,所需要的热量）为,密度为,整个 内温度变化所需要的能量,（2）通过曲面 进入 内的热量,由傅里叶热传导定律，从 到 这段时间内通过 进入 内的热量为,由高斯公式,知,（3）热源提供的热量,用 表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从 到 这段时间内 内热源所提供的热量为,由热量守恒定律得：,由 及 的任意性知,三维无热源热传导方程：,三维有热源的热
3、传导方程：（均匀且各向同性物体，即 都为常数的物体）,其中,称为非齐次项（自由项）。,通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6）为齐次热传导方程。,二、定解条件（初始条件和边界条件）,初始条件：,边界条件：,1、第一边界条件,（Dirichlet 边界条件）,特别地：时，物体表面保持恒温。,2、第二边界条件,（Neumann 边界条件）,特别地：时，表示物体绝热。,3、第三边界条件,(D-N 混合边界条件),其中：,表示 沿边界 上的单位外法线方向 的方向导数,注：,注意第三边界条件的推导：,研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题 把一个温度变化规律为 的物体放入 空气介质中，已
4、知与物体表面接触处的空气介质温度为，它与物体表面的温度 并不相同。这给出了第三边界条件的提法。,热传导试验定律或牛顿定律,从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：,其中比例常数 称为热交换系数,流过物体表面 的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：,或,即得到（1.10）：,三、定解问题,定义1,在区域,上，由方程（1.5）、初,始条件（1.7）组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。例如三维热传导方程的初值问题为：,定义2,在区域,上，由方程（1.5）和初,始条件（1.7）和边界条件（1.9）、（1.10）、（1.11）中的其中之一组成的定解问题称为初边值问题
5、或混合问题。例如三维热传导方程的第一初边值问题为：,2、上述界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样；,3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。,1、方程（1.6）不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；,注,4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方程：,而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：,第二节 初边值问题的分离变量法,考虑一维热传导方程的初边值问题,不失一般性，考虑齐次边界条件的初边值问题,和,上述定解问题可分解为下面两个混合问题：,则（II）的解为:,问题（I）的通解形式为
6、：,其中 由下面给出：,考虑齐次方程、齐次边界条件的混合问题（I）：,问题（II）的解：,其中,非齐次方程混合问题的解：,定理 2.1：,则由公式(2.14)给出的级数 是混合问题(2.1)-(2.4)的古典解。,设,齐次方程、齐次边界条件的混合问题的解为：,当 为有界函数时，(2.14)式给出的形式解关于 以及 均是任意次连续可导的，且满足方程(2.1)和边界条件(2.3)-(2.4)。,分离变量法的解题步骤：,1、令 代入方程和边界条件，确 定 所满足的常微分方程的特征值问题以及 所满足的方程；,2、解常微分方程的特征值问题，求出全部特征值和特征函数，并求出相应 的表达式；,3、将所有变量
7、分离形式的解叠加起来，利用初值定出所有待定常数；,4、证明形式解是真解对级数解的收敛性进行讨论。,注：1、在使用变量分离法时，边界条件的齐次化是至关重要的，关键是构造辅助函数；,2、对于非齐次方程，我们通常采用齐次化原理将其转化为齐次化方程来求解，但也可以直接求解。,（1）、将变量分离形式 代入相应的齐次方程和其次边界条件，得到相应的特征值问题，并求出全部特征值和特征函数；,（2）、将，方程的非齐次项，以及初值 都按照特征函数进行 Fourier 展开；,其中:,（3）、解初值问题,解为：,非齐次方程混合问题的解：,第三节 初值问题 Cauchy 问题,考虑一维热传导方程的初值问题,一、傅里叶
8、（Fourier）变换及其基本性质,傅里叶变换:,傅里叶逆变换:,记为:,记为:,定理 3.1：,（Fourier 积分定理）,若 在 上绝对可积且连续可微，则有:,简记为:,公式（3.5）称为 Fourier 反演公式。,性质 1、（线性性质）,性质 2、（微商性质）,性质 3、（乘多项式性质）,性质 4、（卷积性质）,性质 5、（乘积性质）,1)、（位移性质）,2)、（相似性质）,3)、（对称性质）,补充性质：,例 3、设,例 2、设,例 1、设,二、热传导方程柯西问题的解,考虑齐次热传导方程的初值问题,解为:,对非齐次热传导方程的齐次初始条件问题,解为:,非齐次热传导方程的非齐次初始条件
9、问题的解为：,定理 3.2：,函数 是柯西问题(3.14)-(3.15)的有界解。,设,且有界，则由(3.17)式 给出的,一维齐次弦振动方程的初值问题,解为:,知识回顾,例：试求下述定解问题的有界解,解为:,第四节 极值原理、定解问题解,考虑一维非齐次热传导方程,的唯一性与稳定性,一、极值原理,定理 4.1：,在 上的最大值必在边界上达到，即,设 在矩形 上连续，,并且在 内部满足方程(4.1)。又设，则,表示矩形,的两个侧边和底边所组成的边界曲线，称为抛物边界,必在边界 上达到，即,设 在矩形 上连续，且满足方程(4.1)。,又设，则 在 上的最小值,推论 4.1：,设 在矩形 上连续，且
10、满足,推论 4.2：,则成立,例（最大值原理的应用）设 满足,求 在,的最大值和最小值。,解：,考虑一维热传导方程的初边值问题,二、初边值问题解的唯一性与稳定性,定理 4.2：,初边值问题（4.3）在区域,上的古典解是唯一的，而且连续依赖于抛物边界上所给的初始条件和边界条件。,注：若解在方程中出现的所有偏导数都连续，则称这种解为古典解。,考虑一维热传导方程的混合初边值问题,定理 4.3：,设 是初边值问题（4.4）的古典解，则,正常数，在 上 满足,如果在,上，有,那么由定理4.3可得,推论 4.3：,初边值问题（4.4）在区域 上的古典解,是唯一的，而且连续依赖于边值上所给的初始条件和边界条
11、件。,对于混合初边值问题,定理 4.3 仍然成立。,考虑一维热传导方程的初值问题,三、初边值问题解的唯一性与稳定性,定理 4.5：,初值问题（4.10）在有界函数类中的古典解是,唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件。,推论 4.5：（比较原理）,则在 上有,推论 4.4：（解的最大模估计）,设 是初值问题（4.11）的古典解，则,第五节 解的渐近性态,考虑一维热传导方程的初边值问题,一、初边值问题解的渐近性态,定理 5.1：,则，问题(5.1)的唯一古典解 指数衰减趋于零，,设初始函数,证明：,由极值原理和分离变量法知，（5.1）的唯一古典解为,其中 由下面给出：,由（5.2）可知，对一切，有,由,的定义知当,时，,，故有,另一方面，由指数函数的性质知，当,时，,对一切 成立,时，对于,于是当,有,即,考虑一维热传导方程的初值问题,二、Cauchy 问题解的渐近性态,定理 5.2：,柯西问题(5.7)的唯一古典解 具有如下性质，,设初始函数 是有界连续函数且 则,
