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1、242平面向量数量积的坐表示模夹角SCH高中数学同步教学设计 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目标 一、 知识与能力： 1 掌握平面向量数量积的坐标表示； 2 能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题. 二、过程与方法： 渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点. 教学重点 向量的数量积的坐标表示、模、夹角 教学难点 求向量的模与夹角 一、复习回顾
2、1 平面向量的数量积的物理背景及几何意义 ab=|a|b|cosq，其中q是a与b的夹角； 数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosq的乘积. 2 平面向量数量积的运算律. ab= ba； (la)b=l( ab)=a(lb)； (a+b)c=ac+bc 3两个向量的数量积的性质： 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，q是a与e的夹角，则： 1）ea=ae=|a|cosq 2）abab=0 3）当a与b同向时，ab=|a|b|；当a与b反向时，ab= -|a|b|. 特别地，aa=|a|2或|a|=aa 4）cosq=ab|a|b|5）|a
3、b|a|b| 二、师生互动，新课讲解： 1 平面向量数量积的坐标表示 探究：已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，怎样用a与b的坐标表示ab？ a=x1i+y1j，b=x2i+y2j， SCH高中数学同步教学设计 ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x2y1ij+y1y2j2 又 ii=1，jj=1，ij=ji=0 ab=x1x2+y1y2 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2 向量的模 若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=x2+y2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y
4、2)，那么 a=(x2-x1,y2-y1)|a|=(x2-x1)2+(y2-y1)2. 3 向量的垂直 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则 abx1x2+y1y2=0. 4 向量的夹角 设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，q是a与b的夹角，则 cosq=ab=|a|b|x1x2+y1y2x+y2121x+y2222. 例1： 已知a=(3,-1)，b=(1,-2)，求ab，|a|，|b|，a与b的夹角q. b=31+(-1)(-2)=5， 解：a |a|=32+(-1)=10，|b|=12+(-2)=5， cosq=ab52p=,q=. |a|b|24105
5、22变式训练1：已知a=(1,2)，b=(2,-2)，求|a|，|b|以及a与b的夹角q的余弦值. |a|=5,|b|=22,cosq=12+2(-2)52210 =-10uuuruuur例2 ：已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求证:ABAC. uuuruuur解：AB=(1,1),AC=(-3,3),uuuruuurABAC=(1,1)g(-3,3)=0 uuuruuurABAC.变式训练2：已知|a|=213,b=(-2,3),且ab，求a的坐标. SCH高中数学同步教学设计 解：设a=(x,y),x2+y2=213x=6x=-6 由题意得，或y=4y=-4-2x+3y=0
6、a=(6,4)或a=(-6,-4).例3 已知a=(-3,5)，b=(2,-3)，若a+kb与2a+3b垂直，求k的值. 解：a+kb=(-3+2k,5-3k),2a+3b=(0,1),由题意(a+kb)g(2a+3b)=5-3k=05k=.3变式训练3：已知a=(2,-3)，b=(3,1)，且b-la与b垂直，求实数l的值. (b-la)gb=(3-2l)3+(1+3l)1=10-3l10l=.3uuuruuur例4 已知AB=(-2,k),AC=(3-2k,k+1),求实数k的值，使三角形ABC是直角三角形. uuuruuuruuur解：BC=AC-AB=(5-2k,1)uuuruuur当
7、A是直角时,ABgAC=k2+5k-6=0k=1或k=-6;uuuruuur 当B是直角时，ABgBC=5k-10=0k=2;uuuruuur当C是直角时，BCgAC=4k2-15k+16=0，此方程无解，k=1或k=-6或k=2.变式训练4：在ABC中，AB=(2， 3)，AC=(1， k)，且ABC的一个内角为直角， 求k值. 解：当A = 90时，ABAC= 0，21 +3k = 0 k =-3 2当B = 90时，ABBC= 0，BC=AC-AB= (1-2， k-3) = (-1， k-3) 2(-1) +3(k-3) = 0 k =11 3313 2当C = 90时，ACBC= 0
8、，-1 + k(k-3) = 0 k =三、课堂小结，巩固反思： 1 平面向量数量积的坐标表示， 2 能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题. 四、课时必记： 1向量的模 若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=x2+y2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么 SCH高中数学同步教学设计 a=(x2-x1,y2-y1)|a|=(x2-x1)2+(y2-y1)2. 2 向量的垂直 设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0. 3 向量的夹角 设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)
9、，q是a与b的夹角，则 cosq=ab=|a|b|x1x2+y1y2x+y2121x+y2222. 五、分层作业： A组： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 B组： 1.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于 A.(,)或(,)C.(,-)或(-34554355 B.(,)或(-,-) D.(,-)或(-,) 34553545354543,)55354534552、 已知a = (3， -1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = -4的向量x. 解：设x = (t， s)， 3t-s=9t=2 由 x = (2， -3) xb=-4t+2s=-4s=-3
10、3、 已知a，b，则a与b的夹角是多少? 分析：为求a与b夹角，需先求ab及ab，再结合夹角的范围确定其值. 解：由a，b 有ab33，a，b2 xa=9SCH高中数学同步教学设计 记a与b的夹角为，则ab2 =ab2又， C组： p 41、 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角OAB，使B = 90，求点B和向量AB的坐标. 解：设B点坐标(x， y)，则OB= (x， y)，AB= (x-5， y-2) OBAB x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0 又|OB| = |AB| x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29 73x=x=12x+y-5x-2y=02或2 由3710x+4y=29y1=-y2=2222B点坐标(,-)或(,)；AB=(-,-)或(-,) 7232372232727322
