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1、44 变上限积分函数及其导数模块基本信息 一级模块名称 积分学 二级模块名称 基础模块 变上限积分函数及其三级模块名称 模块编号 4-4 导数 1、定积分的概念 模块编号 4-2 先行知识 2、定积分的性质 模块编号 4-3 知识内容 教学要求 掌握程度 1、理解变上限积分函数1、变上限积分函数及原函数的概念 及原函数的概念 一般掌握 2、掌握变上限积分函数2、变上限积分函数的求导 的求导 能力目标 培养学生知识类比、迁移的能力 时间分配 45分钟 编撰 王明 校对 熊文婷 审核 危子青 修订人 张云霞 二审 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：先复习定积分的概念和性质，给出变上限积分函数的
2、定义，通过两个定理来展示变上限积分函数的性质. 特点：引导学生根据已学过的相关知识理解新知识 二、授课部分 新课讲授 前面我们利用定积分的概念计算了定积分的值，从中我们可以看到利用定义来求定积分是一件十分麻烦而困难的事，因此我们必须寻找一种计算定积分的新方法，即后面要学习的微积分基本定理。为了学习微积分基本定理，我们先来研究变上限积分函数及其导数的相关知识，为微积分基本定理的证明做准备. 1、变上限积分函数 定义：设函数f(x)在区间a,b上连续, 并且设x为a,b上的一点， 考察定积分af(x)dx，如果上限x在区间a,b上任意变动，则对于每一个取定的x，定积分都有一个相应的积分值与之对应.
3、因此它在a,b上定义了一个函数，称为变上限积分函数，记作 F(x)=af(x)dx, 为明确起见，常记作F(x)=af(t)dt。 说明：当f(x)0，利用定积分的几何意义可以直观地看到积分上限的xxx函数所表示的意义：积分af(t)dt表示图1中阴影部分的面积. F(x) 图1 x y=f(x) xa 下面讨论这个函数的可导性 c 定理1 如果函数f(x)在区间a,b上连续, 则函数 F(x)=af(x)dx 在a,b上具有导数, 并且它的导数为 xF(x)=daf(t)dt=f(x)(ax0, 则同理可证F+(x)= f(a);若x=b , 取Dx0, 则同理可证F-(x)= f(b).
4、注：(1)变上限积分函数的导数其结果为被积函数f(x)本身 若F(x)=f(x)，则称函数F(x)为f (x)在a,b上的一个原函数.此定理说明连续函数一定存在原函数，它其中的一个原函数就是一个变上限积分函数. 2、例题 例1 求下列函数的导数： F(x)=etcos3tdt1F(x)=cos(2t+1)dt 0xx0F(x)=edtF(x)=2etdt 1x2t2x3x解：直接利用积分上限函数的求导法则，F(x)=cos(2x+1). F(x)=-etcos3tdt,则F(x)=-excos3x. 0x (3) F(x)=x1edt可视为g(u)=etdt与u=x2构成的1t2u2复合函数，
5、则由复合函数求导公式可得 F(x)=g(u)u=e2x=2xe. 说明：利用此方法，可推出一般公式 u2x4(j(x)atf(t)dt)=f(j(x)j(x)x2tx2t0003 F(x)=3edt+edt=edt-etdtxx2tx320x3则F(x)=(edt)-(etdt)=ex2x-ex3x200说明：一般的，若F(x)=g(x)h(x)f(t)dt，有 F(x)=f(g(x)g(x)-f(h(x)h(x) 例2 求极限limx0x0cost2dtx. 0解： 此极限是型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数0的导数公式得 cosx2=1 原式=limx01例3 求极限limx01cosxe-tdtx2. 0解： 此极限是型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数0的导数公式有 limx01cosxe-tdtx2=limx0-cosx1e-tdtx2-e-cosx(cosx)=lim x02x-e-cosx(cosx)e-cosxsinx=lim=lim x0x02x2x=1sinx1-1lime-cosxlim=e x0x02x2三、能力反馈部分 1、求下列函数的导数 xtan(2t+1)1F(x)=dt 1tF(x)=e-2tdtx0(3)F(x)=2xexlntdt t2、求极限 limx0x0sintdtx2. limx0x0(et-e-t)dt1-cosx
