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1、,第二章,五、历年试题解析,第三节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一元函数积分学(二)(62),令,已知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、历年试题解析,且 f(1)=0,则 f(x)=_.,解:,则,代入,由 f(1)=0,得c=0.,故,应填,注释:,的理解和不定积分.,解决此类问题的方法是先作变量代换求出,本题考查对于导函数,然后,积分就可求得,例1.(04.4分),题型(一)不定积分计算,(3-38),例2.(99.3分),解:,F(x)是f(x)的原函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设 f(x)是连续函数,则().,则,由于f(x)的原函数F(x)可表示为:,故(
2、A)正确选项.,(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.,(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.,(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.,(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.,A,注释:,本题考查原函数的概念及变上限函数的表示法.,通过举例即知选项(C)与(D)均不正确.,对于选项(A),(3-29),例3.(93.5分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法1:,被积函数是两类函数相乘,应使用分部积分法.,原式=,计算,原式=,又,(3-15),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2:,则,令,本题考查不定积分的换元积分法与分部积分
3、法.,注释:,解法1:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.(01.6分),求,(3-33）,解法2:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查不定积分的分部积分法和换元积分法.,例5.(94,5分),求,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法1:,(3-18),解法2:,由半角公式得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法3:,用万能代换,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查三角函数有理式的不定积分.,设 f(x)连续,则 f(x)=_.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题型(二)定积分积分计算,例1.(89.3分),且,解:
4、,令,则 f(x)=x+2a.,代入,得,由此得,则 f(x)=x 1.,应填 x 1.,x 1,注释:,本题考查定积分的计算.,本题关键是搞清,是个常数,只要定出这个常数,f(x)就可求得.,(3-6),例2.(90.5分),求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式=,注释:,本题考查定积分的分部积分法.,(3-9),例3.(92.5分),设,解:,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,则,原式=,且 x=1时,t=1,注释:,本题考查定积分的换元积分法.,x=3时,t=1.,(3-11),例4.(98.6分),原式=,解:,由于,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求
5、,由夹逼原理可知,而,(3-26),例5.(00.3分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法1:,解法2:,由定积分的几何意义知,注释:,定积分,表示圆,所围成面积的,此圆半径为1,其面积为,故,本题考查定积分的换元积分法.,解法2利用定积分,应填,体现了填空题的解题技巧,应注意掌握.,几何意义求解,(3-31),例6.(07.4分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,应填,解:,本题考查定积分的分部积分法.,(3-42),例7.(02.3分),注释:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1,本题考查广义积分的计算.,应填 1.,(3-34),例8.(05.11分),曲线
6、C的方程为y=f(x),如图,点(3,2)是,它的一个拐点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,直线,分别是曲线C在点(0,0)与(3,2),处的切线,其交点为(2,4),设函数 f(x)具有三阶连续,导数,计算定积分,解:,由点(3,2)是曲线y=f(x),的拐点知,由直线,分别是曲线,y=f(x)在点(0,0)与(3,2)处的,切线知,(3-41),机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用定积分分部积分法可得:,注释:,本题是综合题.,解题的关键是从图上得到上述条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题型(三)变上限积分,例1.(87.8分),求正的常数a 与b,使等式,成立.,解:,
7、由洛必达法则知:,原式=,所以b=1.,原式=,注释:,本题考查带有变上限积分的未定式极限,求这,但要注意洛必达法则,类极限一般都是用洛必达法则,与等价无穷小代换的结合,以简化运算.,(3-2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设f(x)为已知连续函数,例2(87.3分),其中s 0,t 0,则I 的值().,(A)依赖于s 和 t;,(B)依赖于s,t,x;,(C)依赖于t 和x,不依赖于s;,(D)依赖于s,不依赖于t.,解:,可见 I 的值只与s有关,故选项(D)正确.,D,注释:,本题表面上看是变上限积分,实际上只需作变量,代换并利用定积分的概念即可得到结果.,(3-3),例3(8
8、8.3分),且,f(7)=_.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,等式,令x=2,得,解:,设f(x)是连续函数,两边对 x 求导数得:,应填,注释:,本题考查变上限积分求导.,则,而令 x=2 是解题,的关键.,(3-4),机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,则,解:,设 f(x)是连续函数,例4.(90.3分),由,知,故选项(A)正确.,A,注释:,本题考查变上限积分求导.,用直接法解此题.,(3-8),令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5(93.3分),解:,解得,则F(x)单调减少区间为,注释:,本题考查变上限积分求导和函数单调性的判定.,的单调减少区间为_.,函数,(
9、3-12),例6.(93.3分),解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则当x0 时,因为,因此应选(B).,(A)等价无穷小;,(B)同阶但非等价无穷小;,(C)高阶无穷小;,(D)低阶无穷小.,B,注释:,本题考查变上限积分的求导及无穷小的比较.,f(x)是 g(x)的().,故当x0时,f(x)是g(x)的同阶但,非等价的无穷小.,(3-13),例7.(94.5分),第二节 目录 上页 下页 返回 结束,设,在,求,注释:,的值.,解:,本题考查变上限积分求导和参数方程求导数.,(3-17),例8(95.3分),由于,注释:,本题考查变上限积分求导.,机动 目录 上页 下页 返回
10、 结束,所以,应填,注意:,解:,在变上限积分,中,t 是积分变量,x 是参变量,一经取定不再,变化,故可提到积分号的外面.,此外,由于积分,是“积不出来”的,所以积分,不必计算!,(3-19),例9(96.3分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,f(0)=0,且当x0 时,设 f(x)有连续导数,无穷小,是同阶,则 k 等于().,(A)1;,(B)2;,(C)3;,(D)4.,约去x,C,(3-20),机动 目录 上页 下页 返回 结束,分子,而分式极限存在且为非零常数,则k=3.,故应选(C).,本题考查变上限积分求导,注释:,洛必达法则及无穷小,阶的比较.,机动 目录 上页
11、下页 返回 结束,例10.(97.3分),则F(x)().,设,本题考查变上限积分法的导数及定积分的性质.,注释:,(A)为正常数;,(B)为负常数;,(C)恒为零;,(D)不为常数.,解:,由于,则,而,故选项(A)正确.,A,(3-23),(A为常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.(97.6分),设 f(x)连续,求,解:,由题设知(0)=0,f(0)=0.,令xt=u,由导数定义知,则有,由于,注释:,本题考查定积分换元积分法,变上限积分求导,导数定义求导,函数在一点连续性.,即有,(3-24),例12.(98.3分),设 f(x)连续,则,机动 目录 上页 下页 返回
12、结束,注释:,本题考查变上积分的求导.,解:,则t=0 时,t=x 时,u=0.,故选项(A)正确.,A,这类问题通常是通,过变量代换将被积函数中的参变量x换到积分限上去.,(3-25),例13.(99.3分),当t=0 时,u=x;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,t=x 时,u=0,则有,应填,注释:,本题考查换元积分法和变上限积分的求导.,(3-28),例14.(98.6分),设 f(x)是区间0,1上的任一非负连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数.,(1)试证存在,使得在区间,上以,为高的矩形面积等于在区间,上以 y=f(x),为曲边的曲边梯形的面积.,(2)又设
13、f(x)在区间(0,1)内可导,证明(1)中的,是唯一的.,分析:,先写出欲证的式子:,存在,将此式凑成罗尔定理结论,(3-27),的形式并满足相应条件,即构造(x),为了证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查罗尔定理,变上限积分求导,函数单调性.,的唯一性,只要证明,单调,即证,为定号即可.,证:,令,则(x)在0,1上满足罗尔,定理的条件,因此存在,使,这就证明了,的唯一性.,在点(0,0)处的切线相同,并求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15.(02.7分),已知两曲线 y=f(x)与,写出此切线的方程,分析:,可求得,然后用导数,即可.,解:,由题设条件
14、知 f(0)=0,故所求切线方程为 y=x.,两曲线 y=f(x)与,在点,(0,0)处的切线相同,定义求极限,(3-35),例16(04.4分),把,排列起来,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时的无穷小量,使排在后面的,是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是().,(A),;,(B),;,(C),;,(D),.,解:,由于,所以,时 是比 高阶的无穷小量.,由于,所以,时 是比 高阶的无穷小量.,故选项(B)正确.,B,(3-39),例17.(08.10分),证明函数,设 f(x)是连续函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且,()当f(x)是以2为周期的周期函数时,()利用定义证
15、明函数,可导,所以有,也是以2为周期的周期函数.,()证:,对任意的 x,由于f(x)是连续函数,(3-44),其中 介于x 与x+x 之间,因此函数 F(x)在点 x 处可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又由于 f(x)的连续性,所以有,当x 0 时,x.,且,要证明G(x)是以2为周期的函数,()证:,即要证明对,任意的x,都有G(x+2)=G(x).,由于,即有G(x+2)G(x)=0.,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于f(x)是以2为周期的函数,所以,证毕.,注释:,本题考查微积分基本定理的证明,周期函数的,变上限的积分.,因此,即有,所以G(x)是以2为周期的函
16、数.,例18.(09.4分),设函数 f(x)在区间1,3上的图形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则函数,的图形为().,(3-45),机动 目录 上页 下页 返回 结束,由题设知,当,则有,注释:,本题考查变上限积分的性质与其导函数的关系.,故选项(A)错误.,时,由于,从而F(x)单调增,解:,由于,则 F(0)=0,显然选项(C)错误.,又由于,时,则当,时,故选项(B)错误.,由排除法,选项(D)正确.,题型(四)定积分性质(积分中值定理),本题要证存在,分析:,设 f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.(91.7分),证明在(0,
17、1)内存在一点c,且,首先应联想,到罗尔定理,因此证明的关键是要找出使 f(x)的函数,值相等的两个点.,证:,由积分中值定理知,即有,又,也即有,f(x)在0,上满足罗尔定理的条件,因此存在,证毕.,（3-10）,例2.(00.6分),机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 f(x)在0,上连续,且,试证:在(0,)至少存在两个不同的点,分析:,构造函数,显然,若能证明在0,有三个零点,由罗尔定理知在(0,)上,至少存在两个不同的点,即,由于F(0)=0,F()=0,使,所以只要,证明在(0,)内至少还有F(x)的一个零点即可.,（3-21）,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则
18、,设,知至少,又,因若不然,则在(0,)内或,恒为正,或,恒为负,均与,矛盾.,由于,时,故,由此证得,再对F(x)在0,和,上分别应用罗尔定理,存在,即,证毕.,例3(94.3分),解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,则有().,所以有 P M N.,分析:,题中三个积分的积分区间都关于原点对称,因此,(A)N P M;,(B)M P N;,(C)N M P;,(D)P M N.,首先应考虑被积函数的奇偶性.,由被积函数的奇偶性可知:,M=0.,选项(D)正确.,D,（3-16）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,题型(五)定积分应用(几何),例1.(87.3分),由曲线y=ln
19、 x 与两直线y=(e+1)x,及y=0 所围成的平面图形的面积是_.,解:,分析:,求平面图形面积的题一般应先画图,然后确定,积分表达式.,注释:,依题意画图.,所求图形的面积为:,得交点坐标为(e,1).,由,以y 为积分变量,本题考查用定积分求面积,本题以y为积分变量,计算简单!,（3-1）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,双纽线,例2(93.3分),所围成区域的,面积用定积分表示为().,解:,所围成的图形关于x轴y,轴都对称,A,所求面积应为第一象限的4倍.,而双纽线的,极坐标方程为,双纽线,设双纽线在第一象限所围面积为,则有,所求面积为,在第一象限 的取值范围是,因此选项(A)
20、正确.,(双纽线图形见书P346图(14),（3-14）,例3(03.10分),在点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)求D的面积A;,解:,过坐标原点作曲线y=lnx 的切线,(2)求D绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.,依题意画图如下.,所求图形面积为,(1)设切点横坐标为,该切线与曲线y=lnx 及x轴围成平面图形D.,则曲线lnx,的切线方程为,由于该切线过原点,所以有,即有,该切线方程为,（3-36）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,体积微元为,图中阴影部分窄条绕直线x=e旋转所得,(2)用微元法.,旋转体体积为,注释:,本题考查平面图形的面积和旋转体体积的计算
21、.,解决此类问题的关键是熟练掌握定积分的微元法.,例4.(07.4分),如图,连续函数 y=f(x)在区间3,2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分别是直径为2的下、上半圆周.,则下列结论正确的是,2,3上的图形分别是,在区间 2,0,0,2上的图形,C,直径为1的上、下半圆周,().,且,（3-43）,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注释:,本题考查定积分的几何意义.,由所给图形知 f(x)是奇函数,由排除法应选(C).,则,是偶函数.,从而,因此选项(A),(B),(D)均不正确,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5(97.3分),解:,由题设条件对 f(x)的图形进
22、行分析,则有().,设在区间a,b上f(x)0,易知曲线 f(x),在 x 轴上方,单调下降且为凹弧,并依题意画示意图.,表示曲边梯形ABCD的面积,表示矩形ABCE的,表示梯形ABCD的面积,显然有,故选项(B)正确.,B,面积,（3-21）,例6.(88.9分),面图形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 f(x)在区间a,b上连续,(a,b)内,的3倍.,依题意画示意图如下:,在(a,b)内存在唯一的,y=f(x)与两直线 y=f(),x=a 所围平面图形的面,积,是曲线 y=f(x)与两直线 y=f(),x=b 所围平,证明:,且在,使曲线,分析:,（3-5）,先用变上限积
23、分表示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,构造辅助函数,然后由题设,使问题转化为证明函数,F(x)在(a,b)内有唯一零点 的问题.,证:,令,其中,显然 F(x)在a,b 上连续.,又有,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,于是,即,由连续函数的介值定理知,使F()=0,至少存在一点,即,使,的唯一性可由F(x)的单调性得到.,所以F(x)在a,b上单调增加,故在(a,b)内只有一个,证毕.,例7(96.5分),求心形线,注释:,本题考查极坐标表示的曲线弧长的计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的全长,其中a 0 是常数.,解题的,解:,分析:,心形线是一条关于x 轴对称的封闭曲
24、线,当曲线,由极坐标r=r()表示时,弧微分,由对称性可知,所求心形线全长为,关键是要记住用定积分求弧长公式,并能正确确定参,数的变化范围0.,（3-21）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抓斗抓起的污泥重2000N,为清除井底的污泥,例1(99.6分),井底,用缆绳将抓斗放入,抓起污泥后提出井口.,已知井深 30m,抓斗自重,400N,缆绳每米重50N,提升,速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从,抓斗缝隙中漏掉.,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需作多少焦耳的功?,(说明:,m,N,s,J 分别表示米,牛顿,秒,焦耳;,抓斗的高度,及位于井口上方的缆绳长度忽略
25、不计.),分析:,本题是变力作功问题.,抓斗将污泥从井底升到井,口克服重力作功,包括克服抓斗自身,缆绳和抓斗中的,（3-30）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,污泥三方面的重力所作的功,而在抓斗上升过程中抓,本题考查用微元法解决变力作功问题的方法.,注释:,斗中污泥的重力,缆绳的重力都在变化,因此需用定积,解:,以时间 t 为积分变量,则积分区间为0,10,在时间间隔t,t+dt内,分计算所作的功.,抓斗自重,缆绳重力,污泥重力,距离,画示意图如右图.,克服重力所作的功的微元为:,需用汽锤将桩打,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.(03.10分),某建筑工地打地基时,进土层,汽锤每
26、次击打,都将克服土层对桩的阻力而作,功.,设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度,进地下a m,汽锤第一次击打将桩打,成正比(比例系数为k,k 0),根据设计方案,要求汽锤击打桩所作的功,与前一次击打所作的功之比为常数 r(0 r 1).,问:,(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?,(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多,(注:m 表示长度单位米),深?,（3-37）,解:,(1)设第n 次击打后,桩被打进地下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则前三次击打所作功的总和为,第n 次击打时所作的功为,依题意当桩被打进地下的深度为x 时,土层对桩阻力,所以,从而有,又,由题设汽锤每次击打桩所作功与前次击打所作功之,比为常数 r知,大小为kx,即汽锤击打3次可将桩打进地下,米.,则,米,(2)由归纳法知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是,即若打击次数不限,至多可将桩打进地下,注释:,本题考查变力作功问题.,米.,其中第(2)小题是数列极限问题.,到此一元函数积分学的内容已复习完毕.,
