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1、,第四讲 不定积分、定积分及其应用,1 定积分的概念与性质,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,在(a,b)内插入n1个分点,梯形,曲边梯形,第四讲 不定积分、定积分及其应用,则由x=a,x=b,y=0与y=f(x)所围成的曲边梯形的面积A可以近似表示为,曲边梯形的面积为,第四讲 不定积分、定积分及其应用,2.变速直线运动的路程,分析：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例1 求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积,解：,将区间0,1
2、分成n等份：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,上面我们是以区间左端点的函数值作为小曲边梯形的高，如果以区间右端点的函数值作为高也能得到一样的结果：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,二、定积分的定义,上面两个例子都有下面的四个过程：,分割,近似代替,求和,取极限,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,积分上限,积分下限,注：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,存在定理,定理1,定理2,三、定积分的几何意义,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例1,解：,例2,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,四、定积分的性质,对定积分的补充规定:,性质1,证,（此性质可以推
3、广到有限多个函数作和或差的情况）,第四讲 不定积分、定积分及其应用,性质2,证,性质3,第四讲 不定积分、定积分及其应用,补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.,例 若,则,注：1.定积分对于积分区间具有可加性 2.该性质多用于分段函数求定积分，由于在不同的区间上函数解析式不一样，所以要把定积分分成若干个区间去求,第四讲 不定积分、定积分及其应用,性质4,证,第四讲 不定积分、定积分及其应用,性质4的推论：,（1）,证,第四讲 不定积分、定积分及其应用,（2）,证,第四讲 不定积分、定积分及其应用,性质5,证,注：该性质又称为定积分的估值定理，可以用于估计积分值的大致范围，也可用于证明一些积
4、分不等式,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例3,证明：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,性质6（定积分中值定理）,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,补充：介值定理,零点定理可以看成是介值定理的推论！,第四讲 不定积分、定积分及其应用,2 变上限积分的概念与定理,一、变上限定积分的定义,考察定积分,记,积分上限函数,第四讲 不定积分、定积分及其应用,二、变上限定积分的导数（性质）,证明：,在这里我们用导数的定义证明,第四讲 不定积分、定积分及其应用,由积分中值定理得,一个函数的原函数有无穷多个，任何两个之间相差一个常数,上式是 型的，我们可以先用一次罗比塔法
5、则,第四讲 不定积分、定积分及其应用,定理推广,例1,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,3 牛顿-莱布尼茨公式,定理（微积分基本公式）,证,令,令,第四讲 不定积分、定积分及其应用,微积分基本公式表明：,因此，求定积分问题转化为求原函数的问题.,由此也引出了另一个非常重要的概念-不定积分,例2,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,4 不定积分及其计算方法,注：定积分是一个具体的实数，而不定积分是一组函数（即函数的全体原函数，也称为原函数族）,被积表达式,一、不定积分的概念,第四讲 不定积分、定积分及其应用,二、不定积分的性质,3.微分运算与求不定积分的运算是互逆运算，但要注意最终结果
6、的不同形式！,先求导再求不定积分,先求不定积分再求导,先求微分再求不定积分,先求不定积分再求微分,第四讲 不定积分、定积分及其应用,三、不定积分基本公式表,积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,是常数);,第四讲 不定积分、定积分及其应用,不定积分公式记得越多对我们解题的帮助就越大，可以省去很多繁琐的过程，以后我们还会陆续补充一些公式。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例1,求,解：,例2,求,解：,例3,解：,求,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例4 求,解,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例5 求,解,例6 求,解,第四讲 不定积分、定积分及其应用,四、换元
7、积分法,1.第一类换元积分法（凑微分法）,定理,注：,凑微分法的关键是把 化成,公式 可以就是我们的不定积分基本公示表，也可以是平时常见的一些不定积分结果，都可以当成公式来用，总之，记的公式越多，那么“凑”的机会就越多！,当熟练地掌握了这种换元法后，可以不写出中间变量记号（即不引入新的变量记号）。这样可以省去还原这一步。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,解：,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,熟练凑微分法之后，可以直接先“凑”出想要的微分，然后再补上一些“系数”保持是恒等变形，省去一些繁琐的过程。,例7,例8,解：,原式,解：,原式=,第四讲 不定积分、定积分及其应用,解：,原式=,解
8、：,原式=,注:(14),(15)严格的来说不能算是什么公式，但是在我们解不定积分的题目里发现经常会遇到这类题目，所以不如将它们当成公式来记忆，不仅节省了时间，也保证了正确率，又如：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,2.第二类换元积分法（变量代换法）,注：上述定理看似很难懂，其实想要说明的问题很简单，就是通过变量代换的方法，把被积函数 中的自变量 用其它的变量（比如）来代换，使得原被积函数 的表达式发生适当的变化，从而变得易于求解不定积分。具体用何种形式的 来代换自变量，一般来说先把 中的某一部分或者整体用 来代换，然后再解出 即可，需要注意的是，经过变量代换解出不定积分后，不要忘了回代！,
9、第四讲 不定积分、定积分及其应用,根式代换法（根号下为一次式）,当被积函数中含有形如 的式子时，一般是令 当含有若干个形如 时，则令根指数最大的那个式子等于,例13,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例14,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例15,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,解：,例16,第四讲 不定积分、定积分及其应用,三角代换法（根号下为二次式）,注：右边的三角形可以帮助我们在回代的时候很方便的求出其他的三角函数值；并不是所有的含有上述形式的不定积分都必须用三角代换的，有的不定积分用普通的方法就可以求出，要加以注意。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例17,解：
10、,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例18,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,前面说了并不是所有的形如上面的根式都必须用三角代换，像上面的例18也可以用凑微分的方法来求解，具体如下：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,五、不定积分的分部积分法,两边同时求不定积分，得,也可以写成,注：分部积分法同样是改变被积函数的形式，已到达方便求解的目的，这里是把被积函数 改变为；但是如果 选择不当，反而会使得问题变得更加复杂！,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例19,解,把lnx看作u，dx看作dv，用公式,得,第四讲 不定积分、定积分及其应用,解,注：我们会经常遇到连续两次或两次以上使用分部积分法
11、的题目。,例21 求,解 令 则 于是,注：从本题看出，在求解不定积分的时候，每一种方法都不是单独使用的，更多的时候是联用。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,六、不定积分公式补充,第四讲 不定积分、定积分及其应用,*下面六个反三角函数的不定积分不要求记忆，但要知道如果求解（分部积分法）,第四讲 不定积分、定积分及其应用,*下面九个公式要求记忆，在解题的时候会大大减少计算量它们分别是由 三个二次式变化而来的，看似繁琐，仔细观察还是有规律的！,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、
12、定积分及其应用,这题的解法有些独特，在求解的过程中循环出现了被求解的不定积分，用此方法还可以求解形如 的题目,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,5 定积分的计算方法、广义积分、定积分应用,一、定积分的计算方法,由牛顿-莱布尼茨公式,可知，求定积分的问题关键在于求其对应的不定积分，这点我们已经做了大量的准备工作了，这里以例题为主，在具体求解定积分的过程中我们还需要注意以下几点：,1.利用换元法时，积分上下限也要作相应的变化，且要严格按照原来的次序，即上限对上限，下限对下限；由于已经改变了积分上下限，所以最后一步不需要再“回代”了
13、。,2.利用分部积分法时计算量大，要细心，尤其是多次分部的情况,3.能够利用特殊方法化简定积分计算的要尽量使用，如利用奇偶性、周期性、递推公式等等。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例1,解：,原式=,例2,设,求,解：,注：当所求定积分的被积函数是一个分段函数或者含有绝对值时，一般都需要分成不同的区间来求解定积分。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例3,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例4,解：,原式=,例5,证明：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,定积分与积分符号无关,此题结论给了我们一种简化定积分运算的方法,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例6,解：,原式=,例7,解：,
14、原式=,递推公式,第四讲 不定积分、定积分及其应用,二、广义积分,1.无穷区间的广义积分,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例1 计算广义积分,解：,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例2 计算广义积分,解,第四讲 不定积分、定积分及其应用,证,第四讲 不定积分、定积分及其应用,2.无界函数的广义积分,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例4 计算广义积分,解,例5 计算广义积分,解,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例6
15、计算积分,解,例7 计算积分,解,1是瑕点,0是瑕点,极限不存在，所以原广义积分发散,注：广义积分是定积分的推广，其本质就是求定积分的极限，如果是计算题一定要有严格的极限形式的求解过程。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,三、定积分的应用,这部分知识是利用“微元法”的思想求解平面图形的面积、旋转体体积及平面曲线的弧长，所微元法就是我们在介绍定积分的概念时用到的“分割、近似、求和、取极限”的思想。,1.平面图形的面积,直角坐标情形,第四讲 不定积分、定积分及其应用,注：如果平面区域既不是x型区域，也不是y型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x型区域与y型区域，然后计
16、算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,参数方程情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,由于一般情形下的曲边梯形面积为,极坐标情形,第四讲 不定积分、定积分及其应用,2.旋转体的体积,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,第四讲 不定积分、定积分及其应用,3.平面曲线的弧长,直角坐标情形,参数方程情形,第四讲 不定积分、定积分及其应用,极坐标情形,注：定积分应用这部分知识的特点是记忆的公式较多，应用起来并不是很难，关键问题是画图，只有把图形画出来了，才能更好的应用公式。,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例8,解：,例9,解：,1,1,1,e,第四讲 不定积分、定积分及其应用,补充内容：微元法,在引入定积分的概念时我们就已经接触了微元法，在此简单回顾,第四讲 不定积分、定积分及其应用,第四讲 不定积分、定积分及其应用,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做微元法,第四讲 不定积分、定积分及其应用,应用举例,例1,例2,第四讲 不定积分、定积分及其应用,例3,例4,
