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1、Alwlla数学分析8收敛数列的性质秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。 收敛数列的性质 教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。 教学要求：使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性； 掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。 教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用。 教学难点：数列极限的计算。 教学方法：讲练结合。 教学程序： u 引 言 上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证liman=a的方法，这是极限较基本的内容，要n求掌握。为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题。还需要对数
2、列的性质作进一步讨论。 一、收敛数列的性质 性质 若数列an收敛，则它只有一个极限。 性质若数列an收敛，则an为有界数列。 n注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件。例如数列(-1)有界，但它不收敛。 性质 若liman=a0，则对任何a(0,a)，存在正数n，使得当nN时有ana。 性质设数列an与bn均收敛，若存在正数N0，使得当nN0时有anbn，则limanlimbn。 nn思考：如果把条件“anbn”换成“anbn”，那么能否把结论换成limanN0时有ancnbn，则数列cn收敛，且limcn=a. n注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列
3、极限的工具。 下面是其应用一例： 例 求数列n的极限。 n性质 若an、bn为收敛数列，则an+bn,an-bn,anbn也都收敛，且有 lim(anbn)=ab=limanlimbn; nnnlim(anbn)=ab=limanlimbn. nnn若再做假设bn0及limbn0，则数列nan也收敛，且有 bnananalimnlim=. nbblimbnnn特别地，若bn=c，则lim(an+c)=liman+c，limcan=climan. nnnn在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。下举几例； amnm+am-1nm-1+L+a1n+a0例 求lim，其中mk,am0,bk0
4、. nbnk+bnk-1+L+bn+bkk-110例 求liman，其中a-1. na+1nn例 求limn(n+1-n). 例 求lim111. +L+22nn2(n+1)(2n)二 数列的子列 引言 极限是个有效的分析工具。但当数列an的极限不存在时，这个工具随之失效。这能说明什么呢？难道an没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究。那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”。 子列的定义 定义 设an为数列，
5、nk为正整数集N+的无限子集，且n1n2n3Lnkk. 特别地，若nk=k，则ank=an，即ank=an. 注3 数列an本身以及an去掉有限项以后得到的子列，称为an的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为an的非平凡子列。 如a2k,a2k-1都是an的非平凡子列。由上节例知：数列an与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限。 那么数列an的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列an收敛an的任何非平凡子列都收敛。 由此定理可见，若数列an的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列必收敛于同一个极限。于是，若数列an有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列an一定发散。这是判断数列发散的一个很方便的方法。
