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1、n第十三章 动能定理第十三章 动能定理 13-1 圆盘的半径r=0.5m，可绕水平轴O转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块A，B，质量分别为mA=3 kg，mB=2 kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩按。求j=0到j=2p时，力偶M与M=4j的规律变化物块A，B的重力所做的功之总和。 W=WM+WA+WB2p j =O4jdj+(m0A-mB)g2pr M =109.7J A B 图13-1 13-2 图示坦克的履带质量为m，两个车轮的质量均为m1，车轮视为均质盘，半径为，两车轮轴间距离为pR设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。 D C rR vB A 图13-2 解： 1
2、. 先研究车轮，车轮作平面运动，角速度 w=v；两车轮的动能为 R1113T1=2m1v2+m1R2w2=m1v2 22222. 再研究坦克履带，AB部分动能为零， CD部分为平动，其速度为2v ；圆弧 AD与BC部分和起来可视为一平面 运动圆环，环心速度为v ，角速度为w=则履带的动能为 T2=v ， R1m2(2v)2+1m2v2+1m2R2w2=m2v2 2422221(3m1+2m2)v2 23. 此质点系的动能为 T=T1+T2=13-3题 解：P为B运动的瞬心，以B为动点，动系与平板A固结 vvv则：va=ve+vr 且：vr=rw,ve=v,va=vB 故：vB=ve+vr=v+
3、rw 则该系统的动能为： wrBPvvevvrvvT=1211mvB+JBw2+Mv2222111 =m(v+rw)2+mr2w2+Mv224213-4均质连杆AB质量为4kg，长l=600mm。均质圆盘质量为6kg，半径r=100mm。弹簧刚度为k=2 N/mm，不计套筒A及弹簧的质量。如连杆在图示位置被无初速释放后，A端沿光滑杆滑下，圆盘做纯滚动。求：当AB达水平位置而接触弹簧时，圆盘与连杆的角速度；弹簧的最大压缩量。 A 30 B图13-3 (1)设物体A下落h时，物体A的速度为VAT1=0 1122(mlwAB)23lW=mg2sin300T2-T1=WT2=wAB=3g=4.952r
4、ad/s2l(1)设弹簧的 最大变形量为dmaxT1=0 T2=0W=mg(2+T-T=W21ldmax1)sin300-kd2max22dmax=87.1mm13-5如图所示，质量为m的滚子A沿倾角为q的斜面向下只滚不滑，并借助于跨过滑轮B的绳提升质量亦为m的物体C，同时质量为m的均质滑轮B绕O轴转动，滚子A和滑轮B的半径相等，求物块C的速度和加速度。 B O A C 解：设滚子质心下滑距离S时，质心的速度为n 以整体为研究对象，设滚子半径为R，初始动能为T1=常量 该系统的动能为 T2=1311122mR2wA+mR2wB+m2v2 22222将RwA=RwB=v代入，得 T2=1(2m+
5、m2)v2 22W=(mgsinq-mg)s 由动能定理得， 1(2m+m2)v2-T1=(mgsinq-m2g)s 2将上式两边对时间求导得 a=msinq-m2g 2m+m2yA 以A为研究对象 vFTvFxmacx=m(-aA)=FT+F-mgsinq (1)macy=m0=FN-mgcosq (2)a1JAaA=(mR2)A=Fr (3)2R联立和得： vmgvFN3mm2+(m2+2mm2)sinqFT=g 2(2m+m2)13-6 均质OA杆可绕水平轴O转动，另一端铰接一均质圆盘，圆盘可绕铰A在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA长l，质量为m1；圆盘半径为R，质量为m2。摩擦不
6、计，初始时杆OA水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成角的瞬时，杆的角速度和角加速度。 AO q A 图13-6 v解：对于圆盘A有JAaA=MA(Fi)=0 即有：aA=0 而初始圆盘静止，故圆盘A平动。 T1=0112JOwOA2+m2vA221而vA=wOAl,JO=m1l2311221122故：T2=m1lwOA+m2l2wOA=(m1+3m2)l2wOA2326lW=mgsinq+m2glsinq12T2-T1=WT2=TOA+TA=1l2(m1+3m2)l2wOA=m1gsinq+m2glsinq (1)62(3m1+6m2)gsinqwOA=(m1+3m2)l将式两1边对时间求导得(
7、3m1+6m2)gcosqaOA=2(m1+3m2)l13-7题 解：当软绳FG被剪断之后，方板做平行移动，且剪断瞬间速度为零 vEDv FADyFBE AB v aAxC FG 由平面运动方程 vx maCx=mgcos60 0mgmaCy=FAD+FBE-mgsin600=0 bbbbJCa=-FADsin600-FADcos600+FBEsin600-FBEcos600=0 222213-13+1mg=71.74kN，FAD=mg=267.74kN 解得：aCx=g，FAD=24412T1=0,T2=mv 2 W=mg(1 )l-sin060由动能定理得：vFADAvFBEvaCyB12
8、mv=mgl(1-sin600) 2因AD和BE在铅直位置时，板无水平方向的力， 故板无水平方向的加速度 v2=2g(1-sin600)=2.63m/s2 且FAD=FBE，故aCy=aA=l由质心运动定理：FAD+FBE-mg=maCy 解得：FAD=FBE=vmg3-3mg=248.5kN 213-8 三个均质轮B、C、D，具有相同的质量m和相同的半径R，绳重不计，系统从静止释放。设轮D作纯滚动，绳的倾斜段与斜面平行。试求在重力作用下，质量亦为m的物体A下落h时的速度和加速度。 C D aB A 图13-8 解： 设物体A下落h时，物体A的速度为vAT1=0 121211121mvA+mv
9、B+JBwB2+Jcwc2+mvD+JDwD2222222 v2vv2v1wB=B,vB=vA,wC=B,wD=D=B,JB=JC=JD=mr2rrrr2212T2=mvA,4T2-T1=WT2=W=2mgh-mDghsina(1)8gh(1-sina)vA=21 将式两边对时间求导得：14mg(1-sina)aA=21(2)以B为研究对象 v JBaB=MB(F)=FT1R-FBCR maB=mg-FT1-FBC+FT2 其中：aB=vFT1aBBFBCvmgFT2vFT2aB12，aB=aA，JB=mR R2A以A为研究对象 ma (3) A-FT2=maA联立、得：FBC= 13-9题
10、解：T1=0 vmg16+5sinamg 2112 T2=JOw 21 W=mg(2-1)a 2 其中：JO=JC+m( 由T2-T1= 解得：w= CAO4502212222a)=m(a2+a2)+m(a)=ma 212231222(ma)w=mg(2-1)a 得：W233g(2-1)2.468=rad/s 2aa板作平面运动，而瞬心： Fx=0，则质心C将铅直下落，当板处于水平位置时，P为T1=0： T2=1JPw2 21mg(2-1)a CA2PC121125222vm(a+a)+m(a)=ma 其中：JO=JP+m(a)=vC21221245015v22 由T2-T1=W得：(ma)w
11、=mg(2-1)a vOOAO212W= 解得：w=12g(2-1)3.121=rad/s 2aa13-10 图示均质杆长为2l，质量为m，初始时位于水平位置。如A端脱落，杆可绕通过B端的轴转动、当杆转到铅垂位置时，B端也脱落了。不计各种阻力，求该杆在B端脱落后的角速度及其质心的轨迹。 解：B脱落前瞬时 1m(2l)2w2=mgl233gw=2lB脱落后杆以此角速度在铅直面内匀速转动。 B脱落后瞬时 vCx=lw=3gl 2B脱落后杆质心作抛体运动 3glt2 1yC=-l-gt223gl22xC=t 2gyC+l=-t2 22xC+yC+l=0 式、消去t，得 3l22即：xC+3lyC+3l=0 xC=此即所求脱落后质心的运动轨迹。
