]初中数学定理证明.docx

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1、初中数学定理证明初中数学定义、定理、公理、公式汇编 直线、线段、射线 七上p128 1. 过两点有且只有一条直线. 七上p132 2.两点之间线段最短 七上p142 3.同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等. 七下p4 4. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 七下p6 5. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 平行线的判断 七下p13 1.平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 七下p13 2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 七下p14 3.同位角相等，两直线平行. 七下p14 4.内错角相等，两直线平行. 七下p15 5

2、.同旁内角互补，两直线平行. 平行线的性质 七下p20 1.两直线平行，同位角相等. 2.两直线平行，内错角相等. 3.两直线平行，同旁内角互补. 三角形三边的关系 七下p64 1.三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边. 三角形角的关系 七下p73 1. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180. 2.直角三角形的两个锐角互余. 已知：RtDABC,C=90 求证：A+B=90 证明：C=90，A+B+C=180 A+B=90 七下p75 3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 4. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 全等三角形的性质、判定 八上p

3、3 1.全等三角形的对应边、对应角相等. 八上p9 2.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 八上p11 3. 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 八上p12 4.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 八上p7 5. 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等. 八上p14 6. 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 角的平分线的性质、判定 八上p20 性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 八上p21 判定：到一个角的两边的距离相同的点，在这个

4、角的平分线上. 等腰三角形的性质 八上p50 1.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角). 2.推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 . 已知：DABC中，AB=AC,AD是BAC的角平分线 求证：AD平分BC,ADBC. 证明：AB=AC,AD是BAC的角平分线 AD平分BC,ADBC. 八上p32 4.若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 九上p64 5.关于中心对称的两个图形是全等的. 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过八上p50 3.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合. 八上p

5、54 4.推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 . 等腰三角形判定 八上p52 1等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 八上p54 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 八上p54 3.有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形. 线段垂直平分线的性质、判定 八上p33 1. 定理： 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 . 八上p33 2.逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合. 轴对称、中心对称、 平移、旋转 八上p30 1. 关于

6、某条直线对称的两个图形是全等形 八上p32 八上p32 2.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 八上p33 3.两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 对称中心，并且被对称中心平分. 九上p64 6. 若两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称. 九上p57 p62 7.平移或旋转前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特殊形式。 八下p65 勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 . 八下p73 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关

7、系a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角八上p55 直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对的直角边等于斜边的一半. 八下p95 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半. n边形、四边形的内角和、外角和 七下p82 1.四边形的内角和等于360. 七下p83 2.四边形的外角和等于360 七下p82 3.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于180. 七下p83 .推论 任意多边的外角和等于360. 平行四边形性质 八下p84 1.平行四边形的对角相等. 八下p84 2.平行四边形的对边相等. 3.夹在两条平行线间的平行线段相等. 已知：直线ab,线段ABCD. 求证：AB=CD. 证明

8、：ab, ABCD， 四边形ABDC是平行四边形 AB=CD A C a B b 八下p85 D 4.平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形判定 八下p83 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 八下p87 2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 八下p87 3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 八下p87 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 八下p88 5. 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 八下p94 矩形性质 1. 矩形的四个角都是直角 . 2. 矩形的对角线相等. 矩形判定 八下p95 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 八下p96 2.有三个角是直角的

9、四边形是矩形. 八下p96 3. 对角线相等的平行四边形是矩形 . 八下p98 菱形性质 1、菱形的四条边都相等. 2. 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3、菱形面积=对角线乘积的一半，即s=12ab证明：菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形,且菱形对角线互相平分 设菱形对角线长为x,y则S菱形=41/2(x/2y/2)=1/2xy 所以菱形的面积等于其对角线乘积的一半 八下p99 菱形判定 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.四边都相等的四边形是菱形 3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 八下p100 正方形性质 1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

10、2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 正方形判定 八下p100 1.四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形 2.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 证明：对角线互相平分平行四边形； 对角线互相垂直的平行四边形菱形； 对角线相等的平行四边形矩形形； 菱形+矩形正方形 八下p107 等腰梯形性质 1.等腰梯形在同一底上的两个角相等. 2.等腰梯形的两条对角线相等. 等腰梯形判定 八下p108 1.同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 2.对角线相等的梯形是等腰梯形. 已知：梯形ABCD中，ADBC,AC=BD. 求证：梯形ABCD是等腰梯形。 证明：

11、 过D点作DEAC交BC延长线与E点， ADBC四边形ACED是平行四边形 AC=DE,ACB=DEB BD=AC BD=DEDBC=DEB DBC=ACBAC=BD,BC=CB 经过梯形一腰的中点与底平行的直线， 必平分另一腰. 已知：梯形ABCD中，ADBCEF，其中E是AB中点。 求证：F是CD中点 证明： 连接AC交EF于点G ADBCEF AEGABC E是AB中点 AEAB=AGAC=12 CGAC=12 同理可证CFCD=CGAC=12 F是CD中点. 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边. 八下p89 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一

12、半. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=1(a+b)，S=Lh 2已知：梯形ABCD中，ADBC, EF是梯形的中位线，设AD=a,BC=b,EF=l,梯形高为h。 求证：l=1(a+b) S=Lh 2证明：连接AF交BC延长线与G点 EF是中位线DF=CFADBCG=DAG,D=DCGDADFDGCFAD=CG=a,AF=FGEF是DABG的中位线EFBG,EF=12BGl=12(a+b)S=1DABG=S梯形ABCD2BGh S=12Lh 九下p36 比例的基本性质 如果a:b=c:d ad=bc 相似三角形判定 九下p42 1.定理：平行于三角形一边的直线

13、和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 九下p46 2.两角对应相等，两三角形相似. 九下p44 3.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 九下p43 4.三边对应成比例，两三角形相似 九下p47 5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 已知：RTABC和RTDEF，AC与DF为斜边，AB：DE=AC：DF 求证：RTABCRTDEF 证明：由勾股定理得：BC= AC2-AB2 EF=DE2-EF2设AB：DE=AC：DF=k AB:AC=DE:DF=k =k AB=kAC,DE=kDF BC=AC2-k2A

14、C2 =1-k2AC EF=DF2-k2DF2 =1-k2DF BC:EF=1-k2AC：1-k2DF =AC:DF=AB：DE 三边对应成比例 RTABCRTDEF 相似三角形性质 九下p52 1. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方. 九下p59-60 4.位似图形是相似图形的特殊形式。位似比等于相似比。 以三角形为例： 已知：DABC与DDEF是以O为位似中心的位似图形，位似比为1：k 求证：DABC与DDEF的相似比为1：k DABC与DDEF是以O为位似中心的位似图形 BCEF

15、 OBCOEF OBOCBC OE=1 理可得 OBOFEFk =OA= AC 1 , OEODED =k OCOAAC1 OF=OD=FD=k AC=BA=BC=OAEDEFOD=1 FDkABCDEF，DABC与DDEF的相似比为1：k 圆 九上p79 1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 九上p90 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径.的点的集合. 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合. 九上p79 4.同圆或等圆的半径相等. 九上p92 5.不在同一直线上的三点确定一个圆。 垂径定理 九上p81 1.垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 . 推论1

16、 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 . 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 已知：AB为圆O的一条弦，5.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等. 以下是等弦推出等弦心距的情况，其他的类似 CE垂直平分AB，垂足为D 求证：CE是过点O， AC=BC,AE=BE 证明：假设CE不过点O 连接OA,OD,OB OA=OB,AD=BD ODAB 又CDAB过点D有两条直线与AB垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立 CE是过点O，即CE是圆O的直径 根据推论1，可得AC

17、=BC,AE=BE 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 . 已知：O为圆心，CE是直径，AC=BC 求证：AE=BE，CEAB，AD=BD AC=BC AOCBOC. OA=OB AOB为等腰三角形，CE平分它的顶角。从“三线合一定理”， CEAB，AD=BD 又AOE180-AOC180-BOCBOE. AE=BE 九上p82 3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 . 九上p83 4.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 . 已知：AB，CD为圆O的两条等弦, OE AB, OF CD 求证：OE=OF 证明： BA=CD

18、 OEAB,OFCD 11 AE=2AB,CF=2C AE=CF 在RtOAE和RtOCF中AE=CF OA=OC RtOAERtOCF(H九上p85 OE=OF圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆所对的圆周角是直角；90 的圆周角所对的弦是直径. 九上p87 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形 . 三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相等. 如图，三种ABC中，ll1为 AB的垂直平分线，2为 BC的垂直平分线，l1与l2交

19、于点O，连接OA、OB、OC ， l1是 AB的垂直平分线， OBOA 又l2是BC的垂直平分线 OBOC 故OA OB OC O在BC的垂直平分线上， 即AC的垂直平分线过点O。 九上p97 三角形的内心，三角形内切圆的圆心，它是三个内角的平分线的交点，到三边的距离相等. 已知，I是三角形ABC中ABC和ACB的角平分线的交点 求证：AI平分CAB，I到三边的距离相等 四边形CDOE是矩形，又OE=OD 矩形CDOE是正方形，EC=CD=r 由切线长定理可得：BD=BF=a-r AF=AE=b-r AF+BF=c a-r+ b-r=c r=a+b-c 2证明：作 IDBC,IEAC,IFAB

20、 I是三角形ABC中ABC和ACB的角平分线的交点 ID=IF,ID=IEIF=IE点I在CAB的角平分线上，即AI平分CAB且ID=IF=IE 直角三角形三边为a、b、c，c为斜边，则外接圆的半径R=c2；内切圆的半径r=a+b-c 2已知例2：如图，RtABC，C=90，两直角边a，b，斜边为c，它的内切圆O分别与BC，AC，AB相切于点D、E、F 求这个三角形外接圆半径R和内切圆的半径r. 解：做出如图辅助线, C=90 AB为外接圆直径 直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点 外接圆半径R=c2 RtABC的内切圆O分别与BC，AC，AB相切于点D、E、F OEAC,ODBC 九上p94

21、 直线和圆的位置关系 直线L和O相交 dr 直线L和O相切 d=r 直线L和O相离 dr 九上p95 切线的判定：经过半径的外端且垂直于这切线 九上p96 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 已知：直线l是圆O切线，A为切点，OBl，垂足为B 求证：直线OB不经过A点 证明：假设直线OB不过A点 直线l是圆O切线，A为切点 OAl 又OBl过点O有两条直线OA和OB与直线l垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立 直线OB过A点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 已知：直线l是圆O切线，A为切点，ABl，AB

22、与圆O交于点B 求证：直线AB过圆心O 证明：假设直线AB不经过圆心O 直线l是圆O切线，A为切点 OAl 又ABl过点A有两条直线OA和AB与直线l垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”产生矛盾，所以假设不成立 直线AB过圆心O 九上p97 切线长定理. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 圆和圆的位置关系 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 已五边形为例，经过圆的五等分点作圆的切线，观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？ 已知，PQ、QR、RS、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的O的切线 求证：五边形PQRST

23、是O的外切正五边形 证明：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，两圆组成的图形也是轴对称图形，连心线是它的对称轴，假设切点不在连心线上，则它关于连心线的对称点也不在连心线上，而是两圆的另一个公共点，这跟两圆相切只有一个公共点矛盾，所以切点一定在连心线上 九上p100 两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含dR-r(Rr) 正多边形和圆 依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 n(n3): 以五边形为例 已知：圆O中, AB=BC=CD=DE=EA求证：五边形ABCDE是O的内接正五边形 AB= BC=C

24、D= DE=EA AB=BC=CD= DE =EA,BCE=CDA=3AB A=B 同理B=C=D=E又，五边形ABCDE的顶点都在圆O上， 五边形ABCDE是圆O的内接正五边形。 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。 证明：OA=OB=OE,AOB=AOEABOAEO,ABO=BAO,AEO=EAO ABO=BAO=AEO=EAO PQ、QR、RS、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的O的切线 OAPTOAP=OATOAP-OAB=OAT-OAE即PAB=TAE PA=PB,TA=TEPAB=PBA,TAE=TEAPAB=PBA=TAE=TEAAB=

25、AEPABTAE(ASA)PA=PB=TA=TE,P=T同理，RC=CQ=QB=BP,ES=SD=DR=RC,T=S=R=Q=PPA=PB=TA=TE=RC=CQ=QB=ES=SD=DRPQ=QR=RS=ST=TP五边形PQRST是O的外切正五边形 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 以五边形为例 证明：如果正五边形ABCDE有外接圆，则A、B、C、D、E五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE的顶点A、B、C作O，连结OA、OB、OC、OD、OE则OA=OB=OC； OABODC ABCDE有一个外接圆

26、O 既然正五边形有一个外接O，那么正五边形的五条边也就应是O的五条等弦根据弦等、弦心距相等，证明参见p4，可知点O到五边的距离等以该弦心距为半径作圆，可得该圆与各边都相切，所以同样，正n边形也应有一个内切O，且两圆同心 定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形. 以五边形为例 已知：正五边形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距 求证：正五边形的半径和边心距把正五边形分成十个全等的直角三角形. 证明：正五边形ABCDE,OQ,OP,OS,OT,OR,为五边形各边的边心距 OPAE,OTABPA=12AE,AT=12AB AE=ABPA=AT,OP

27、=OT在OPA和OAT中PA=ATOP=OTOPAOATn= am n 0的0次幂没有意义 八上p151 平方差：a2-b2=(a+b)(a-b) 八上p154 完全平方：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 推广：a2+b2=(a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab 证明： (a+b)2-2ab=a2+2ab+b2-2ab=a2+b2 (a + b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2八上p27 一次函数y=kx+b 正比例函数y=kx 八上p25 k0，y随x的增大而增大,直线y=kx经过，, 经过第一、三象

28、限 k0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随x的增大而减少. k0 方程有两个不等的实根. b2-4ac0 抛物线与x轴有两个交点 b2-4ac0 抛物线与x轴有没有公共点. 证明：由一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式与以下三条即可推出 抛物线与x轴只有一个公共点. 方程有两个相等的实根. 方程有两个不等的实根 方程有两个不等的实根. 方程没有实根 方程没有实根. 九下p3 抛物线的一般式： y=ax2+bx+c。 九下p9 抛物线的顶点式 ：y=a2+k。 顶点，对称轴为直线x=-b2a=h 九下p23 最大值 为 4ac-b24a 抛物线的两根式： y=a y=ax2+bx+c

29、=a(x2+bcax+a)=a(x2+(-x1-x2)x+x1x2) =a(x2-x1x+x1x2-x2x)=ax(x-x1)-x2(x-x1）=a(x-x1)(x-x2)常见的勾股数3，4，5； 6，8，10； 5，12，13; 8，15，17，9，40，41等。 常见的无理数；p，2 3，等等 21.414 31.732 52.236 九下p79 锐角三角函数 a 0 30 45 60 90 sina 0 1 2 32221 cosa 1 3 2 1 2220 tana 0 3 31 3 / 七上p46 有效数字：从左边第一个不是0的数起，到最后一个数止。如0.03120有效数字为3、1、

30、2、0共4个有效数字。 八下p130 中位数：把一列数从大到小排列，若有奇数个数，中间一个为中位数，若有偶数个数，中间两个的平均数为中位数. 八下p139 方差公式：s2=1n(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2 五个连续整数的方差是2，标准差为2. 证明：设这五个连续的整数n-2,n-1,n,n+1,n+2 平均数为x x=n+2+n+1+n+n-1+n-25n5=5=n s2=1(n+2-x)2+(n+1-x)25+(n-x)2+(n-1-x)2+(n-2-x)2=1(n+2-n)2+(n+1-n)2+(n-n)2+(n-1-n)2+(n-2-n)25=1225+11+0+(-1)2+(-2)2=1510=2