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1、对数及对数函数练习题讲解对数及对数函数练习题讲解 知识梳理： 1、对数的定义：如果 a(a0,a1)的b次幂等于N, 就是a=N，那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作logaN=b，a叫做对数的底数，N叫做真数。 2、指数和对数的关系：ab=Nb logaN=b a3、对数恒等式：loga1=0， logaa=1 ，alogloga(MN)=logaM+logaNM4、运算法则：loga=logaM-logaNNn(nR)logaM=nlogaMN=N5、换底公式：logab=logcalogcb6、两个较为常用的推论： 1 logablogba=1 2 logx ambn=nmlogab
2、7、对数函数定义：函数 y=loga (a0且a1)叫做对数函数；它是指数函数y=ax (a0且a1)的反函数。 8、对数函数图象和性质： a 图象 定义域 值 域 定 点 单调性 a1 0a0,x+21 变式：计算： (1)(logx4)2=9 ； (2)log(x-1)log(2+(x-8x+7)=1 ；23)(2-3) 令 x4=3，得x=34或x=314 (2)由对数性质得x=8 x=log(2+-1x-1(2-3)=log(2+3)(2-3), (2+3)=(2+3), x=-1） 3)例2：计算计算：log155log1545+(log153)2 23lg8+lg125-lg2-l
3、g5lg10lg0.1lg5+2lg8+lg51g20+(lg2) 22解：解一：原式 = log155(log153+1)+(log153)=log155+log153(log155+log153) =log155+log153log1515 =log155+ log153= log1515 解二：原式 = log1515log315(153)+(log1523)=(1-log153)(1+log153)+(log153) 2=1-(log153)2+(log153)2=1 8125)25=-2lg(2252)=-2lg102=-4 2-1lg102lg(原式=2lg5+2lg2+(1-lg
4、2)(1+lg2)+(lg2) =2(lg5+lg2)+1-(lg2)+(lg2)=3 222变式：计算：lg5lg8000+(lg23)+lg412216+lg0.06 (log43+log83)(log32+log92)-log 解：原式=(log =(log23+2113325223+log233)(log1232+log322)-log542 1224 3254545452log23)(lo3g2+log32)+ =56log23log32+=+=例3：已知log189=a，18b=5，求log解：由log183645 2，又由18=5，可得 b9=a可知a=log18182=1-lo
5、g18b=log185，故log3645=loglog18184536=log189+log181851+log2=a+b2-a变式：若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解： log 8 3 = p log23=3plg3=3plg2=3p(1-lg5) 又 log35=lg5lg3=q lg5=qlg3=3pq(1-lg5) (1+3pq)lg5=3pq lg5=例4：比较下列各组数的大小： 3pq1+3pq& (2)p=0.95.1，m=5.10.9，n=log (1)ln0.99与ln0.90.95.1 (3)若1xd,a=log2dx,b=logdx
6、,c=logd(log2dx) &，故ln0.99ln0.9& 解：(1)由y=lnx在(0,+)上单调递增，且00.990.9 (2)log0.95.1log0.91=0，而0.95.15.1=1， 0 npm (3)令logu(0,1) 2 则a=u,b=2u,c=logdx=u，由1xd可知0logdx1即du，u(0,1)， 在同一坐标系下画出这三个函数的图象， 如图示： 可知b最大，c最小，即cab 变式：比较下列各数大小： (1)log0.30.7与log0.40.3 (2) log0.1 0.60.8,log3.410.7和3-12 (3) log0.30.1和log0.2 解：
7、 log0.30.7log0.40.4=1 3 log0.30.7log0.40.3 10.70 3-12-12 (2) 0log0.60.81 log3.40.7log0.610.80 log0.20.1=0.20 log0.10.3log0.20.1 例5：求下列函数的定义域、值域： (1)y=(4) y=2-x-12-14 (2) y=log2(x2+2x+5) (3) y=log1(-x2+4x+5) 3loga(-x-x) -x-122解(1)：要使函数有意义，必须：2-140 即：-x-1-2-1x1 2 值域：-1x1 -1-x20 从而 -2-x2-1-1 14-x-12 21
8、2 02-x-12-1414 0y12(2)x+2x+5对一切实数都恒有x+2x+54 函数定义域为R 从而log2(x+2x+5)log24=2 即函数值域为y2 (3)函数有意义，必须：-x+4x+50x-4x-50-1x5 2 由-1x0 loga(-x2-x)0 4 由：-1x1时 必须 -x2-x1 xf 当0a1时 必须 -x2-x1 xR 综合得 -1x0且0a1 当-1x0时 (-x2-x)max=1a14 0-x2-x14 loga(-x2-x)log变式：求下列函数的定义域 (1) y=log(5x-1)4 ylog1a4 (0a0,a1) 5x-1022222 解：(1)由5x-11得x且x 所求定义域为,U,+ 757557x-20(2)由log(3x-2)0得03x-21，解得0.5220得ax1，当a1时，x0，当0a1时，x1时，x(0,+)；当0a0,得x+1x-10x6或x-3 单调区间是(6,+) 设x1,x2(6,+)且x1x16 x2-x10 x2+x1-30 22 x2-3x2-18x1-3x1-18 又底数0 y2-y10 y2y1 121 y在(6,+)上是减函数。 6
