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1、高等数学第十一章复习要点第十一章无穷级数 复习要点 1 常数项级数的概念和性质 一、 级数的基本概念 1. 级数的定义 设有无穷数列u1,u2,L,un,L，则un称为无穷级数，简称级数，un称为级数n=1的一般项 数列：s1=u1，s2=u1+u2，L, sn=u1+u2+L+un,L，称为级数的前n项和数列 2. 级数收敛与发散的定义 若limsn=s，则称级数un收敛于和s；若limsn不存在，则称级nn=1n数un发散. n=1几何(或等比)级数aqn=1n-1=aqn=a+aq+aq2+L+aqn-1+L的敛散性是：n=0当q1时,它收敛;当p1时，它发散. pn=1n正项级数的审敛
2、法有： 1. 比值法 设un是正项级数.若limn=1un+1=r，则有： nun若0r1，则级数发散； 若r=1，比值法失效. 注：一般当un含n次方或阶乘时可用比值法. 2.比较法 设两正项级数un、vn满足：unvn(n=1,2,L)，则有 n=1n=1 若vn收敛，则un收敛； n=1n=1 若un发散，则vn发散. n=1n=12. 比较法的极限形式 un设两正项级数un、vn满足：lim，则级数vn与vn =lnvn=1n=1n=1n=1n同敛散； 注：当l=0时，若级数vn收敛则级数un也收敛； n=1n=12 当l=+时，若级数vn发散则级数un也发散； n=1n=1在应用比较
3、法及其极限形式时，常选等比级数aqn=1n-1或p-级数1作比pnn=1较对象. 二、交错级数的审敛法 形如(-1)n=1n-1un或(-1)nun的级数称为交错级数，其中un0. n=1n-1莱布尼兹定理：若交错级数(-1)n=1un或(-1)nun满足： n=1 unun+1(n=1,2,L)，即数列un单调递减；limun=0， n则交错级数(-1)n=1n-1un或(-1)nun收敛，且其和su1. n=1三、绝对收敛与条件收敛 对任意项级数un，若un收敛，则un必收敛. n=1n=1n=1若级数un收敛，则称级数un绝对收敛；若级数un发散而级数un收n=1n=1n=1n=1敛，则
4、称级数un条件收敛. n=1注：对交错级数(-1)un，一般先判断(-1)un的敛散性，在判断(-1)nun的nnn=1n=1n=1敛散性时，所有正项级数的审敛法都可以拿来用，若其收敛则交错级数(-1)nunn=1绝对收敛；若其发散，再判断(-1)nun自身的敛散性. n=1(-1)n交错级数p 当01时为绝对收敛. n=1n3 3 幂级数 一、幂级数anxn的收敛半径、收敛域 n=0对幂级数anxn，设 limn=01an+1=r，则收敛半径R=. narn注： 求幂级数的收敛域，先求出其收敛半径，再讨论级数在端点x=R处的敛散性，才能得到幂级数的收敛域. 二、将函数f(x)展开成x的幂级数，并给出可展区间. 熟记以下几个基本函数的展开式，并熟练掌握换元法. (1)11-x=xn=1+x+x2+L+xn+L,(-1x1); n=011+x=(-1)nxn=1-x+x2-L+(-1)nxn+L,(-1x1); n=0(2)ln(1+x)=(-1)nxn+1=x-x2+x3-L+(-1)nxn+1+L,(n=0n+123n+1-1x1). 4
