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1、6 December 2022,医药高等数学,1,第1章 函数、极限与连续,1.1 函 数,1.2 极 限,1.3 连 续,6 December 2022,医药高等数学,2,1.1.1 实数、区间与邻域,1.1 函 数,1.1.2 常量与变量,1.1.3 函数的定义,隐函数,单值函数和多值函数,函数的定义,6 December 2022,医药高等数学,3,1.1.4 反函数,基本初等函数,奇偶性,初等函数,单调性,复合函数,有界性,周期性,1.1.6 分段函数,1.1.7 函数的简单性质,1.1.5 初等函数,1.1 函 数,6 December 2022,医药高等数学,4,1.1.1 实数、
2、区间与邻域,1.实数,实数由有理数和无理数两部分组成，全体,实数可以用数轴上点的坐标来表示，每一,实数构成的集合称为实数集。,实数必是数轴上某一点的坐标，反之，数,轴上没一点的坐标必是一个实数。每一实,数集与数轴上的全体点形成一一对应的关系。,6 December 2022,医药高等数学,5,2.区间,区间是指介于某两个数之间的全体,在数轴上，区间是介于某两个点之间,实数，而这两个数叫做区间的端点。,的一条线段上点的全体，两点间的距,离也就是线段的长度，称为区间的长度。,区间可以分成以下几类：,开区间，闭区间，半开区间,6 December 2022,医药高等数学,6,上述区间都称为有限区间.
3、,如果区间的两个端点中至少有一个是,(无限数）,例如,则称该区间为无限区间。,都是无限区间.,全体实数构成的集合R 可记作,也是无限区间,在以上区间中，由于a，b是两个实数，因此,6 December 2022,医药高等数学,7,3.邻域,我们把以点,为中心，某一很小的正数,称为,在后面的章节中经常会用到一种特殊的开,为半径的开区间,区间，称之为邻域。,的,邻域，,其中点,，即,记为,称为该邻域的中心，,称为该邻域的半径。,正数,6 December 2022,医药高等数学,8,将点,的全体，即,的一切点x,距离小于,表示与点,邻域,邻域，记为,的去心,所得到的的实数全体，称为点,邻域中去掉中
4、心点,，即,称为,称为,其中,的,6 December 2022,医药高等数学,9,1.1.2 常量与变量,1.常量,在某一现象或过程中始终保持同一数值不变,的量称为常量。,6 December 2022,医药高等数学,10,2.变量,在某一现象或过程中量有变化，可以取不,注意,一个量是常量还是变量不是绝的，,同的数值，这种量称为变量。,常量与变量是相对“场合”而言的。,6 December 2022,医药高等数学,11,1.1.3 函数的定义,1.函数的定义,数集D叫做这个函数的定义域,因变量,自变量,6 December 2022,医药高等数学,12,注意：函数的两要素为：定义域和对应法则
5、,两个函数f (x)，g(x)相等是指：它们定义域相同，且对于定义域内任意一点x，都有,f (x) = g(x),6 December 2022,医药高等数学,13,（1）函数的定义域的确定,函数的定义域D通常按以下两种情形确定：,当函数是用抽象的算式（解析式）表达, 当函数在实际中应用时，其定义域不仅要使,构成的集合。,时，其定义域是使算式有意义的一切实数,函数的表达式有意义，还要有实际意义来确定。,其定义域是,6 December 2022,医药高等数学,14,对应法则-函数的表示法,列表法,图像法,解析法,（2）函数对应法则的表达形式,6 December 2022,医药高等数学,15,
6、函数的表达主要是用解析法，下面举一个解析法表达的函数,例 假设16岁以上的成年人每天服用某药物的剂,该函数的定义域是,，但在定义域的不,同区间上，函数关系是用两个解析式表示的。,量Q是2mg，而16岁以下的未成年人每天服用,该药物的剂量Q与年龄t成正比，比例系数为,0.125mg/岁，则剂量Q 与年龄t的函数关系为,6 December 2022,医药高等数学,16,2.单值函数和多值函数,在函数定义1-1中，如果自变量x在D内任取一个,值，对应的函数值y总是唯一的，这样的函数又,确定了一个,称为单值函数，否则称为多值函数,注意：在本书中，若无特殊说明，所称的函数,例如在方程,都有两个y 值与
7、之对应,中，对于每一个,以x为自变量、y为因变量的多值函数.,因此，方程,都是单值函数.,6 December 2022,医药高等数学,17,3.隐函数,称这种方式表达的函数为显函数。,如果因变量y 是用x 的明显表达式表示出来的，,而有些函数的表达方式却不是这样，因变量与,系隐含在这个方程中，这样的函数称为隐函数。,自变量的对应关系是由一个方程确定的，函数关,都是隐函数.,例如,6 December 2022,医药高等数学,18,如果变量y 与x 满足一个方程,那么就说方程,当变量x 取某区间内的任一值,时相应地总有满足这方程的y 值与之对应，,在该区间内确定了以x 为自变量,y 为因变量的
8、隐函数.,在一定条件下，,有些隐函数可以化成显函数，但显化有,时很困难，甚至不可能。,6 December 2022,医药高等数学,19,1.1.4 反函数,定义1-2,量，哪个是因变量并不是绝对的，要根据所研究,一个叫做因变量，但在实际问题中，哪个是自变,的具体问题而定。,在函数定义中的两个自变量，一个叫做自变量，,反函数的一般定义如下：,都有唯一的且满足,如果对于每一个,设 f(x)是定义在D上的一个函数，值域为W.,6 December 2022,医药高等数学,20,关系式x 的与之对应，则确定了一个定义在,W上、以y 为自变量、x 为因变量的新函数，,称为y=f(x) 的反函数，记为,
9、互为反函数,而原来的函数y= f (x)称为直接函数，或称它们,我们通常用x 表示自变量，y 表示因变量,这时我们说,因此，可以把,改写为,是 y=f(x) 的反函数。,6 December 2022,医药高等数学,21,表示变量y 和x 的同一种函数关系，,y=f(x) 和,的图形以y=x 为轴翻转,它们的图形是同一条曲线； y=f(x),注意：,就得到,的图形.,也就是说它们的图形是关于y=x 对称。,6 December 2022,医药高等数学,22,见图1-1,6 December 2022,医药高等数学,23,例,求下列函数的反函数：,由,改变变量的记号，即得到反函数为：,由y=5x
10、+6，解得,（1）y =5x+6,，解得,改变变量的记号，即得到反函数为：,解：,（2）,（1）,6 December 2022,医药高等数学,24,注1：,并不是任何函数y=f(x) 都有反函数，,因为对于y 的某些值，满足y=f(x),这一条件的x 值可能不止一个.,有些函数的反函数存在，但不一定能够,注2：,用一个显函数表示出来，即由y=f(x),可能解不出x=g (y), 但反函数存在，,这时y=f(x) 的反函数表示为隐函数形式.,6 December 2022,医药高等数学,25,1.1.5 初等函数,1.基本初等函数2.复合函数3.初等函数,6 December 2022,医药高
11、等数学,26,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,六类函数：,1. 基本初等函数,常函数、,6 December 2022,医药高等数学,27,1. 基本初等函数,常函数,常函数的定义域为,它的图形是一条水平直线。,6 December 2022,医药高等数学,28,幂函数,幂函数的定义域依,例如,而定，,的定义域为,的定义域为,的定义域为,的定义域为,但不论,取何值，当 x0时，它总是有定义的，,其图象都经过(1, 1)点.,为实数,与,与,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,29,幂函数,为实数,1. 基本初等函数,6 December
12、2022,医药高等数学,30,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,31,指数函数,不论a为何值，函数图象均经过(0, 1)点.,定义域,值域,当 a 1时，ax 单调增；,当 0 a 1时，ax 单调减.,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,32,对数函数,不论a为何值，函数图象均过(1, 0)点.,定义域,值域,当a 1时，loga x严格单增；,当0 a 1时，loga x 严格单减.,1. 基本初等函数,2022/12/6,33,可编辑,6 December 2022,医药高等数学,34,三角函数,常用的包括以下几种：,有界函数
13、,(1) 正弦函数 y = sin x.,定义域,值域,奇函数，,周期,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,35,有界函数,（2）余弦函数 y = cos x.,定义域,值域,偶函数，,周期,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,36,（3）正切函数 y = tan x,定义域,值域,奇函数，,周期,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,37,（4）余切函数 y = cot x,定义域,值域,奇函数，,周期,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,38,反三角函数,反三角函数是三角函
14、数的反函数.,由于三角函数都是周期函数，故对于值域的,每个y 值，与之对应的 x 值有无穷多个，因此，,在三角函数的整个定义域上，其反函数是不存,在的,必须限制在三角函数的单调区间上才能建,立反三角函数.,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,39,记为,故其反函数存在，称此反函数为反正弦函数,奇函数，单调增.,（1）反正弦函数,正弦函数 y = sin x，在,上单调增，,定义域,值域,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,40,记为,故其反函数存在，称此反函数为反余弦函数,单调减.,（2）反余弦函数,余弦函数 y = cos x，在,
15、上单调减，,其定义域,值域,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,41,（3）反正切函数,记为,故其反函数存在，称此反函数为反正切函数，,奇函数，单调增。,正切函数 y = tan x，在,上单调增，,其定义域,值域,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,42,（4）反余切函数,记为,故其反函数存在，称此反函数为反余切函数,单调减.,余切函数 y = cot x，在,其定义域,值域,上单调减，,1. 基本初等函数,6 December 2022,医药高等数学,43,2.复合函数,掌握： 复合 分解,f (u)称为外函数，g(x)称为内函数
16、，u称为中间变量.,6 December 2022,医药高等数学,44,例,（1）设,则,故,与,可以复合成复合函数：,复 合,注,两个函数 y = f (u)与 u = g(x)可复合成复合,函数当且仅当,6 December 2022,医药高等数学,45,注,（2）设,则,故,与,不能复合成复合函数.,求两个函数的复合函数，实际上就是将外函,数表达式中的自变量用内函数表达式来代替，从而,得到复合函数的表达式.,6 December 2022,医药高等数学,46,例 已知,求 f (x1), f (x),解：,已知外函数和内函数，求复合函数的,问题，直接代入即可.,6 December 20
17、22,医药高等数学,47,解：,故有,求 f (x).,令,解得反函数为,因为,从而,例 已知,6 December 2022,医药高等数学,48,解,例,6 December 2022,医药高等数学,49,综上所述,6 December 2022,医药高等数学,50,把一个复合函数分解成几个简单的函数很重要，分解的关键是分解出来的简单函数都是基本初等函数或是由基本初等函数经过四则运算得到的函数(简单函数）,分 解,将下列复合函数分解为简单函数,例,#,6 December 2022,医药高等数学,51,3.初等函数,由常数和五类基本初等函数经过有限次的,四则运算与有限次的复合所得到的且仅用一
18、个解析式表示的函数，统称为初等函数.,本书中讨论的函数基本上都是初等函数,例如：,注,并非所有函数都是初等函数.,6 December 2022,医药高等数学,52,1.1.6 分段函数,在定义域的不同部分内用不同的解析式表示的函数，称为分段函数。,但这也不是绝对的，例如,分段函数一般不是初等函数.,6 December 2022,医药高等数学,53,注,用解析式表示函数，并不要求函数在整个,集上，函数表达式不一样.,如例中的符号函数y = sgnx 这样的函数,称为分段函数.,定义域D上有统一的解析表达式，在D不同子,#,6 December 2022,医药高等数学,54,注2,分段函数的解
19、析式不只一个，但它是一个,函数，其定义域是各段之并.,图象分段就是分段函数.,分段函数的图像应分段作出，但不要认为,#,6 December 2022,医药高等数学,55,5.函数的简单性质,（1）单调性,（2）奇偶性,（3）周期性,（4）有界性,6 December 2022,医药高等数学,56,（1）单调性,6 December 2022,医药高等数学,57,偶函数,（2）奇偶性,6 December 2022,医药高等数学,58,奇函数,6 December 2022,医药高等数学,59,例,例,解：,6 December 2022,医药高等数学,60,（通常说周期函数的周期是指其最小正
20、周期）.,在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。,（3）周期性,6 December 2022,医药高等数学,61,例,6 December 2022,医药高等数学,62,（4）有界性,6 December 2022,医药高等数学,63,（4）函数的有界性,例如：,注意：,例如：,#,6 December 2022,医药高等数学,64,1.1.1 实数、区间与邻域,1.1 函 数,函数的定义、单值函数和多值函数、隐函数,1.1.4 反函数,1.1.2 常量与变量,1.1.3 函数的定义,小 结,6 December 2022,医药高等数学,65,1.1.5 初等函数,1.1.6 分段函数,基本初等函数、复合函数、初等函数,1.1.7 函数的简单性质,单调性、奇偶性、周期性、有界性,小 结,#,2022/12/6,66,可编辑,
