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1、三角形全等证明思路证明三角形全等的常见思路 全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见思路，进行分析。一、已知一边与其一邻角对应相等 1证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。 例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C .求证：AF=DE。证明 BE=CF， BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。 在ABF和DCE中， ABFDCE。
2、 AF=DE。2证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。 例2 已知：如图2，D是ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCAB。求证：AE=CE。 证明 FCAB，ADE=CFE。 在ADE和CFE中， ADECFE. AE=CE 3证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。 例3 . 证明 FCAB， A=ECF. 在ADE和CFE中， ADECFE. AE=CE。 二、已知两边对应相等 1证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。 例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，1=2。求证： ABDACE.； 证明 1=2， ADB=180-1， AEC=
3、180-2， ADB = AEC， 在ABD和ACE中， ABDACE. 2证第三边对应相等，再用SSS证全等。 例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN， BM=DN。求证： AMCN，BMDN。 证明 AC=BD AC+BC+BC， 即 AB=CD. 在ABM和CDN中， ABMCDN A=NCD，ABM=D， AMCN，BMDN。 三、已知两角对应相等 1证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。 例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，B=E，ACB=DFE.求证： AB=DE， AC=DF. 证明 FB=CE FB+FC=CE+F
4、C， 即 BC=EF， ABCDEF. AB=DE，AC=DF 2证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。 例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，A=B，ACE=BDF. 求证：ACEBDF. 证明 OA=OB，OE=OF已知），OA-OE=OB-OF，即 AE=BF， 在ACE和BDF中， ACEBDF. 四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等 例8 已知：如图7，在ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，B=C 证：ABDACE. 证明AD=AE 1=2， ADB=180-1， AEC=180-2，
5、 ADB=AEC， 在ABD和ACE中， ABDACE. 4怎样证明两个角相等？ 解答 利用两个三角形全等是证明两角相等的最基本的方法； 利用两个角都与第三个角相等； 利用等腰三角形两个底角相等； 利用平行四边形对角相等； 利用角平分线的性质； 利用圆上同弦所对的优角相等，劣角相等 例 如图，已知：在正方形ABCD中，AC、BD相交于O，E、F分别是对角线AC、BD上的点，且OE=OF求证：ACF=DBE 分析：要证ACF=DBE，只要证明RtOFCRtOEB，即可得证 证明 ABCD为正方形， 对角线AC、BD垂直平分 在RtEOB和RtOFC中， OE=OF，BO=OC RtEOBRtOF
6、C DBE=ACG 6怎样证明两条线段相等？ 解答 证明两条线段相等的常用方法有： 利用两个三角形全等来证两条线段相等； 利用等腰三角形两腰相等； 利用第三条线段使两线段分别与之相等； 利用平行四边形对边相等的性质 当然，还有其他方法请看下例： 例 如图所示，已知：在ABC中，C=90，AC=BC，D是AB上的一点，AD=AC，DEAB交BC于E求证：BD=DE=CE 证明 连接CD AD=AC，ACD是等腰三角形，ACD=ADC 又DEAB， ACB=ADE=90， ECD=ACEACD，EDC=ADEADC， ECD=EDC ECD是等腰三角形，EC=ED 又四边形ADEC内角和为360， A+CED=180 而CED+BED=180， A=BED 又AC=BC，A=B BED=B BED为等腰三角形DE=DB DE=DB=EC 说明：上述证法是运用等腰三角形两腰相等的性质，通过证ACD、ECD、DBE为等腰三角形而证得结论在证CE=DE时，亦可运用全等三角形证明，即只须连接AE，证ADEACE 例2 如图 2，已知AC、BD交于E，A=B，1=2求证：AE=BE 正确证明：在ADC和BCD中，A=B， DC=DC，2=1，ADCBCD AD=BC 在ADE和BCE 中，AD=BC，A=B，AED=BEC，ADEBCE AE=BE
