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1、不定积分公式大全Ch4、不定积分 1、不定积分的概念与性质 1、 原函数与不定积分 定义1：若F(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数。 连续函数一定有原函数； 若F(x)为f(x)的原函数，则F(x)+C也为f(x)的原函数； 事实上，(F(x)+C)=F(x)=f(x) f(x)的任意两个原函数仅相差一个常数。 事实上，由F1(x)-F1(x)=F1(x)-F2(x)=f(x)-f(x)=0，得F1(x)-F2(x)=C 故F(x)+C表示了f(x)的所有原函数，其中F(x)为f(x)的一个原函数。 定义2：f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，记为f(x)dx，-积分号，
2、f(x)-被积函数，x-积分变量。 显然f(x)dx=F(x)+C 例1、 求下列函数的不定积分 kdx=kx+C 1m+1x+Cmxdx=m+1lnx+C m-1m=-12、 基本积分表 3、 不定积分的性质 f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx kf(x)dx=kf(x)dx例2、 求下列不定积分 dx11-2(-2)+1=xdx=x+C=-+C (-2)+1xx2(k0) dxx=x-12dx=1x(-12)+1+C=2x+C (-12)+1dx=5arcsinx-3arctanx+C x53-221+x1-x11dx(pe)1xpxex-dx=(pe)dx-=-lnx+C 2
3、x2xln(pe)2cscx(cscx-cotx)dx=csc2xdx-cscxcotxdx=-cotx+cscx+C dxsin2x+cos2x22=dx=cscxdx+secxdx=-cotx+tanx+C 2222sinxcosxsinxcosxcot2xdx=(csc2x-1)dx=-cotx-x+C x4x4-1+11132dx=dx=x-1+dx=x-x+arctanx+C 22231+x1+x1+x 2、不定积分的换元法 一、 第一类换元法 1、f(ax+b)dx=11()()fax+bdax+b,即dx=d(ax+b) aa例1、求不定积分 111sin5xdx=sin5xd(
4、5x)5x=usinudu=-cos(5x)+C 55511177(1-2x)7+1+C=-1(1-2x)8+C (1-2x)dx=-(1-2x)d(1-2x)=-227+116 dx1d(xa)1x=arctan+Ca2+x2a1+(xa)2aadxa-x22(20) =d(xa)1-(xa)2x=arcsin+Ca(23) 2、f(xn)xn-1dx=例2、求不定积分 21nnn-1nfxdx,即xdx=dx n()1x1-xdx=-1-x22()d(1-x)12211=-11-x222+1()1+121+C=-1-x23()32+C 2 x2e-xdx=-31-x31-x33ed-x=-
5、e+C 33()11111cosdx=-cosd=-sin+Cxxxx2x11dx=-dx2 xcosxxdx=2cosxdx=2sinx+C1dx=2dx x13、dx=dlnx,exdx=dex,sinxdx=-dcosx,cosxdx=dsinx,sec2xdx=dtanx, xsecxtanxdx=dsecx,1dx=darctanx,21+x11-x2dx=darcsinx,xa2x2dx=da2x2,L例3、 求不定积分 sinxdcosxdx=-=-lncosx+C=lnsecx+Ctanxdx=cosxcosxcosxdsinxdx=lnsinx+C=-lncosx+Ccotx
6、dx=sinxsinxsecx(secx+tanx)d(secx+tanx)dx=ln(secx+tanx)+Csecxdx=secx+tanxsecx+tanxcscx(cscx-cotx)d(cscx-cotx)dx=ln(cscx-cotx)+Ccscxdx=cscx-cotxcscx-cotx1dlnxdx=ln(lnx)+C xlnxlnx(16) (17) (18) (19) dxd(tanx+1)=ln(tanx+1)+C 2tanx+1cosx(1+tanx)exd1+exdx=ln1+ex+C xx1+e1+e()()dx1+ex-exx=x-ln1+e+C xx1+e1+e
7、()()exdexdx=2x1+e1+ex ()2=arctanex+C 1+x2x1+x2e-1+x2dx=-e-d-1+x2=-e-()1+x2+C 3 例4、求不定积分 dx1111d(x-a)d(x+a) =-dx=-x+a2ax-ax2-a22ax-ax+a=1x-aln+C2ax+a(21)(22) x2-x-2x2+1-x-3x+3dx=dx=1-dx 2221+x1+x1+x1dx2+1dx12=x-2-3=x-ln1+x-3arctanx+C 22x+121+x()()x-412x-2-61dx2-2x+5dx2 dx=2dx=2-322x-2x+52x-2x+5x-2x+5
8、(x-1)+413x-1lnx2-2x+5-arctan+C 2221-cos2x11111dx=x-cos2xd(2x)=x-sin2x+C sin2xdx=222224111sin5xcos3xdx=(sin8x+sin2x)dx=-cos8x-cos2x+C 2164cotxcosxdxdsinxdlnsinxdx=lnlnsinx+C lnsinxsinlnsinxsinxlnsinxlnsinxdx1-sinxdcosx12=dx=secxdx+=tanx-+C 221+sinxcosxcosxcosx=()()dxdx1pp=cscx+dx+ cosx+sinx442sin(x+p
9、4)2=1pplncscx+-cotx+C 442二、 第二类换元法 1、三角代换 例1、a2-x2dx 解：令x=asint(或acost)，则 a2-x2=acost,dx=acostdt 1+cos2ta21原式=acostacostdt=a()dt=dt+cos2td2t 2222 4 a2a2a2xa2xa2-x2=t+sin2t+C=arcsin+2+C 242a4aa=12x1aarcsin+xa2-x2+C 2a2 例2、dxa2-x2=d(xa)1-(xa)2x=arcsin+C a解：令x=asint acostdtx=dt=t+C=arcsin+C 原式=acosta 例
10、3、dxa+x22解：令x=atant(或acott)，则a2+x2=asect,dx=asec2tdt x2+a2xasec2tdt原式=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln+C asectaa =lnx+x2+a2+C例4、()(24) dxxx+42解：令x=atant(或acott)，则x2+4=2sect,dx=2sec2tdt x2+a2xasec2tdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln+C 原式=asectaa例5、dxx-a22解：令x=asect(或acsct)，则 x2-a2=atant,dx=asecttantdt xasecttantd
11、t=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln+原式=aatantx2-a2a+c =lnx+x2-a2+C ()(25) 5 例6、x2-9dx x解：令x=asect，则x2-9=3tant,dx=3secttantdt 原式=3tant3secttantdt=3tan2tdt=3sec2t-1=3(tant-t)+C 3sect()x2-933=3-arccos+C=x2-9-3arccos+C 3xxa2-x2x=asint小结：f(x)中含有x2+a2可考虑用代换x=atant x=asect22x-a 2、无理代换 例7、dx1+x+13解：令3x+1=t,则x=t3-1,
12、dx=3t2dt t23t2dtt2-1+11原式=()=3dt=3t-1+dt=3-t+ln1+t+C 1+t1+t1+t2=33(x+1)2-33x+1+3ln1+3x+1+C 2()例8、x1+x(dx3)解：令6x=t,则x=t6,dx=6t5dt 6t5dtt21原式=3=6dt=61-dt=6(t-arctant)+C 1+t21+t2t1+t2()=66x-arctan6x+C 例9、解：令()11+xdx xx1+x12tdt=t,则x=2,dx=- 22xt-1t-1() 6 22tdtt11t-1=-2原式=t-1t-dt=-21+dt=-2t+ln+C t2-1t2-1t
13、2-122t+1(2)()=-2dx1+e1+x1+x-x-ln+C x1+x+x 2tdt 2t-1例10、x解：令1+ex=t,则x=ln(t2-1),dx=12tdt1t-11+ex-1dt=22=2ln+C=ln+C 原式=2xtt-12t+1t-11+e+14、 倒代换 例11、dx 6xx+4()11t7dt解：令x=,则6 =,dx=-62txx+11+4tt()t6dt1d4t6+111x66=-=-ln4t+1+C=ln+C 原式=-244t6+12424x6+41+4t6()() = 11lnx-lnx6+4+C 424()3、分部积分法 分部积分公式：(UV)=UV+UV
14、,UV=(UV)-UV ()UVdx=UVdx-UVdx，故UdV=UV-VdU 例1、xcosxdx =xdsinx=xsinx-sinxdx=xsinx+cosx+C 例2、xexdx =xdex=xex-exdx=xex-ex+C 7 1例3、lnxdx=xlnx-xdlnx=xlnx-xdx=xlnx-x+C x或解：令lnx=t,x=et 原式=tdet=tet-etdt=tet-et+C=xlnx-x+C 例4、arcsinxdx =xarcsinx-xdarcsinx=xarcsinx-=xarcsinx+x1-x2dx 1d1-x=xarcsinx+1-x2+C21-x2(2)
15、或解：令arcsinx=t,x=sint 原式=tdsint=tsint-sintdt=tsint+cost+C=xarcsinx+1-x2+C 例5、exsinxdx =sinxdex=exsinx-excosxdx=exsinx-cosxdex=esinx-ecosx+edcosx=e(sinx-cosx)-esinxdxxxxxx故exsinxdx=例6、1xe(sinx-cosx)+C 2xdx 2cosx=xdtanx=xtanx-tanxdx=xtanx-lnsecx+C 例7、lnx+1+x2dx ()(=xln(x+=xlnx+1+x21+x2)-xx+1+x)-1+x+C1+
16、x21+x22dx=xlnx+1+x2-()x1+x2dx4、两种典型积分 一、有理函数的积分 P(x)anxn+an-1xn-1+L+a1x+a0有理函数R(x)=可用待定系数法化为部分分=mm-1Q(x)bmx+bm-1x+L+b1x+b0式，然后积分。 8 例1、将解：x+3x+3dx 化为部分分式，并计算22x-5x+6x-5x+6(A+B)x-(3A+2B) x+3x+3AB=+=(x-2)(x-3)x2-5x+6(x-2)(x-3)x-2x-3A+B=13A+2B=-3A=-5 B=6故x+3dxdxdx=-5+6=-5ln(x-2)+6ln(x-3)+C 2x-2x-3x-5x+
17、612x-5+111dx2-5x+611dxdx=2+2或解：I=2 2x-5x+62x-5x+62x-5x+6() = =例2、11111lnx2-5x+6+-dx 22x-3x-2()111x-3lnx2-5x+6+ln+C 22x-2()1dxx-1+x1dx =-dx=-2x(x-1)2x(x-1)x(x-1)2(x-1)111x1=-dx=ln-+C x-1x(x-1)2x-1x-1111dx-1+x-x2+11xx2dx=x+C 例3、4dx=arctan21x+1221x2+2x-+2xxdx1=x4+12例4、(111-21+2x+1-x-11xxdx=dx-dx 41221x
18、+12x+x+x2x22)(2)1111ddx+x-x-x+-21xx11x-1lnx+C =-=arctan221222222x+21x-1+2x+-2xxx1x2-11x2+1-2xarctan+C =-ln2222x2x+1+2x二、三角函数有理式的积分 9 xu， 对三角函数有理式积分I=R(sinx,cosx)dx，令u=tan,则x=2arctan22u1-u222u1-u22sinx=,cosx=,dx=du，故I=R三角函1+u2,1+u21+u2du，1+u21+u21+u2数有理式积分即变成了有理函数积分。 dx例5、 3+5cosxx1-u22,dx=du 解：令u=ta
19、n,则x=2arctanu，cosx=2221+u1+ux12du12+u12+C 原式=du=ln+C=ln4-u2222-ux41-u21+u22-tan3+521+u22+tan 例6、dx2sinx-cosx+5x2u1-u22,cosx=,dx=du 解：令u=tan,则x=2arctanu， sinx=22221+u1+u1+u原式=12dudu= 2222u1-u1+u3u+2u+22-+51+u21+u211xdu+u+3arctan+11131332 =arctan+C=arctan+C 235551535u+339 2u21+sinx21+u2+2u1+udx=例7、du=22du 1-cosx1-u21+u2u(u+1)1-1+u21+121u1=+du=-+2-du 2u2u(1+u2)uu1+u=-1xx+2lnu-ln1+u2+C=-cot+2lnsin+C u22() 10
