中考必做的36道数学压轴题.docx

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1、中考必做的36道数学压轴题中考必做的36道数学压轴题 第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(2013北京，23,7分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=mx2-2mx-2与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B 求点A，B的坐标； 设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式； 若该抛物线在-2x-1这一段位于直线l的上方，并且在2x3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式 解：当 x 0 时， y 2 . A 抛物线对称轴为 x-2m=1， 2m B 易得 A 点关于对称轴的对称点为 A 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 ykxb 2k

2、+b=-2,k=-2,解得则 k+b=0.b=2.直线的解析式为 y2x 2 抛物线对称轴为 x 1 抛物体在 2 x3 这一段与在1x 0 这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在2x 1这一段位于直线 l 的上方，在 1 x0)个单位后得到的图象记为G，同时将中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G有公共点时，n的取值范围。 3方法一：二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=22时的函数值相等 33=4(t+1)+4(t+2)+. 223t=-. 213这个二次函数的解析式是y=-x2+x+ 22方法二：由题意可知：二次函

3、数图象的对称轴为x=1 2(t+2)=1 2(t+1)3t=-. 2则-13这个二次函数的解析式是y=-x2+x+ 22.二次函数的图象过A(-3,m)点. m=-13(-3)2+(-3)+=-6. 22又一次函数y=kx+6的图象经过点A -3k+6=-6 k=4 13令y=-x2+x+=022 解得：x1=-1x2=31由题意知，点B、C间的部分图象的解析式为y=-(x-3)(x+1)，. 2则向左平移后得到图象G的解析式为：y=-1. (x-3+n)(x+1+n)，2此时平移后的一次函数的解析式为y=4x+6+n. 若平移后的直线y=4x+6+n与平移后的抛物线y=-则4x+6+n=-1

4、(x-3+n)(x+1+n)相切. 21(x-3+n)(x+1+n)有两个相等的实数根。 212129即一元二次方程-x-(n+3)x-n-=0有两个相等的实数的根。 22211292判别式=-(n+3)-4(-)(-n-)=0 222解得：n=0与n0矛盾. 1平移后的直线y=4x+6+n与平移后的抛物线y=-(x-3+n)(x+1+n)不相切. 2结合图象可知，如果平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界交点为(-n-1,0)和(3-n,0). 则4(-n-1)+6+n=0，解得：n=4(3-n)+6+n=0，解得：n=6 2 32n6 32第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破 如

5、图，抛物线y=ax-轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为(4,0). 求抛物线的解析式； 试探究DABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； 若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求DMBC的面积的最大值，并求出此时3x-2(a0)的图象与x2M点的坐标. 解：将B代入y=ax-抛物线的解析式为：y=当231x-2(a0)中，得：a= 22123x-x-2(a0) 22123x-x-2=0时，解得x1=4，x2=-1 22123x-x-2=-2 22A点坐标为，则OA=1 当x=0时，y=C点坐标为，则OC=2 在RtAOC与RtCOB中，OAOC1= OCOB2RtAOCRtCOB

6、 ACO=CBO ACB=ACO+OCB=CBO+OCB=90 那么ABC为直角三角形 所以ABC的外接圆的圆心为AB中点，其坐标为 连接OM.设M点坐标为 22则SMBC=SOBM+SOCM-SOBC =113114(-x2+x+2)+2x-24 222222 =-(x-2)+4 当x=2时，MBC的面积有最大值为4，M的坐标为 变式面直角坐标系中，ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为、，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90，得到ABOC 若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式； ABOC和ABOC重叠部分OCD的周长； 点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时AMA的面积最大

7、？最大面积是多少？并求出此时M的坐标 第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进” 23如图，在平面直角坐标系中，直线y=21x+12与抛物线y=ax+bx-3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3点P是直线AB下方的抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PDAB于点D 求a、b及sinACP的值； 设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD的长， 并求出线段PD长的最大值； 连接PB，线段PC把PDB分成 两个三角形，是否存在适合的m值， 使这两个三角形的面积之比为9:10? 若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由 y C D A O x B P 第23题图

8、由 由21x+1=0，得x=-2,A(-2,0) 21x+1=3，得x=4,B(4,3) 2211(-2)a-2b-3=0y=ax+bx-3经过A,B两点，2a=,b=- 224a+4b-3=3设直线AB与y轴交于点E，则E(0,1) PCy轴，ACP=AEO. OA225 =AE55121由可知抛物线的解析式为y=x-x-3 221211P(m,m-m-3),C(m,m+1) 2221111PC=m+1-(m2-m-3)=-m2+m+4 2222在RtPCD中，PD=PCsinACP 1225 =(-m+m+4) 25595(m-1)2+. =-555950当m=1时，PD有最大值- 555

9、32存在满足条件的m值，m=或 29sinACP=sinAEO=分别过点D、B作DFPC，BGPC，垂足分别为F、G 在RtPDF中，DF=又BG=4-m, 11PD=-(m2-2m-8). 55SSS当SS当SPCDPBCPCDPBCPCDPBC1-(m2-2m-8)DFm+2=5= BG4-m5m+295=时，解得m=； 5102m+21032=时，解得m= 599变式一27已知：二次函数y=x2bx3的图像经过点P 求b的值，并写出当1x3时y的取值范围； 设点P1、P2、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上 当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；

10、 当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由 解：把点P代入二次函数解析式得5= 22b3，解得b=2. 当1x3时y的取值范围为4y0. m=4时，y1、y2、y3的值分别为5、12、21，由于5+1221，不能成为三角形的三边长 当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3的值分别为m22m3、m24、m22m3，由于， m22m3m24m22m3，280， 当m不小于5时成立，即y1y2y3成立 所以当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长， 变式二如图，已知抛物线y=x+bx+c的图像与x轴的一个交点为B，另

11、一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5). 求直线BC与抛物线的解析式； 若点M是抛物线在x轴下方图像上的一动点，过点M作MN/y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； 在的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图像上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标. 2y C O A B x 解：设直线BC的解析式为y=mx+n，将B，C代入有： 5m+n=0m=-1 解得： 所以直线BC的解析式为y=-x+5 n=5n=5再将B，C代入抛物线y=x+bx+c有： 225+5b+c=0 解得：c=5b=-6

12、 所以抛物线的解析式为：c=5y=x2-6x+5 设M的坐标为，则N的坐标为， MN=(-x+5)-(x-6x+5) =-x+5x 当x=222525时，MN有最大值为 24y C N O A Q P1M B x P2当y=x-6x+5=0时，解得x1=1，x2=5 故A，B，所以AB=4 由可知，N的坐标为 22S2=154=5 22则S1=6S2=30，那么SCBP=15 在y上取点Q (-1，0)，可得SCBQ=15 故QPBC 则直线QP的解析式为y=-x-1 当x-6x+5=-x-1时，解得x1=2，x2=3 2所以P点坐标为， 第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”

13、12x+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点4F(-2,2)的直线交该抛物线于点M、N两点，MAx轴于点A，NBx抛物线y=轴于点B (3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标，再求m的值； (3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NFNB； (3分)若射线NM交x轴于点P，且PAPB100，求点M的坐标 9121x+x+m=(x+2)2+(m-1) 44顶点坐标为(2 , m-1) 顶点在直线y=x+3上， 2+3=m-1，得m=2 答案：解y=点N在抛物线上， 点N的纵坐标为即点N(a,12a+a+2 412a+a+2) 412a+a,NF2NC2+FC24过点F作F

14、CNB于点C， 在RtFCN中，FC=a+2，NC=NB-CB=11(a2+a)2+(a+2)2=(a2+a)2+(a2+4a)+4 4412122222而NB=(a+a+2)(a+a)+(a+4a)+4 4422NFNB，NF=NB 连结AF、BF 由NF=NB，得NFB=NBF，由的结论知，MF=MA，MAF=MFA,MAx轴，NBx轴，MANB,AMF+BNF=180 MAF和NFB的内角总和为360,2MAF+2NBF=180，MAF+NBF=90, MAB+NBA=180，FBA+FAB=90又FAB+MAF=90 FBA=MAF=MFA PFPB100，PF2=PAPB= =PAP

15、F981422过点F作FGx轴于点G,在RtPFG中，PG=PF-FG=，PO=PG+GO=， 3314P( , 0) 3143设直线PF：y=kx+b，把点F、点P( , 0)代入y=kx+b解得k=，34737b=，直线PF：y=x+ 2421237解方程x+x+2=x+，得x=3或x=2 44255当x=3时，y=，M 44变式一25已知抛物线y=ax2+bx+c顶点为C且过原点O过抛物线5上一点P向直线y= 作垂线，垂足为M，连FM 4求字母a，b，c的值； 3在直线x=1上有一点F(1，)，求以PM为底边的等腰4三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形； 对抛物线上任意一

16、点P，是否总存在一点N，使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由 又FPA=BPF，PFAPBF，解：抛物线y=ax2+bx+c顶点为C且过原点O， 4ac-b2b可得-=1，=1，c=0， 4a2aa=-1，b=2，c=0 由知抛物线的解析式为y=-x2+2x， 故设P点的坐标为，则M点的坐标， 4PFM是以PM为底边的等腰三角形 335PF=MF，即2+2=2+2 4443131-m2+2m-=或-m2+2m-=-， 424231当-m2+2m-= 42时，即-4m2+8m-5=0 =64-80=-160 此式无解 311当-m2+2m-=-时，即m2-2m=- 424m=

17、1+33或m=1- 2233315时，P点的坐标为，M点的坐标为 2224433135时，P点的坐标为，M点的坐标为， 22244、当m=1+、当m=1-经过计算可知PF=PM， MPF为正三角形， P点坐标为：或 22443时，即N与F重合时PM=PN恒成立 4证明：过P作PH与直线x=1的垂线，垂足为H， 当t=在RtPNH中， PN2=2+2=x2-2x+1+t2-2ty+y2， 5525PM2=2=y2-y+， 4216P是抛物线上的点， y=-x2+2x； 525PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2-y+， 2165251-y+t2-2ty+y2=y2-y+， 21639移项，合

18、并同类项得：-y+2ty+-t2=0， 21639y+=0对任意y恒成立 216392t-=0且-t2=0， 21633t=，故t=时，PM=PN恒成立 44存在这样的点 变式二如图12，已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点分别过点C、D作平行于x轴的直线l1、l2 求抛物线对应二次函数的解析式； 求证以ON为直径的圆与直线l1相切； 求线段MN的长，并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长 yN A O M C D 图12 B xl1 l2 解：设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 1a=0=4a-2b+c4由

19、0=4a+2b+c，解得b=0 c=-1-1=c1所以y=x2-1 4设M，N，因为点M、N在抛物线上， 11所以y1=x12-1，y2=x22-1，所以x22=4(y2+1)； 44又ON2=x22+y22=4(y2+1)+y22=(y2+2)2， 所以ON=y2+2，又因为y2-1， 所以ON=y2+2 设ON的中点为E，分别过点N、E向直线l1作垂线，垂足为P、F， OC+NP2+y2=， 22所以ON=2EF， 即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半， 所以以ON为直径的圆与直线l1相切 过点M作MHNP交NP于点H，则 则EF=MN2=MH2+NH2=(x2-x1)2+(y2

20、-y1)2， 又y1=kx1，y2=kx2，所以(y2-y1)2=k2(x2-x1)2， 所以MN2=(1+k2)(x2-x1)2； 又因为点M、N既在y=kx的图象上又在抛物线上， 所以kx=12x-1，即x2-4kx-4=0， 44k16k2+16所以x =2k21+k2， 2所以(x2-x1)2=16(1+k2)， 所以MN2=16(1+k2)2， 所以MN=4(1+k2) 延长NP交l2于点Q，过点M作MSl2于点S， 则MS + NQ = y1+2+y2=1211x1-1+x22-1+4=(x12+x22)+2， 444又x12+x22=24k2+4(1+k2)=16k2+8， 所以

21、MS + NQ =4k2+2+2=4(1+k2)=MN 即M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长 yA O M E B N H xl P 1l Q 2C F S D 第24题 第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向 例题如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A，B(2，0)，交y轴于C，过A，C画直线 (1)求二次函数的解析式； (2)点P在x轴正半轴上，且PA =PC，求OP的长； (3)点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H 若M在y轴右侧，且CHM AOC，求点M的坐标； 若 M的半径为245，求点M的坐标 5解：(1)设该二次函数的解析式为：

22、y=a(x+1)(x-2) 将x=0，y=2代入，得2= a(0+1)(02) 解得a=1 抛物线的解析式为y=(x+1)(x-2)，即y=x-x-2 (2)设OP =x，则 PC=PA =x +1 在RtPOC中，由勾股定理，得x+2=(x+1) 2222解得x=33，即OP= 22(3) CHMAOC，MCH=CAO 情形1：如图，当H在点C下方时， 2MCH=CAO，CMx轴，yM=-2，x-x-2=-2， 解得x=0，或x=1， M(1，2) 情形2：如图，当H在点C上方时 MCH=CAO，由(2)：得，M为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM的解析式为y=kx2 33，0）的坐标

23、代入，得k-2=0， 2244解得k=，y=x-2 3342由x-2=x-x-2， 37解得x=0，或x， 310710此时y=，M(,) 939把P 过点D作DMAC，交抛物线于M 则直线DM的解析式为：y=-2x+2或y=-2x-6 当 2x 6= x2 x2时，方程无实数解 当 2x+2x2 x2时， 解得x1=-1-17-1+17,x2= 22-1-17-1+17,3+7)或M(,3+7) 22点M的坐标为M(12x+x+3与x轴相交于点A、B，与y轴相交于4点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F 求直线BC的解析式； 设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆

24、心，r为半径作P 当点P运动到点D时，若P与直线BC相交，求r的取值范围； 4若r= 5，是否存在点P使P与直线BC5相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 变式一25如图，抛物线y=-4ac-b2b提示：抛物线y=ax+bx+x的顶点坐标，对称轴x=- b 2a123变式二22如图，抛物线y=x-x-9与x轴交于A、B两22点，与y轴交于点C，连接BC、AC. (1)求AB和OC的长； (2)点E从点A出发，沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合)，过点E作直线l平行于BC，交AC于点D.设AE的长为m，ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； (3

25、)在(2)的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积(结果保留p). (1)当y=0时，123x-x-9=0，解得x1=3，x2=6.AB=|x1x2|=|36|=9. 22当x=0时，y=9.OC=9. (2)由(1)得A(3,0)，B(6,0)，C(0,9)， 直线BC的解析式为y=3x9，直线AC的解析式为y=3x9. 233x(m-3). 22AE的长为m，E(m3,0). 又直线l平行于直线BC，直线l的解析式为y=y=-3x-9m-9m-9x=由得,m). 3，点D(33y=x-(m-3)3y=-m2211123AE|D纵|=(m3)|m

26、|=m-m.(0m9) 2222112312192(3)CDE面积为：SACESADE=m9(m-m)=-m+3m=-(m-3)+， 2222229当m=3时，CDE面积的最大值为. 2ADE 的面积为：S=此时，点E(0,0).如图，作OFBC于F，OB=6，OC=9， OF=69OBOC18=13. 22BC136+9以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为：p(1832413)2=p. 1313第6题 分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质 例题已知抛物线y=ax2+bx+3(a0)经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C。 求抛物线y=ax+bx+3(a0)的函数关系式及点C

27、的坐标； 如图,连接AB，在题中的抛物线上是否存在点P，使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； 如图,连接AC，E为线段AC上任意一点经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。 2A(3,0)、B(4,1)代入y=ax2+bx+3中0=9a+3b+31=16a+4b+31a=2解得b=1解析式为2令时，C点坐标为(0,3)若PAB=90，分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F。 图 易得APEBAF,且BAF为等腰直角三角形，APE为等腰直角三角形。 设PE=a，则P点的坐标为代入解析式 3-a=125a

28、-a+3 解得a=0，或a=3 22P 若PBA=90，如下图，直线与x轴交与点D, 分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F。 由图可得PED、BAD为等腰直角三角形，设PE=a，则DE=a，AB=2,所以AD=2，则P点坐标为代入解析式， 15a=(5-a)2-(5-a)+3 解得，a=1，或a=6 是 22所以P点坐标 综上所述P或P 由题意得，CAO=OAF=45 利用同弧所对的圆周角相等，OEF=OAF=45 EFO=EAO=45 1OE2。 233当OE最小时，面积最小。即E为AC中点如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线

29、y=(x-h)+k.所得抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D. 写出h、k的值； 判断ACD的形状，并说明理由； 在线段AC上是否存在点M，使AOMABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. y 2 x 2解：y的顶点坐标为， =(x-h)+k，k=-4. h=-12 由得y. =(x+1)-42 当y=0时，( 解之，得 x -3，x1x+1)-4=01=2=0)B(1，0). A(-3， 又当x=0时，y， =(x+1)-4=(0+1)-4=-322，-3).4C点坐标为(0分 又抛物线顶点坐标D1，-4(-)，作抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E， DFy轴于点

30、F易知 D=+=2420tAED在R中，A； C=+=3318tAOC在R中，A； D=+=112tCFD在R中，C； 222222222C+CDA=D A222 ACD是直角三角形 存在作OMBC交AC于M，点即为所求点 由知，AC=18=32AOC为等腰直角三角形，BAC=45 由，得AOMABCAOAM =ABAC即3AM33292=，AM=. 434422过M点作M于点G，则 GAB9241993=8AG=MG=，OG=AO-AG=3-=. 21644439又点M在第三象限，所以M. 44y E G x M F 变式二如图，等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=AB=CD=2,C=600

31、,M是BC的中点。 求证：MDC是等边三角形； 将MDC绕点M旋转，当MD(即MD)与AB交于一点E,MC即MC)同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成AEF.试探究AEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF周长的最小值. ADECFDBMC证明：过点D作DPBC,于点P，过点A作AQBC于点Q, 0 C=B=60CP=BQ=1AB,CP+BQ=AB 2又ADPQ是矩形，AD=PQ,故BC=2AD, 由已知，点M是BC的中点， BM=CM=AD=AB=CD, 0即MDC中，CM=CD, C=60,故MDC是等边三角形. 解：AEF的周长存在最小值，理由如下： 连接AM,由平行四边形ABMD是菱形，MAB, MAD和MCD是等边三角形， 00 BMA=BME+AME=60, EMF=AMF+AME=60BME=AMF） 0在BME与AMF中，BM=AM, EBM=FAM=60 BMEAMF(ASA) BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB 0EMF=DMC=60 ,故EMF是等边三角形，EF=MF. MF的最小值为点M到AD的距离3，即EF的最小值是3. AEF的周长=AE+AF+EF=AB+EF, AEF的周长的最小值为2+3.