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1、二次函数与相似三角形结合问题高效学习 快乐成长 成就梦想 琢玉教育个性化辅导讲义 教师姓名 学生姓名 课题名称 学科 年级 上课时间 年 月 日 讲义序号 1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 教学目标 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式； 3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题； 教学重点 1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 难点 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。 课前检查 上次作业完成情况：优 良 中 差 建议_ 知识结构： 一.二次函数知识点梳理：下图中a0 教学内容 二.特殊的二次函数：下图中a0 琢
2、玉教育 地址: 斜土路780号1号楼2楼 高效学习 快乐成长 成就梦想 三二次函数背景下的相似三角形考点分析： 1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点； 2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式； 3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系数法求函数解析式； 4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解； 5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题； 6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。
3、 例题选讲： 例1.如图，已知抛物线yax2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E，且ABE与ABC的面积之比为32 求直线AD和抛物线的解析式； 抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且ABQ与ADF相似，直接写出点Q点的坐标。 yECDxAOFB例1题图 练习1.如图，直线y=-2x+n(n0)与x轴、y轴分别交于点A、B,SDOAB=16，抛物线y=ax+bx(a0)经过点A，顶点M在直线2y B y=-2x+n上。 求n的值； 求抛物线的解析式； 如果抛物线的对称轴与x轴交于点N，那么O A 在对称轴上找一点P，使得 DOP
4、N和DAMN相似，求点P的坐标。 琢玉教育 x地址: 斜土路780号1号楼2楼 高效学习 快乐成长 成就梦想 例2.已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A(6,0)，C(0,3)，直线3x与BC边交于D点 4求D点的坐标； y=若抛物线y=ax2+bx经过A、D两点，求此抛物线的表达式； 设中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与OCD相似，求出符合条件的点P 方法总结： 二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略： 1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度； 2.待定系数法求解相关函数的解析式； 3.相似三角形中，注意寻找
5、不变的量和相等的量； 4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解； 5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想； 6.注意利用好二次函数的对称性； 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。 琢玉教育 地址: 斜土路780号1号楼2楼 高效学习 快乐成长 成就梦想 131.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点 ，该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D A和点B求这个二次函数的解析式和它的对称轴； 求证：ABO=CBO； 如果点P在直线AB上，且POB与BCD相似，求点P的坐标
6、y B A 1 -1 O 1 x -1 125x+x-2与x轴相交于A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD22x轴，交抛物线于点D。点P是直线CD上一点，且PAC与ABC相似，求符合条件的点P坐标。 2.如图，抛物线y=-： 一你能求出题目中点A、B、C、D的坐标吗？ 二点P的运动有什么特征吗？提示：点P的不同位置相似的情况不一样。 三当PAC与ABC相似时： 1.需要讨论吗？提示：需要，根据点P的不同位置讨论 2.怎么讨论？根据点P的位置，分两大类讨论： 当点P在C的左侧，由题意有PCA=BAC，则分2类讨论： 当PACBAC时：ACAC55=，即； PCABPC3ACAB53=，即。 =P
7、CACPC5 当PACABC时：，点P在C的左侧，由题意有ACPABCACBCAB，不存在。 3.情况分好了，那怎么计算呢？你算一下。提示：让学生计算。 4题目分析完了吧！你算一下每一个情况看看！ 5以后做题，可以把分类的情况先写下来，之后再计算求解。 琢玉教育 地址: 斜土路780号1号楼2楼 高效学习 快乐成长 成就梦想 6.根据本题的求解你有什么想法没？提示： 二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度； 注意及时画图，体会数形结合的思想。 ： 当点P在C的左侧，由题意有PCA=BAC，分两类讨论： 若ACAC55=，即时，PACBAC，此时CP=3，P(3,2); -2 PCAB
8、PC3ACAB5355=，即时，PACABC;此时CP=，P(,2).-2 =PCACPC335若 当点P在C的左侧，由题意有ACPABCACBCAB,不存在。 3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+bx+c的图像经过A(-3,0)、B(1,0)、 2 C(0,-3)三点，没该二次函数图像的顶点为D求这个二次函数的解析式及其图像的顶点D的坐际； 在线段AC上是否存在点M，使AOMABC，其中坐标轴的原点O对应点B，点M的对应点为C?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 ： 1.二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式； 2.当AOMABC时，字母已经对应好，无需分
9、类讨论，则由AOMABC得OAAM9=2。又因为点M在线段AC上，且AC的解析式是： ，所以AM=ABAC4y=-x-3 ，则可直接计算出点M的坐标。 3.注意及时画图，体会数形结合的思想。 9a-3b+c=0a=1：(1)由题意得：a+b+c=0 解得：b=2 c=-3c=-3 琢玉教育 地址: 斜土路780号1号楼2楼 高效学习 快乐成长 成就梦想 二次函数的解析式为y=x2+2x-3 顶点G的坐标是(-1,-4) (2)根据题意，OA=3，BA=4，AC=32 AOMABCOAAM9=2 解得：AM=ABAC4 AC的解析式是y=-x-3 9设点M的坐标是(a,-a-3)，(-3-a)+
10、(-a-3)=2 4222 解得：a1=-4.如图，双曲线y=-21339,a2=-点M的坐标是-,- 444428和y=-在第二象限中的xxyAB8图像，A点在y=-的图像上，点A的横坐标为mx2，ACy轴交y=-图像于点C，AB、DCx28均平行x轴，分别交y=-、y=-的图像于点xxB、D。 用m表示A、B、C、D的坐标； 若ABC与ACD相似，求m的值. DCOx例2题图 ： 1.题目看完了吧！我们来一起分析一下，先找找题目中的一些已知道条件吧！你试试： 提示： 注意题目中有两个反比例函数； AB、DC均平行x轴，得出点A、B纵坐标相同，点C、D纵坐标相同； 点A、B、C、D的坐标可根
11、据图像用m表示； 2.点A、B、C、D的坐标可以用含m的代数式表示吗？你求解一下。提示：让学生求解 3.当ABC与ACD时： 1.两三角形中是否有相等的角？提示：CAB=ACD=90 2.需要讨论吗？提示：需要，分2类讨论； 3.怎么讨论？提示：因为CAB=ACD=90，则分两个情况讨论： ABAC=，直接计算可的m的值； CACDABAC= 当B=D时，得 ABCCDA，则，直接计算可的m的值； CDCA 当B=DAC 时，得 ABCCAD，则4.怎么计算？你求解看看。提示：让学生求解。 琢玉教育 地址: 斜土路780号1号楼2楼 高效学习 快乐成长 成就梦想 5.在分析题目的过程中，还要及
12、时画图哦！ ： 822m8由题意知，Am,-，B,-，Cm,-，D4m,-； mmm4m 当B=DAC 时，得 ABCCAD，则 得ABAC=, CACD3m36=(-3 m) -24m 所以：m4=16，得 m= 2 所以：m= -2 B=D时，得 ABCCDA，则 所以：m= 0 所以若ABC与ACD相似，m= -2. 5.RtABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数y=ABAC=, CDCAk(k0)在第一象限内的图像x与BC边交于点D，与AB边交于点E，BDE的面积为2。 求m与n的数量关系； 当tanA=1时，求反比例函数的 2y 解析式和直线AB的表达式； B 设直线AB与y
13、轴交于点F，点P在 E 射线FD上，在的条件下，如果 D AEO与EFP 相似，求点P的坐标。 x A O C ： 1.注意题目中的不变量以及所得到的相关结论： 点D、E的反比例函数的图像上，则它们的坐标乘积相等； 第2、3小问中，点A、B、C、D、E的坐标不变； 2.第1小问可根据D、E的反比例函数的图像上可得； 3.第2小问结合三角比和m与n的数量关系可求的点A、B、C、D、E的坐标； 求出点F可得FD/x轴，所以EFP=EAO。当AEO与EFP 相似时，则：或EAEF=AOFPEAFP=，再根据长度可直接求的得P点坐标。 AOEFk(k0)的图像上, x4.注意及时画图，体会数形结合的思
14、想。 ：D、E在反比例函数y= 琢玉教育 地址: 斜土路780号1号楼2楼 高效学习 快乐成长 成就梦想 4m=k， .2分 2n=k n=2m.1分 (2) ACB=90，D，设B 作EHBC，E，即E， EH=2，BH= y-2m.1分 BDE的面积为2，且tanA=1， 212(y-m)=2y-m=22即.1分 y-2m=1BH=1EH2m=1，B，E.1分 y=3k(k0)图像上， x4k=4,即反比例函数为y=.1分 xE在反比例函数y=设直线AB的函数解析式为y=kx+b， 13=4k+bk=则，解得：2，.1分 2=2k+bb=1即直线AB的表达式为y=4.y=1x+1.1分 21x+1与y轴交于点F，D，FD/x轴，.1分 2EAEFEAFP=或.2分 AOFPAOEF EFP=EAO AEO与EFP 相似，即25525FP=或，FP=1或5，.1分 =2FP25P或.1分 课后学生试卷 背诵 其他 作业布置 琢玉教育 地址: 斜土路780号1号楼2楼
