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1、二次型经可逆线性变换化为形和经正交变换化为形有什么区别二次型经可逆线性变换化为标准形和经正交变换化为标准形有什么区别？ 首先要搞清两个概念：矩阵的相似和合同 矩阵的相似： 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P使PAP=B，则A与B相似。 相似的性质(相似的必要条件)：若AB,则 (1)A=B； (2) r(A)=r(B)； (3)-1lE-A=lE-B即有相同的特征值； (4) aii=bii。 T矩阵的合同：A和B为两个n阶对称矩阵,若存在n阶可逆矩阵C使CAC=B，则称A与B合同。 111T 例如：A=1,则有CAC=B，显然两矩阵合同特征值未必相同！,B=,C=412从而两矩阵合同未必相
2、似！ 由实对称矩阵的性质实对称矩阵一定能相似对角化。从而一定存在可逆阵P使得PAP=L,特别地,-1l1-1Tl2i=1,2,3为A的特征值，故而任意必有正交矩阵Q使QAQ=QAQ=L=,li,l3一个实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q，使得A不仅合同而且相似于一个对角阵。 下面看看什么叫可逆线性变化和正交变换？ c11c12C=c21c22c31c32c13c23,C0,若C为可逆矩阵，称x=Cy为可逆线性变换； c33若C是正交矩阵，称x=Cy为正交变换。 下面来看看对一个二次型施行可逆线性变换会带来什么？ 以三元二次型为例： f(x1,x2,x3)=xAxT$x=Cy,C可逆=(Cy)TA
3、(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy,且BT=(CTAC)T=CTAC=B,故经可逆线性变换f(x1,x2,x3)仍为关于y1,y2,y3的二次型，且原二次型矩阵A和新二次型矩阵B是合同的关系，若C是正交矩阵,那么C=C,B=CAC=CAC,所以A,B不仅合同而且相似。 对于任意一个实对称矩阵A，一定存在正交矩阵Q使得 l1Q-1AQ=QTAQ=L=l2因此若用正交变换x=Qy,xAxT$x=Qy,li,i=1,2,3为A的特征值， l3T22(标准形)即A与合同且A与相似,y=l1y12+l2y2+l3y3=y其中的对角线l1,l2,l3为A的特征值。 1 所以只有用正交变换化二次型为标准
4、形时,标准形平方项的系数才是A的特征值。而经一般的可逆线性变换化二次型为标准形，标准形平方项的系数未必为A的特征值。 下面来看一个具体的例子： 11-2二次型 f(x1,x2,x3)=x12+5x22+5x32+2x1x2-4x1x3，二次型的矩阵A=150， -205l-1lE-A=-12-12l-1-12l-1-520 l-5l-500r3+2r2-1l-50l-50c2-2c3-12(l-5)l-50l-50 =(l-5)l-1-1-5=l(l-5)(l-6)，A的特征值为5,6,0，求出A的特征向量再单位化可以组成正l-5222交矩阵Q，f(x1,x2,x3)=x12+5x22+5x32+2x1x2-4x1x3经正交变换x=Qy化为5y1， +6y2+0y3下面再看配方法： f(x1,x2,x3)=x12+5x22+5x32+2x1x2-4x1x3=x12+2x1(x2-2x3)+(x2-2x3)2-(x2-2x3)2+5x22+5x32 y1=x1+x2-2x32x2+x3化经可逆线性变换y2=(x1+x2-2x3)2+4x22+4x2x3+x32=(x1+x2-2x3)2+(2x2+x3)2，y=x3322二次型为标准形y1。可见1,1,0并不是二次型矩阵A的特征值！ +y2 2
