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1、函数单调性奇偶性经典例题下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是 A1 B2 C3 D4 分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此正确，错误 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此不正确 若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故错误，选A 说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 2复合函数的性质 复合函数y=fg(x)是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通
2、过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律： (1)单调性规律 如果函数u=g(x)在区间m，n上是单调函数，且函数y=f(u)在区间g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是单调函数，那么 若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=fg(x)为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=fg(x)为减函数 (2)奇偶性规律 若函数g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，
3、y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数 例1已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f(f(x)+f(y)=f(x+y1+xy12)=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有),试证明： (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减. 知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 技巧与方法：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=y是解题关键；对于(2)，判定x+y1+xyx2-x11-x1x2的范围是焦点. 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(奇函数. ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f
4、(x-x1-x2)=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f(x2-x11-x1x2) 0x1x20,1x1x20，又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1, 00, 1,由题意知f(x2-x11-x1x2)0， 即f(x2)f(x1). f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. f(x)在(1，1)上为减函数. 一、选择题 2.函数f(x)=1+x1+x22+x-1+x+1的图象( ) B.关于y轴对称 D.关于直线x=1
5、对称 A.关于x轴对称 C.关于原点对称 解析：f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C 二、填空题 3.函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_. 解析：令t=|x+1|,则t在(,1上递减，又y=f(x)在R上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减. 答案：(,1 4.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0x10.又知0x1x,得x1+x20, b=a(x1+x2)0. 答案：(,0） 三、解答题 5.已知函数f(x)=ax+x-2x+132 (a1). (1)证明：函数f(x)
6、在(1，+)上为增函数. (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根. 证明：(1）设1x1x2+,则x2x10, axax-ax=ax(ax21122-x11且ax0, 1-x1-1)0,又x1+10,x2+10 x2-2x2+1-x1-2x1+1=(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1)(x1+1)(x2+1)x2-2x2+1x1-2x1+1=3(x2-x1)(x1+1)(x2+1)0, 于是f(x2)f(x1)=ax-ax+21- 0 f(x)在(1，+）上为递增函数. (2）证法一：设存在x00(x01)满足f(x0)=0,则ax0=-与x00矛盾，故f(x)=0没有负数根
7、. 证法二：设存在x00(x01)使f(x0)=0,若1x00,则x0-2x0+1x0-2x0+1且由0ax1得00x0-2x0+11,即12x022,ax1,f(x0)1与f(x0)=0矛盾，若x001,则x0-2x0+10, ax0，f(x0)0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根. 06.求证函数f(x)=x232在区间(1，+)上是减函数. 11x(x2(x-1)证明：x0,f(x)=(x2-1)x32=-1)42=x(1-11x2, )2x设1x1x2+,则1x221x1221-1x120. x2(1-1x22)2x1(1-1x12)0.1x2(1-1x22f(x2),
8、故函数f(x)在(1，+）上是减函数. 7.设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足： (i)f(x1x2)=f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1)； (ii)存在正常数a使f(a)=1.求证： (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是4a. 证明：(1）不妨令x=x1x2,则f(x)=f(x2x1)=f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函数. (2）要证f(x+4a)=f(x),可先计算f(x+a),f(x+2a). f(x+a)=fx(a)=f(-a)f(x)+1f(-a)-f(-x)=-f(a)f(x)+1-f(a)-f(x)=f(x)-1f(x)+1
9、(f(a)=1). f(x2)f(x1)+1f(x1)-f(x2)=-f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1)f(x)-1f(x+2a)=f(x+a)+a=f(x+a)-1f(x+a)+11-f(x+2a)=f(x)+1f(x)-1f(x)+1-1=-+11f(x).f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a为周期的周期函数. 8.已知函数f(x)的定义域为R，且对m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且 f(12)=0,当x12时，f(x)0. (1)求证：f(x)是单调递增函数； (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. 证明：设x1x2,
10、则x2x11212,由题意f(x2x112)0, 12f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f(f(x)是单调递增函数. (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略. )1=f(x2x1)120, 例1已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,设不等式解集为A，B=Ax|1x5,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易
11、漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为x不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 0x6-3x-33得解：由2-3x-33-6x且x0,故0x6, 6又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x6,即A=x|2x6, B=Ax|1x5=x|1x6,又g(x)=3x2+3x4=3(xg(x)max=g(1)=4. 一、选择题 1.设f(x)是(,+)上的奇函数，f(x+2)=f(x),当0x1时，f(x)=x,则f(7.5)等于( ) A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.5 12)2134知：g(x)在B上为减函数，解析：f(7.5
12、)=f(5.5+2)=f(5.5)=f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=f(1.5)=f(0.5+2)= f(0.5)=f(0.5)=0.5. 答案：B 2.已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0,则a的取值范围是( ) A.(22，3) C.(22，4) B.(3，10) D.(2，3) 解析：f(x)是定义在(1，1）上的奇函数又是减函数，且f(a3)+f(9a2)0. f(a3)f(a9). -1a-31-1a2-9a-92答案：A 二、填空题 3.若f(x)为奇函数，且在(0，+)内是增函数，又f(3)=0,则xf(x)0的解集
13、为_. 解析：由题意可知：xf(x)0x0 或f(x)0f(x)0x0x0 或 或f(x)f(-3)f(x)-3x 311. 13f()f(1323)f(1),f(2313)f(23)f(1). 答案：fff(1) 三、解答题 5.已知f(x)是偶函数而且在(0，+)上是减函数，判断f(x)在(,0)上的增减性并加以证明. 解：函数f(x)在(,0）上是增函数，设x1x20,因为f(x)是偶函数，所以 f(x1)=f(x1),f(x2)=f(x2),由假设可知x1x20,又已知f(x)在(0，+)上是减函数，于是有f(x1)f(x2),即f(x1)f(x2),由此可知，函数f(x)在(,0)上
14、是增函数. 6.已知函数y=f(x)=ax2+1bx+c (a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1)0,b0,x0,f(x)=52+1bx=bx2ab122，当且仅当x=1a时等号成立，于是21xab2=2,a=b2,由f(1)得a+1b52即b+1b252,2b25b+20,解得b2，又bN,b=1,a=1,f(x)=x+. (2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2x0,y0)也在y=f(x)图象上，则x02+1=y0x0 2(2-x0)+1=-y02-x0消去y0得x022x01=0,x0=12. y=
15、f(x)图象上存在两点(1+2,22),(12,22)关于(1，0)对称. 3函数单调性与奇偶性的综合运用 例6甲、乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c kmh，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(kmh)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(kmh)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶 分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)(平均速度)就可以解决 故所求函数及其定义域为但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckmh，所以(2)的解决需要 论函数的增减性来解决 由于v1v20，v2-v10，并且 又S0，所以即 则当v=c时，y取最小值 说明：此题是XX年全国高考试题由于限制汽车行驶速度不得超过c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大
