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1、函数的单调性教学课堂实录函数的单调性 创设情境，引入课题 老师：实例 科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线。请你根据曲线图说说气温的变化情况？ 学生：可以看出气温的最值，还有某时刻的气温，某时间段气温的升降变化等。 老师： 图象在某区间上“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质单调性。 函数是描述事物变化规律的数学模型。 如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律。在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质。因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。 老师：问题1 ：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？ 学生：函数图像逐渐上
2、升；函数图像先下降后上升；函数图像下降； 老师：规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”。 借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质。 老师：设函数的定义域为I，区间DI。在区间D上，若函数的图象总是上升的，即y随x的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调增区间； - 1 - 引导探索，生成概念 老师：问题2下图是函数y=f(x)的图象，它在定义域R上是递增的吗？ 函数f(x)=x+1在区间(0,+)上有何单调性？ x学生：是递增的。 老师：函数图象虽然直观，但是缺乏精确性，必须结合函数解析式；但仅凭解析式常常也难以判断其单调性。 老师：问题3 如何用
3、数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y随x的增大而增大”？ 以二次函数f(x)=x在区间0,+)上的单调性为例，用几何画板动画演示“y随x的增大而增大”，生成表格。 设计说明：先借助图形、动画和表格等直观感受“y随x的增大而增大”，然后让学生思考、讨论得出，若x1x2，则必须有y1y2。 已知ax1x2b，若有f(a)f(x1)f(x2)f(b)。能保证函数y=f(x)在区间2a,b上递增吗？ - 2 - 拖动“拖动点”改变函数y=f(x)在区间a,b上的图象，可以递增，可以先增后减，也可以先减后增。 已知ax1x2x3b，若有f(a)f(x，能保证函数1)f(x2)f(x3)f(b)y=
4、f(x)在区间a,b上递增吗？ 拖动“拖动点”，观察函数y=f(x)在区间a,b上的图象变化。 设计说明：先让学生讨论交流、举反例，然后借助几何画板动态说明验证两个定点不能确定函数的单调性，三个点也不行，无数个点行不行呢？引导学生过渡到符号化表示，呈现知识的自然生成。 已知ax1x2x3x4b，若有 f(a)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(b)，能保证函数y=f(x)在区间a,b上递增吗？ 设计说明：可先请持赞同观点的同学说明理由，再请持反对意见的学生画出反驳，然后追问：无数个x也不能保证函数递增，那该怎么办呢？若学生回答全部取完或任取，追问“总不能一个一个的验证吧？” 紧接着师生
5、一起回顾子集的概念，再次体验对“任意一个”进行操作，实现“无限”目标的数学方法，体会用“任意”来处理“无限”的数学思想。 问题4：如何用数学语言准确刻画函数y=f(x)在区间D上递增呢？ 预设：请学生自愿尝试概括定义。 板书“任意x1,x2D，当x1x2时，都有，则突出关键词“任意”和“都有”；f(x1)x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数y=f(x)在区间D上递减”，以此打破必须“x1a，都有f(x)f(a)，则y=f(x)在区间a,+)上递增； 设函数y=f(x)的定义域为R，若对任意x1,x2(a,+)，且x1x2，都有f(x1)f(x2)，则y=f(x)是递增的； 反比例函数f(
6、x)=1的单调递减区间是(-,0)U(0,+)。 x设计说明：让学生分组讨论，然后作展示性回答。若学生认为正确，则要求说明理由；若学生认为错误，则要求学生到黑板上画出反例可追问怎么修改）。通过构造反例，逐步完善和加深对函数单调性的理解。 例题：判断并证明函数f(x)=0.001x+1的单调性。 设计说明：对照定义板书示范，指明变形的目的是变出因式(x1-x2)等，并让学生提炼证明的基本步骤。 练习：证明函数f(x)=x+在(0,1)上递减； 在(1,+)上递增。 设计说明：回答“问题2”悬而未决的问题。先请两位学生板演，然后由其他学生完善步骤。 思考题：物理学中的玻意耳定律p=1(x0)的单调
7、性： xk告诉我们，对于一定量的气体，V当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明。 设计说明：引导学生用数学知识解释其他学科的规律，培养学生应用数学的意识和能力。 回顾反思，深化认识 - 4 - 课堂小结： 通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？ 设计说明：先给出问题，要求学生自主小结，再推出引导性关键词，使得总结简明、到位、拔高。 布置作业 课堂作业：第38页习题2-3 A组：3，5； 判断并证明函数f(x)=x+1(x0)的单调性。 x探究题：向一杯水中加一定量的糖，糖加得越多糖水越甜。 请你运用所学的数学知识解释这一现象。 设计说明：课堂作业是为及时巩固初学的知识和方法，完善对“对钩函数”的认识。探究题是为培养学生运用数学的意识，感受数学的实用性和人文性。 板书设计 函数的单调性 递增： 递减： 六、教后反思 反思“三个理解”的理解程度、教学策略和落实情况，等。 例题 练习 - 5 -
