初中阶段几种重要的数学思想方法.docx

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1、初中阶段几种重要的数学思想方法 初中阶段几种重要的数学思想方法 教育 数学思想是数学活动的指导思想，是数学活动的一般概括.它是从整体和思维的更高层次上指导学生有效地认识数学本质，运用数学知识发现、完善数学知识结构，探寻解题的方向和途径.通过概括、比较上升为数学能力，并通过数学思想的运用，培养学生初步的科学方法论，提高思维素质，增强思维能力。数学思想的教学使中学数学教学进一步走向现代化.初中课堂教学中，数学思想尚处于隐含、渗透的阶段.毕业班复习辅导中有必要明确地突出其重要作用，使学生清楚地认识到只有在数学思想的指导下的数学学习活动，才是科学的数学学习活动，才具有很强的能动作用和创造作用. 一、转

2、化与化归思想 1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法. 数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂. 2.转化包括等价转化和非等价转化 等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来

3、思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改. 3.转化与化归的原则 将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决. 4.转化与化归的基本类型 正与反、一般与特殊的转化； 常量与变量的转化； 数与形的转化； 数学各分支之间的转化； 相等与不相等之间的转化； 实际问题与数学模型的转化. 二、数形结合思想 1.数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都

4、有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论.数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位. 2.数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的知识界限，有较强的综合性.在复习中加强这方面的训练，对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的. 数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。从而利用数

5、形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助. 数形结合的主要方法有：解析法、三角法、图象法等. 3.数形结合的主要途径： 同一性原则 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I, 是I的子集,并以此分类,且A1A2An=I,则称这种分类符合同一性原则.比如,我们若把实数R分成正实数R+与负实数R,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R+R0,则这种分类方法遗漏了零. 互斥性原则 由同一性原则可以看出,在分类讨论时,同一性仅仅考虑了“不遗漏”,但是对于全集I来说,A1,A2An在满足A1A2An=I的前提下,并不

6、能保证AiAj= ?,即在分类讨论中不能避免重复讨论,使讨论复杂,互斥性原则则解决了这一问题,即对于研究对象I, Ai(i=1n)是I子集,且作为分类的标准,若AiAj= ?,则称这种分类符合互斥性原则. 层次性原则 如果在解决某一问题时,需要分类讨论,当确定了某一标准进行分类讨论后,问题并没有得到解决,还需要继续进行分类讨论,这时,我们称之为两个不同层次的讨论,这就是分类讨论的层次性,而分类讨论的层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆,层次性原则实质上就是要求有层次的分类讨论不错位、不越位. 由上看出,分类讨论三原则,同一性、互斥性、层次性中,同一性

7、要求分类不遗漏,互斥性则使分类不重复,二者是分类划分的基本原则,而层次性是在解决某些问题时,按同一标准一次分类,尚不能完全达到目的,而要求再次分类时必须掌握的原则,层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则. 3.分类讨论的步骤 同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步： 第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围； 第二，正确选择分类标准,合理分类； 第三，逐类、逐段分类讨论； 第四，归纳并做出结论. 分类讨论第一要明确为什么要分类讨论,第二要形成分类讨论的意识,第三要学会如何合理分类并正确进行讨论,第四要掌握分类讨论的严密性和表达的

8、正确性. 4.引起分类讨论的七种基本形态 并非所有的数学问题都需要进行分类讨论,但若涉及到以下七种 情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化. 概念分段定义 像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线的斜率、复数的辐角主值等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论. 公式分段表达 在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分段表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论。 实施某些运算引起分类讨论 在解决数学问题时,不论是化简、求值还是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同结果时,会引起分类讨论. 图形位置不确定 如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如果

9、图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意识,其次要全面考察,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏解. 图形的形状不同 当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进行分析讨论. 字母系数参与引起分类讨论 字母系数的出现,常常会使问题出现多种不同情况影响了问题结果,从而引起分类讨论. 条件不唯一引起分类讨论 由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定,曲线种类不确定, 位置关系不确定,形状不确定等出现,需要对不同情况合理分类,正确讨论. 总而言之,分类讨论思想的本质是逻辑划分,可以用集合的观点依据同一性、互斥性、层次性正确分类,并依据一定步骤合理地进行分类讨论,分类

10、讨论即是一种思想,又是一种策略,还是一种方法,它广泛应用于中学数学的问题解决中. 四、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型，然后通过解方程或不等式来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 方程思想是：实际问题数学问题代数问题方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数yf(x)

11、，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)y0.可以说，函数的研究离不开方程.列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f (x)的单调性、对称性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、反比例函数、二次函数等的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断

12、比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是中考考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；如列表、规律探究等都可以看成n的函数，用函数方法解决。

13、函数研究是数学的主线，它用联系和运动、变化的观点研究、描述客观世界中相互关联的量之间的依存关系，形成变量数学的一大重要基础和分支。函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力。因此，越来越成为数学中考的长考不衰的热点。 函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f(x)0就是求函数yf(x)当函数值为零时自变量x的值；求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数yf(x)与y=g(x)的图象的交点或交点个数；合参数的方程f(x, y, t)=0和参数方程更是具有函数因素

14、，属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点，而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系，促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。 函数思想在中考中的应用主要是函数的概念。性质及图像的应用，包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。 方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程、不等式或其混合组使问题获解。包括待定系数法，换元法、转换法和构造方程法四个方面。 1显化函数关系 在方程、不等式、最值、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而使用函数知识或函

15、数方法使问题获解 2转换函数关系 在函数性态、曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中逆求参数的取值范围，按照原有的函数关系很难奏效时，灵活转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其它变元的函数关系，切人问题本质，从而使原问题获解 3构造函数关系 在数学各分支形形色色的数学问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论、通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造某些函数关系，利用函数思想和方法使原问题获解，是函数思想解题的更高层次的体现，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移 4.建立函数关系 对于实际问题，在正确过好事理关，文理关，明白题意后，根据题目的

16、要求，选择相应的函数关系建立数学模型，利用函数的性质解决问题，是函数思想应用的一个热点，也是高考的热点 5.待定系数法 把题目中待定的未知数和已知数的等量关系揭示出来，建立方程求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用 6.转换方程形式 把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，有关方程的解的定理使原问题获解，是方程思想应用的又一个方面 7.构造方程法 分析题目中的未知量，根据条件布列关于未知数的方程，使原问题得到解决，叫构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面 8.建立方程模型 数学应用题的数学模型为方程，或必须使用待定系数法确定某些字母的值时，应建立相应的方程，把问题转化为方程求解 9.函数思想与方程思想的联用 在解综合题中，解决一个问题常常不止需要一种数学思想，而是两种数学思想方法的综合运用例如函数思想与方程思想的综合运用它们之间的相互转换一步步使问题获得解决，转换的途径为函数方程函数或方程函数方程等