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1、初二数学三角形四边形动点问题分析与讲解初二数学三角形、四边形动点问题分析与讲解 所谓“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 例题分析与讲解： 1. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动
2、时间为ts 当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？ 当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？ 当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 分析： 四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ 四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE 四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可 解答： 解：四边形PQCD平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t 解得：t=6 即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形 1 过D作DEBC于E 则四边形ABED为矩形 BE=AD=24cm EC=BC-BE=2cm 四边形PQCD为等腰梯形 QC-PD=
3、2CE 即3t-=4 解得：t=7 即当t=7时，四边形PQCD为等腰梯形 由题意知：QC-PD=EC时， 四边形PQCD为直角梯形即3t-=2 解得：t=6.5 即当t=6.5时，四边形PQCD为直角梯形 点评： 此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中 2. 如图，ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的外角平分线CF于点F，交ACB内角平分线CE于E 试说明EO=FO； 当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论； 若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想ABC的形状并证明你的结论 分析： 2 根据CE平分A
4、CB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO 利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形 利用已知条件及正方形的性质解答 解答： 解：CE平分ACB， ACE=BCE， MNBC， OEC=ECB， OEC=OCE， OE=OC， 同理，OC=OF， OE=OF 当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形 如图AO=CO，EO=FO， 四边形AECF为平行四边形， CE平分ACB， ACE= ACB， 同理，ACF= ACG， ECF=ACE+ACF= = 180=90， 四边形AECF是矩形 ABC是直角三角形
5、 四边形AECF是正方形， ACEN，故AOM=90， MNBC， BCA=AOM， BCA=90， ABC是直角三角形 点评： 本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论，再利用结论和矩形的判定证明结论，再对进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用 3. 3 如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出
6、发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒 求NC，MC的长； 当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形； 是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 探究：t为何值时，PMC为等腰三角形 分析： 依据题意易知四边形ABNQ是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；ABQN，CMNCAB，CM：CA=CN：CB，CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM； 四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
7、 可先根据QN平分ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值然后根据得出的t的值，求出MNC的面积，即可判断出MNC的面积是否为ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值 由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论： 当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值 当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值 当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值 综上所述可得出符合条件的t的值 解答: 解：AQ=3-t CN=4-=1+t 在RtABC中，AC2=AB2+BC2=32+42
8、 AC=5 在RtMNC中，cosNCM= = ，CM= 由于四边形PCDQ构成平行四边形 4 PC=QD，即4-t=t 解得t=2 如果射线QN将ABC的周长平分，则有： MN+NC=AM+BN+AB 即： +1+t= 解得：t= 而MN= NC= SMNC= 2= 2 43 当t= 时，SMNC=2= 不存在某一时刻t，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分 当MP=MC时 则有：NP=NC 即PC=2NC4-t=2 解得：t= 当CM=CP时 则有： =4-t 解得：t= 当PM=PC时 则有： 在RtMNP中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC= 5 PN=NC-PC=-=2t
9、-3 2+2=2 解得：t1= 当t= ，t= ，t2=-1 ，t= 时，PMC为等腰三角形 点评： 此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法 4. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm 当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边的一部分为第三边构成一个三角形； 当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边
10、形； 以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由 分析： 以PQ，MN为两边，以矩形的边的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MCBC即x+3x20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm所以可以根据这两种情况来求解x的值 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD
11、所以可以根据这些条件列出方程关系式 如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+NDAD即2x+x220cm，BQ+MCBC即x+3x20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x0这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形 6 解答： 解：当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= -1，x2=- -1 因为BQ+CM=x+3x=420，此时点Q与点M不重合 所以x= -1符合题意 当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5 此时DN=x2=2520，
12、不符合题意 故点Q与点M不能重合 所以所求x的值为 -1 由知，点Q只能在点M的左侧， 当点P在点N的左侧时， 由20-=20-， 解得x1=0，x2=2 当x=2时四边形PQMN是平行四边形 当点P在点N的右侧时， 由20-=-20， 解得x1=-10，x2=4 当x=4时四边形NQMP是平行四边形 所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形 过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F 由于2xx， 所以点E一定在点P的左侧 若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF， 即2x-x=x2-3x 解得x1=0，x2=4 由于当
13、x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评： 本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点 5. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒 7 当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？ 当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？ 分析： 根据平行四边形的性质，对边相等，求得
14、t值； 根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12，求解即可 解答： 解：MDNC，当MD=NC，即15-t=2t，t=5时，四边形MNCD是平行四边形； 作DEBC，垂足为E，则CE=21-15=6，当CN-MD=12时，即2t-=12，t=9时，四边形MNCD是等腰梯形 点评： 考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容 6. 如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到
15、点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t 设BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系； 当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 8 分析： 若过点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PMQB=96-6t； 本题应分三种情况进行讨论，若PQ=BQ，在RtPQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出； 若BP=BQ，在RtPMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出； 若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出 解答： 解：过
16、点P作PMBC于M，则四边形PDCM为矩形 PM=DC=12， QB=16-t， s= QBPM= 12=96-6t由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况 ） 9 ： 若PQ=BQ，在RtPMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=2，解得 ； 若BP=BQ，在RtPMB中，PB2=2+122，由PB2=BQ2得2+122=2，此方程无解，BPPQ 若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=2+122得 合题意，舍去） 综上所述，当 形 或 时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角，t2=16时，应注意分情况进行讨
17、论，防止在解题过程中出现漏解现象 7. 直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线OBA运动 直接写出A、B两点的坐标； 设点Q的运动时间为t，OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； 当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 分析： 分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标； ）因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出， 当P在线段OB上运动时，O
18、Q=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PDOA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQPD，即可求出答案； 10 令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标 解答： 解：y=0，x=0，求得AB， OA=8，OB=6，AB=10 点Q由O到A的时间是 81=8， 点P的速度是 6+108=2 当P在线段OB上运动时， OQ=t，OP=2t，S=t2 当P在线段BA上运动时， OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t， 如图，做PDOA于点D， 由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5 S= 12OQPD=- 35t2+245t 当S= 485时， 4851236点P在AB上 当S= 485时，- 35t2+245t= 485 t=4 PD= 48-645= 245，AD=16-24=8 AD= 82-(245)2= 325 OD=8- 325= 85 P M1，M2，M3 点评： 本题主要考查梯形的性质及勾股定理在解题时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象 11
