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1、华中师范数分第七章复习自测题 第七章复习自测题 一、仔细体会并熟记实数完备性的七个基本定理，并且理解和掌握基本定理之间的等价关系，掌握应用基本定理证明命题方法。 1. 设函数f(x)定义在a,b上，如果x0a,b，极限limf(x)均存在，则xx0f(x)在a,b上有界。 2. 用致密性定理证明：设an是有界发散数列，则存在an的两个子列趋于不同的极限。 3. 设an为收敛的数列，证明an的上、下确界中至少有一个属于an。 6. 试用数列柯西准则证明闭区间套定理。 7. 用致密性定理证明聚点定理。 8. 试用有限覆盖定理证明数列柯西准则。 9. 若f(x)在0,1上递增，且满足f(0)0,f(
2、1)0，则必存在c0，使得xa,b，满足f(x)c。 12. 试用确界原理证明：若f(x)在a,b连续，则f(x)在a,b上有界。 13. 举例说明在有理数集上确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、数列柯西收敛准则不成立。 二、仔细体会和掌握数集的聚点和数列的聚点概念的区别和联系。 14. 设S是数集，试给出“h不是S的聚点”的正面陈述。 15. 设S是有界数集，则supS(infS)是S的聚点吗？ 16. 证明：h是S的聚点点h的任意邻域U(h,d)，有U0(h,d)Sf xn=h。 存在互异数列xnS，且limn 17、证明： x是数列xn的聚点存在xn
3、的子列xnk，使得limxnk=x k d0,N0,$nN， 使得xnU(x,d)。 18、设有界数列xn满足：lim(xn+1-xn)=0，记a=limxn，b=limxn，nnn则xa,b，有x是xn的聚点。 三、理解和掌握数列上、下极限的定义及等价条件。熟练掌握上、下极限的的性质及应用。 19、设xn是有界数列，则 a=limxne0,$N0,使得当nN时，有xn0,存在子列xnk，使得xnka-e a=limsupxk nkn b=limxne0,$N0,使得当nN时，有xnb-e n e0,存在子列xnk，使得xnk0,b0,a10，an+1=a+ an收敛，并求其极限。 24、用上、下极限证明数列柯西收敛准则的充分性。 25、用上、下极限证明：设an是有界发散数列，则存在an的两个子列趋于不同的极限。 ban(n=1,2,L)，用上、下极限证明
