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1、同济高等数学习题答案 习题9-2 1. 计算下列二重积分: (1)(x2+y2)ds, 其中D=(x, y)| |x|1, |y|1; D 解 积分区域可表示为D: -1x1, -1y1. 于是 1y31dx 2=dx(x+y)dy=xy+(x+y)ds-1-1-13-1D22112218. 1 =(2x2+1)dx=2x3+2x-=-1333131 (2)(3x+2y)ds, 其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围D成的闭区域: 解 积分区域可表示为D: 0x2, 0y2-x. 于是 22-x(3x+2y)ds=dxD020x(3x+2y)dy=3xy+y22-dx 0022 =(4+2x-
2、2x2)dx=4x+x2-2x30=20. 033 (3)(x3+3x2y+y2)ds, 其中D=(x, y)| 0x1, 0y1; D 解 323=dy(x+3xy+y)dx (x+3xy+y)ds32211D00411x331 =+xy+yx0dy=(+y+y3)dy 0404yy2y41111 =+0=+=1. 4244241 (4)xcos(x+y)ds, 其中D是顶点分别为(0, 0), (p, 0), 和D(p, p)的三角形闭区域. 解 积分区域可表示为D: 0xp, 0yx. 于是, pxxcos(x+y)ds=D0xdxcos(x+y)dy 0 =xsin(x+y)dx=x(
3、sin2x-sinx)dx 0x00pp =-xd(1cos2x-cosx) 02p11p =-x(cos2x-cosx)|0+(cos2x-cosx)dx=-3p. 0222p 2. 画出积分区域, 并计算下列二重积分: (1)xyds, 其中D是由两条抛物线y=x, y=x2所围成D的闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| 0x1, x2yx. 于是 xDyds=dx2xydy 0x1x127232x =xy2x2dx=(x4-x4)dx=6. 03033551 (2)xy2ds, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半D闭区域; 解 积分区域图如, 并且D=(x,
4、y)| -2y2, 0x4-y2. 于是 xyds=2D2-2dy4-y201224-y2xydx=xy0dy -222264. =(2y2-1y4)dy=2y3-1y52=-22310-2152 (3)ex+yds, 其中D=(x, y)| |x|+|y|1; D 解 积分区域图如, 并且 D=(x, y)| -1x0, -x-1yx+1 (x, y)| 0x1, x-1y-x+1. 于是 eD0x+yds=edxx-1yx+1-x-1100x+1-x-1edy+edxyx01-x+1x-1eydy =eex-1x+1dx+exey-x-1dy =(e-102x+1-e)dx+(e-e2x-
5、1)dx -1011e2x-11=e-e-1. =1e2x+1-e-1x0+ex-1022 (4)(x2+y2-x)ds, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所D围成的闭区域. 解 积分区域图如, 并且D=(x, y)| 0y2, 1yxy. 2于是 22(x+y-x)ds=dy(x+y-x)dx y22D0222yy =1x3+y2x-1x2ydy 0322 =(19y3-3y2)dy=13. 024862 3. 如果二重积分f(x,y)dxdy的被积函数f(x, y)是两个函D数f1(x)及f2(y)的乘积, 即f(x, y)= f1(x)f2(y), 积分区域D=(x, y)|
6、axb, c yd, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即 bdf(x)f(y)dxdy=f(x)dx12D1a1cf2(y)dy. 证 f(x)f(y)dxdy=dx2Dabdacbdcf1(x)f2(y)dy =f1(x)f2(y)dydx, 而 故 ddcf1(x)f2(y)dy=f1(x)f2(y)dy, cdf(x)f(y)dxdy=f(x)12Da1bdcf2(y)dydx. 由于f2(y)dy的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是c得 4. 化二重积分I=f(x,y)ds为二次积分(分别列出对两个Df(x)f(y)dxdy=12Dbaf1(x)dxf2(y)dy.
7、cd变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D是: (1)由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|0x4, xy2x, 或 D=(x, y)| 0y4, 1y2xy, 4所以 I=dx042xxf(x,y)dy 或 I=dyy2f(x,y)dx. 044y (2)由x轴及半圆周x2+y2=r2(y0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|-rxr, 0yr2-x2, 或 D=(x, y)| 0yr, -r2-y2xr2-y2, 所以 I=dx-rrr2-x20f(x,y)dy, 或 I=dy0rr2-y
8、2-r2-y2f(x,y)dx. (3)由直线y=x, x=2及双曲线y=1(x0)所围成的闭区域; x 解 积分区域如图所示, 并且 D=(x, y)|1x2, 1yx, x或 D=(x, y)| 1y1, -1x2(x, 2yy)|1y2, yx2, 所以 I=dx1f(x,y)dy, 1x2x或 I=1dy1f(x,y)dx+dyf(x,y)dx. 2y12221y (4)环形闭区域(x, y)| 1x2+y24. 解 如图所示, 用直线x=-1和x=1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D4. 于是 I=f(x,y)ds+f(x,y)ds+f(x,y)ds+f(
9、x,y)ds D1D2D3D4 =dx-2-14-x2-4-x2f(x,y)dy+dx-114-x21-x2f(x,y)dy +dx-11-1-x24-x2-f(x,y)dy+dx124-x24-x2-f(x,y)dy 用直线y=1, 和y=-1可将积分区域D分成四部分, 分别记做D1, D2, D3, D 4, 如图所示. 于是 I=f(x,y)ds+f(x,y)ds+f(x,y)ds+f(x,y)ds D1D2D3D4 =dy11-124-y2-4-y24-y21-y2f(x,y)dx+dy-11-1-y2-4-y24-y2f(x,y)dx f(x,y)dx +dyf(x,y)dx+dy-
10、2bx-1-4-y2 5. 设f(x, y)在D上连续, 其中D是由直线y=x、y=a及x=b(ba)围成的闭区域, 证明:dxf(x,y)dy=dyf(x,y)dx. aaaybb 证 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D=(x, y)|axb, ayx, 或 D=(x, y)|ayb, yxb. 于是 f(x,y)ds=dxDabxaf(x,y)dy, 或 因此 f(x,y)ds=dyDbbayf(x,y)dx. bdxaybxaf(x,y)dy=dyf(x,y)dx. ayb 6. 改换下列二次积分的积分次序: (1)dyf(x,y)dx; 001 解 由根据积分限可得积分区域D
11、=(x, y)|0y1, 0xy. 因为积分区域还可以表示为 D=(x, y)|0x1, xy1, 所以 20dy01y0f(x,y)dx=dxf(x,y)dy. 0x11 (2)dy2f(x,y)dx; y2y 解 由根据积分限可得积分区域 D=(x, y)|0y2, y2x2y. 因为积分区域还可以表示为 D=(x, y)|0x4, xyx, 2所以 1dy022yy2f(x,y)dx=dxxf(x,y)dy. 024x (3)dy01-y2-1-y2f(x,y)dx; 解 由根据积分限可得积分区域 D=(x,y)|0y1, -1-y2x1-y2. 因为积分区域还可以表示为 D=(x,y)
12、|-1x1, 0y1-x2, 所以 2dy011-y2-1-y2f(x,y)dx=dx-111-x20f(x,y)dy. (4)dx12x-x22-xf(x,y)dy; 解 由根据积分限可得积分区域 D=(x,y)|1x2, 2-xy2x-x2. 因为积分区域还可以表示为 D=(x,y)|0y1, 2-yx1+1-y2, 所以 e1dx1lnx022x-x22-xf(x,y)dy=dy011+1-y22-yf(x,y)dx. (5)dxf(x,y)dy; 解 由根据积分限可得积分区域 D=(x, y)|1xe, 0yln x. 因为积分区域还可以表示为 D=(x, y)|0y1, eyx e,
13、 所以 p0dx1elnx0f(x,y)dy=dyyf(x,y)dx 0e1e (6)dxsinx-sinx2f(x,y)dy(其中a0) 解 由根据积分限可得积分区域 D=(x,y)|0xp, -sinxysinx. 2因为积分区域还可以表示为 D=(x, y)|-1y0, -2arcsin yxp (x, y)|0y1, arcsin yxp-arcsin y, 所以 dx00-1psinx-sinx2f(x,y)dy f(x,y)dx+dy01 =dypp-arcsiny-2arcsinyarcsinyf(x,y)dx. 7. 设平面薄片所占的闭区域D由直线x+y=2, y=x和x轴所围
14、成, 它的面密度为m(x, y)=x2+y2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为 M=m(x,y)ds=(x+y)ds=dy22DD12-y0y(x2+y2)dx =1(2-y)3+2y2-7y3dy=4. 03331 8. 计算由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积. 解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为 V=(6-2x-3y)dxdy=dx(6-2x-3y)dy D001119321 =6y-2xy-y0dx=(-2x)dx=7. 002221 9. 求由平面x=0, y=0, x+y=1所围成的柱体被平
15、面z=0及抛物面x2+y2=6-z截得的立体的体积. 解 立体在xOy面上的投影区域为 D=(x, y)|0x1, 0y1-x, 所求立体的体积为以曲面z=6-x2-y2为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积, 即 V=(6-x-y)ds=dx(6-x2-y2)dy=17. 006D2211-x 10. 求由曲面z=x2+2y2及z=6-2x2-y2所围成的立体的体积. z=x2+2y2 解 由消去z, 得 22z=6-2x-y x2+2y2=6-2x2-y2, 即x2+y2=2, 故立体在xOy面上的投影区域为x2+y22, 因为积分区域关于x及y轴均对称, 并且被积函数关于x, y都是偶函数
16、, 所以 V=(6-2x2-y2)-(x2+2y2)ds=(6-3x2-3y2)ds DD =12dx022-x20(2-x-y)dy=822D20(2-x2)3dx=6p. 11. 画出积分区域, 把积分f(x,y)dxdy表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D是: (1)(x, y)| x2+y2a2(a0); 解 积分区域D如图. 因为 D=(r, q)|0q2p, 0ra, 所以 f(x,y)dxdy=f(rcosq,rsinq)rdrdq DD2pa00 =dqf(rcosq,rsinq)rdr. (2)(x, y)|x2+y22x; 解 积分区域D如图. 因为 D=(r,q)
17、|-pqp, 0r2cosq, 22所以 f(x,y)dxdy=f(rcosq,rsinq)rdrdq DD =pdq2-2p2cosq0f(rcosq,rsinq)rdr. (3)(x, y)| a2x2+y2b2, 其中0a0)所围成的闭区域; 解 因为积分区域可表示为 D=(x, y)|ay3a, y-axy, 所以 22=dy(x+y)dx (x+y)ds22D3ayay-a =(2ay2-a2y+1a3)dy=14a4. a33a (4)Dx2+y2ds, 其中D是圆环形闭区域(x, y)| a2x2+y2b2. 解 在极坐标下D=(r, q)|0q2p, arb, 所以 Dx+yd
18、s=dqr2dr=2p(b3-a3). 0a3222pb 16. 设平面薄片所占的闭区域D由螺线r=2q上一段弧(0qp)与直线q=p所围成, 它的面密度为m(x, y)=x2+y2. 求22这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下 D=(r,q)|0qp, 0r2q, 2所以所求质量 M=m(x,y)ds=dq2p2qD005prrdr=4qdq=. p224040 17. 求由平面y=0, y=kx(k0), z=0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积. 解 此立体在xOy面上的投影区域 D=(x, y)|0qarctank, 0rR. V=R2-x2-y2dxdy D =arctank0dqR0R2-r2rdr=1R3arctank. 3 18. 计算以xOy平面上圆域x2+y2=ax围成的闭区域为底, 而以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积. 解 曲顶柱体在xOy面上的投影区域为 D=(x, y)|x2+y2ax. 在极坐标下 D=(r,q)|-pqp, 0racosq, 22所以 V=x2+y2axp(x+y)dxdy=pdq222-2pacosq0r2rdr 4a =2pcos4qdq=3a4p. 4-232
