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1、复数讲义复数 一、复数的概念 1 虚数单位i: 它的平方等于-1，即i2=-1； 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 i与1的关系: i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i i的周期性： i4n+1=i， i4n+2=-1， i4n+3=-i， i4n=1 实数a(b=0)2 数系的扩充：复数a+bi 纯虚数bi(a=0)虚数a+bi(b0)非纯虚数a+bi(a0)3 复数的定义： 形如a+bi(a，bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示 4 复数的代数形式: 通常用字
2、母z表示，即z=a+bi(a，bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 5 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a，bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a，bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0 6 复数集与其它数集之间的关系：N苘Z7 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a， a，bd，Q苘RC c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d 高中数学.复数 Page 1 of 16 二、复数的几何意义 1 复
3、平面、实轴、虚轴： b)是一一对应关系建立一一对应的关系点Z的横坐复数z=a+bi(a，bR)与有序实数对(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a，bR)可用点Z(a，示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 0)，它所确定的复数是2 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，z=0+0i=0表示是实数 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 3 复平面内的点Z(a，复数z=a+bib) 这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法 一一对应三、复数的四则运算 1 复数z1与z
4、2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 2 复数z1与z2的差的定义： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i 3 复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1 4 复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 5 乘法运算规则： 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数， 那么它们的积z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个
5、复数 6 乘法运算律： z1(z2z3)=(z1z2)z3 (z1z2)z3=z1(z2z3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 7 复数除法定义： 满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x、yR)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者a+bi c+di高中数学.复数 Page 2 of 16 8 除法运算规则： 设复数a+bi (a、bR)，除以c+di (c，dR)，其商为x+yi =-2+bi(i为虚数单位）1+iA2，5 B-3，1 C-11 D2，-D 计算：i0!+i1!+i2!+95+2i i4=1，而4|k!，故i0!+
6、i1!+i2!+ 3 2+i100!= +i100!=i+i+(-1)+(-1)+197=95+2i 设z=(2t2+5t-3)+(t2-2t+2)i，tR，则下列命题中一定正确的是 Az的对应点Z在第一象限 Bz的对应点Z在第四象限 Cz不是纯虚数 Dz是虚数 D t2-2t+2=(t-1)2+10 在下列命题中，正确命题的个数为 两个复数不能比较大小； 若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=1； z是虚数的一个充要条件是z+zR； 若a，b是两个相等的实数，则(a-b)+(a+b)i是纯虚数； zR的一个充要条件是z=z z=1的充要条件是z=A1 B 复数为实数时，可以
7、比较大小，错；x=-1时， (x2-1)+(x2+3x+2)i=0，错；z为实数时，也有z+zR，错；a=b=0时， (a-b)+(a+b)i=0，错；正确 2 复数的几何意义 复数z=1 zC3 D4 B2 m-2i在复平面上对应的点不可能位于 1+2i高中数学.复数 Page 4 of 16 A第一象限 A 由已知z=B第二象限 C第三象限 D第四象限 m-2i(m-2i)(1-2i)1=(m-4)-2(m+1)i在复平面对应点如果在第一象限，则1+2i(1+2i)(1-2i)5m-40，而此不等式组无解即在复平面上对应的点不可能位于第一象限 m+1053 若q，复数(cosq+sinq)
8、+(sinq-cosq)i在复平面内所对应的点在 44A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 B 53 结合正、余弦函数的图象知，当q，时，cosq+sinq0 44 如果复数z满足z+i+z-i=2，那么z+i+1的最小值是 A1 A 设复数z在复平面的对应点为Z，因为z+i+z-i=2， 所以点Z的集合是y轴上以Z1(0，1)、Z2(0，-1)为端点的线段 z+i+1表示线段Z1Z2上的点到点(-1，-1)到点(-1，-1)的距离此距离的最小值为点Z2(0，-1) B2 C2 D5 的距离，其距离为1 满足z=1及z+13=z-的复数z的集合是 2213131111i，-i B+i
9、，-i A-+2222222222231321+i，-i D+i，-i C22222222D 复数z表示的点在单位圆与直线x=相等，故轨迹为直线x= 已知复数(x-2)+yi(x，yR)的模为3，则131130与点，0的距离上，故选D 2y的最大值为_ xy 高中数学.复数 OPage 5 of 16 xC3 x-2+yi=3， (x-2)2+y2=3，故(x，y)在以C(2，0)为圆心，3为半径的圆上，y表示圆上的点(x，y)与x原点连线的斜率 如图，由平面几何知识，易知 复数z满足条件：2z+1=z-i，那么z对应的点的轨迹是 A圆 A A；设z=x+yi，则有(2x+1)+2yi=x+(
10、y-1)i，(2x+1)2+(2y)2=x2+(y-1)2， 化简得：x+215+y+=，故为圆 33922y的最大值为3 xB椭圆 C双曲线 D抛物线 z-z0的几何意义为点z到点z0的距离； z-z0=r(r0)中z所对应的点为以复数z0所对应的点为圆心，半径为r的圆上的点 z12 复数z1，z2满足z1z20，z1+z2=z1-z2，证明：20 z2 设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，由z1+z2=z1-z2知，以OZ1，OZ2为邻边的平z1z12行四边形为矩形，OZ1OZ2，故可设=ki(kR，k0)，所以2=k2i2=-k20 z2z2也可设z1=a+bi，z2=c+d
11、i，则由向量(a，b)与向量(c，d)垂直知ac+bd=0， z1a+bi(ac+bd)+(bc-ad)ibc-adz12z1=2i0，故2=z2成立，试求实数a的取值范围 1a-1， 2z1z2，x4+x2+1(x2+a)2， (1-2a)x2+(1-a2)0对xR恒成立 当1-2a=0，即a=1时，不等式恒成立； 21-2a01-1a当1-2a0时， 22-4(1-2a)(1-a)01综上，a-1， 2 关于x的方程x2+(2a-i)x-ai+1=0有实根，求实数a的取值范围 a=1 误：方程有实根，D=(2a-i)2-4(1-ai)=4a2-50 解得a55或a- 22析：判别式只能用来
12、判定实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的情况，而该方程中2a-i与1-ai并非实数 正：设x0是其实根，代入原方程变形为x02+2ax0+1-(a+x0)i=0，由复数相等的定义，得2x0+2ax0+1=0，解得a=1 x+a=00 设方程x2-2x+k=0的根分别为a，b，且a-b=22，求实数k的值 k=-1或k=3 若a，b为实数，则D=4-4k0且a-b=(a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4k=(22)2， 解得k=-1 若a，b为虚数，则D=4-4k0z2=z； z为纯虚数z20z+z=0(z0)； 2zz2对任意复数有z=z；z1z2=z1z2；z1z2=z1z
13、2，特别地有z2=(z)2；1=1；z=zz z2z2z=z，z=z=zzz1z2=z1z2，22zz1=1，z1-z2z1z2z2+z2 z2z2以上性质都可以通过复数的代数形式的具体计算进行证明 已知虚数w为1的一个立方根， 即满足w3=1，且w对应的点在第二象限，证明w=w2，并求1+w的值 +2+3与www1+w1112130；-+i 22 法一： 13x3-1=(x-1)(x2+x+1)=0，解得：x=1或x=-i 2213由题意知w=-+i，证明与计算略； 22法二： 由题意知w3=1，故有(w-1)(w2+w+1)=0w2+w+1=0 w 又实系数方程虚根成对出现，故x2+x+1
14、=0的两根为w，w3由韦达定理有ww=1w=w2 ww1w2+w+1+2+3=w2+w+1=0 3wwww1111+w1+w-w213=w=-+i 21+w-w221+w213w3n+1=w，w3n+2=w2(nZ)，1+w+w2=0可以快速计算一 利用w=-+i的性质：w3n=1，22些w相关的复数的幂的问题 高中数学.复数 Page 12 of 16 若a0+a1w+a2w2+a3w3+求证：a0+a3+a6+13+a2nw2n=022=a2+a5+a8+=a1+a4+a7+a2nw2n a0+a1w+a2w2+a3w3+ =(a0+a3w3+a6w6+=(a0+a3+a6+)+(a1w+
15、a4w4+a7w7+)+(a2w2+a5w5+a8w8+)w2=0 ) )+(a1+a4+a7+)w+(a2+a5+a8+设A=a0+a3+a6+，B=a1+a4+a7+，C=a2+a5+a8+， 1133-+i+C-则有A+Bw+Cw2=0，即A+B2222i=0， 2A-B-C=02，解得A=B=C，即a0+a3+a6+3(B-C)=02=a1+a4+a7+=a2+a5+a8+ 设z是虚数，w=z+1是实数，且-1w2 z求z的值及z的实部的取值范围； 设u=1-z，求证：u为纯虚数； 1+z求w-u2的最小值 11；z=1；z的实部的取值范围是-，1 2 设z=a+bi，a，bR，b0
16、则w=a+bi+1ab=a+2+b-i， a+bia+b2a2+b2因为w是实数，b0，所以a2+b2=1，即z=1 1于是w=2a，-1w=2a2，-a0， 2故w-u222(a+1)当a+1=1-3=4-3=1 a+11，即a=0时，w-u2取得最小值1 a+1nN 对任意一个非零复数z，定义集合Mz=w|w=z2n-1，设s是方程x+1=2的一个根，试用列举法表示集合Ms； x设复数wMz，求证：MwMz 2222(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)；Ms=略 2222 s是方程x+s1=1=2的根， x22(1-i)， (1+i)或s2=22(s12)nin222n-1=
17、 当s1=(1+i)时，s1=i，s1=s1s12i-1-i12222(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)， Ms1=，=222s1s1s1s12当s2=22=-i， (1-i)时，s222222M=(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)s2 22222222(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)； Ms=2222wMz，存在mN，使得w=z2m-1 于是对任意nN，w2n-1=z(2m-1)(2n-1) 由于(2m-1)(2n-1)是正奇数，w2n-1Mz，MwMz 已知复数z0=1-mi(m0)，z=x+yi和w=x+yi，其中x，y，x，y均为实数，
18、i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=z0z，w=2z 试求m的值，并分别写出x和y用x，y表示的关系式； 将(x，y)作为点P的坐标，(x，y)作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q当点P在直线y=x+1上移动高中数学.复数 Page 14 of 16 时， 试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； 是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由 x=x+3y；y=(2-3)x-23+2； y=3x-y这样的直线存在，其方程为y=3x或y=-3x 3 由题设，w=z
19、0z=z0z=2z，z0=2， 于是由1+m2=4，且m0，得m=3， x=x+3y因此由x+yi=(1-3i)(x+yi)=x+3y+(3x-y)i，得关系式 y=3x-yx=(1+3)x+3设点P(x， y)在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q(x，y)满足y=(3-1)x-1消去x，得y=(2-3)x-23+2，故点Q的轨迹方程为y=(2-3)x-23+2 假设存在这样的直线， 平行坐标轴的直线显然不满足条件，所求直线可设为y=kx+b(k0) 该直线上的任一点P(x，y)，其经变换后得到的点Q(x+3y，3x-y)仍在该直线上， 3x-y=k(x+3y)+b，即-(3k+1)y=(k
20、-3)x+b， -(3k+1)=1当b0时，方程组无解，故这样的直线不存在 k-3=k当b=0，由-(3k+1)k-33，得3k2+2k-3=0，解得k=或k=-3 =1k33x或y=-3x 3故这样的直线存在，其方程为y=课后检测 已知0a2，复数z的实部为a，虚部为1，则z的取值范围是 A(1，5) C B(1，3) C1，5 ()D1，3 () 高中数学.复数 Page 15 of 16 z=a2+1，而0a2，1z0，cotB-tanA=0 sinAcosBsinAcosBsinBcosA等于 B-1+3i C1-3i 5A1+3i 原式= D-1-3i 16(1+i)413(-2)5
21、-+22i1(2i)22=-=2w=-1+3i，选B 2221w3-+22i 已知复数z1，z2满足z1=z2=1，且z1-z2=2，求证：z1+z2=2 设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，由条件知z1-z2=2z1=2z2，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形为正方形，而z1+z2在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以z1+z2=2 设复数z1，z2满足z1z2+Az1+Az2=0，其中A=5，求z1+Az2+A的值 5 z1+Az2+A=z1+Az2+A=z1+Az2+A =(z1+A)(z2+A)=z1z2+Az1+Az2+AA， 把z1z2+Az1+Az2=0代入上式，得z1+Az2+A=AA=A=5 2 高中数学.复数 Page 16 of 16
