多元函数微分学习题.docx

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1、多元函数微分学习题第五部分 多元函数微分学 第 1 页 共 27 页 第五部分 多元函数微分学 选择题 容易题136，中等题3787，难题8899。 x+3y+2z+1=01设有直线L:及平面p:4x-2y+z-2=0，则直线L ( ) 2x-y-10z+3=0(A) 平行于p。 (B) 在上p。(C) 垂直于p。 (D) 与p斜交。 答：C xy,(x,y)(0,0)2二元函数f(x,y)=x2+y2在点(0,0)处 ( ) (x,y)=(0,0)0,(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在 (C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在 答：C x=u+vu=( )

2、3设函数u=u(x,y),v=v(x,y)由方程组确定，则当时，uv22xy=u+v(A) x-v-uy (B) (C) (D) u-vu-vu-vu-v答：B 4设f(x,y)是一二元函数，(x0,y0)是其定义域内的一点，则下列命题中一定正确的是( ) (A) 若f(x,y)在点(x0,y0)连续，则f(x,y)在点(x0,y0)可导。 (B) 若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)连续。 (C) 若f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导数都存在，则f(x,y)在点(x0,y0)可微。 (D) 若f(x,y)在点(x0,y0)可微，则f(x,

3、y)在点(x0,y0)连续。 答：D 5函数f(x,y,z)=(A) (,答：A 3+x2+y2+z2在点(1,-1,2)处的梯度是( ) 1-121-121-121-12,) (B) 2(,) (C) (,) (D) 2(,) 333333999999 1 第五部分 多元函数微分学 第 2 页 共 27 页 6函数z=f(x.y)在点(x0,y0)处具有两个偏导数fx(x0,y0),fy(x0,y0) 是函数存在全 微分的。 。 (A).偏导数不连续，则全微分必不存在 (B).偏导数连续，则全微分必存在 (C).全微分存在，则偏导数必连续 (D).全微分存在，而偏导数不一定存在 答B 8二元

4、函数z=f(x,y)在(x0,y0)处满足关系。 (A).可微 可导连续 (B).可微可导连续 (C).可微可导或可微连续，但可导不一定连续 (D).可导连续，但可导不一定可微 答C 9若fxx=x0y=y0=fyx=x0y=y0=0，则f(x,y)在(x0,y0)是 (A).连续但不可微 (B).连续但不一定可微 (C).可微但不一定连续 (D).不一定可微也不一定连续 答D 10设函数f(x,y)在点(x0,y0)处不连续，则f(x,y)在该点处 (A).必无定义 (B)极限必不存在 (C).偏导数必不存在 (D).全微分必不存在。 答D 11二元函数的几何图象一般是：( ) (A) 一条

5、曲线 2 第五部分 多元函数微分学 第 3 页 共 27 页 (B) 一个曲面 (C) 一个平面区域 (D) 一个空间区域 答 B 12函数z=arcsin122x2+y2+1-x-y的定义域为( ) (A) 空集 (B) 圆域 (C) 圆周 (D) 一个点 答 C 13设u=f(x2+y2-z2),则ux=( ) (A) 2xf (B) 2xuf (C) 2xf(x2+y2-z2) (D) 2xu(x2+y2-z2) 答 A 3 第五部分 多元函数微分学 第 4 页 共 27 页 xy214lim=( ) (x,y)(0,0)x3+y3(A) 存在且等于0。 (B) 存在且等于1。 (C)

6、存在且等于-1 (D) 不存在。 15指出偏导数的正确表达( ) (A) fx(a,b)=limf(a+h,b+k)-f(a,b)h+k22h,k0(B) fx(0,)=limx0f(x,0) x(C) fy(0,y)=limDy0f(0,y+Dy)-f(0,y)Dy(D) fx(x,0)=limx0f(x,y)-f(x,0)x答 C 16设f(x,y)=ln(x-2ln(x-答案A 17函数f(x,y)=sin(x+y)在点(0,0)处 无定义； 无极限； 有极限，但不连续； 连续. 答案D 18函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)间断，则 函数在点P0处一定无定义； 2x2-y2)

7、，则f(x+y,x-y)=. 1ln(x-y)；(lnx-lny)；2ln(x-y). y)；2 4 第五部分 多元函数微分学 第 5 页 共 27 页 函数在点P0处极限一定不存在； 函数在点P0处可能有定义，也可能有极限； 函数在点P0处有定义，也有极限，但极限值不等于该点的函数值. 答案C 19设函数u=u(x,y)，v=v(x,y)由方程组x=u+v22确定，uv，则 y=u+vu= xx-v； ； u-vu-v-uxy； . u-vu-v 答案B 20u=3+x2+y2+z2在点M0(1,-1,2)处的梯度gradu= 112224,)； (,-,)； 999999112224(,-

8、,)； (,-,). 333333(,- 答案C 21设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，且fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，则 函数f(x,y)在(x0,y0)处 必有极值，可能是极大，也可能是极小； 可能有极值，也可能无极值； 必有极大值； 必有极小值. 答案B 22设z= (A) 0 (B) 不存在 (C) -1 5 xy,则zx=( ) (0,0)第五部分 多元函数微分学 第 6 页 共 27 页 (D) 1 答 A。 23设z=ysin(xy)+(1-y)arctanx+e-2y,则z=( ) x(1,0) (A) 32 (B) 12 (c) p4 (D)

9、0 答 B。 24设x+z=yf(x2-z2),则zzx+yzy=( ) (A) x (B) y (C) z (D) yf(x2-z2) 答 A 25设f(y,z)=0,确定z=z(x,y)则xzzxxx+yy=( ) (A) -z (B) z (C) -y (D) y 答B 26已知x+y-z=ex,xex=tant,y=cost,则dzdt=( ) t=0(A) 12 (B) -12(C) 1 6 第五部分 多元函数微分学 第 7 页 共 27 页 (D) 0 答D 27设z=z(x,y)由方程e-xy2z-2z+e=0确定,则=( ) zx2(A) -y2e-xyez-2(B) -y2e

10、-xy(ez-2)-ye-xyez(ez-2)2 -y2e-xy(ez-2)+y2e-2xy+z(C) (ez-2)2 -y2e-xy(ez-2)2-y2e-2xy+z(D) (ez-2)3 答 D 28设z=f(x,u),u=xy,则2zx2=( ) (A) 2f2fx2+u2y2 (B) 2f2f2f2x2+xyy+u2y 2f2f2(C) f2x2+2xyy+u2y 2f2(D) f2fx2+xyy+u2 答 C 29设z=f(u,v),u=x2+y2,v=x2-y2,则2zxy=( ) 2(A) 2xffu2+v 2x2f2(B)fu2+v2 7 第五部分 多元函数微分学 第 8 页

11、共 27 页 2f2f(C) 2xu2-v2 2f2f(D) 4xyu2-v2 答 D 30下列做法正确的是( ) (A) .设方程z2=x2+y2+a2,Fx=2zzx-2x,Fz=2z,代入zx=-Fxx=,得z. x2zFz(B) 设方程z2=x2+y2+a2,Fx=-2x,Fz=2z,代入zx=-Fxx,得z. x=zFz(C) 求z=x2+y2平行于平面2x+2y-z=0的切平面,因为曲面法向量 n=(2x,2y,-1)/(2,2,-1),2x2y-1=,x=1,y=1,z=-1 22-1 切平面方程为2(x-1)+2(y-1)-(z+1)=0. (D) 求xyz=8平行于平面x+y

12、+z=1的切平面,因为曲面法向量 n=(yz,xz,xy)/(1,1,1),yzxzxy=,x=y=z=1 111 切平面方程为(x-1)+(y-1)+(z-1)=0 答 B 31设M(x,y,z)为平面x+y+z=1上的点,且该点到两定点(1,0,1),(2,0,1)的距离平方之 和 为最小,则此点的坐标为( ) 11,) 2211(B) (1,-,) 2211(C) (1,-,-) 2211(D) (1,-) 22(A) (1,答 B 32若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)可微，则在该点 8 第五部分 多元函数微分学 第 9 页 共 27 页 (A)ff与一定存在。 x (B) ff

13、与一定连续。 xy (C) 函数沿任一方向的方向导数都存在，反之亦真。 (D) 函数不一定连续。 答A章纪 33在矩形域D:x-x0d,y-y00)，在其上任意点(x0,y0,z0)处的切平面方程 111(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0，则切平面在三坐轴走上的 2x02y02z0 截距之和为 (A)a (B). 3a (C).a (D). 3a 答：(C) 52指出f(x,y)=2xy与不相同的函数( ) x2+y2(A) x2-y2 f1(x+y,x-y)=22x+yx2-y2222,x+y0(B) f2(x+y,x-y)=x+y2 0,x2+y2=0u2-v2(C) f3(u+

14、v,u-v)=2 u+v2 12 第五部分 多元函数微分学 第 13 页 共 27 页 2u2-2uv(D) f4(u,u-v)= 222u-2uv+v答 B 53指出错误的结论：( ) sin(x2+y2)x2+y2(A) 按等价无穷小的替换原则，有lim=lim2=0 222x,y0x,y0x+yx+yxy1=lim=0， x,y0x+yx,y011+yx(B) 按无穷大量与无穷小量的关系，有lim因当x,y0时， 11,。 xy1x+y(C) 按变量代换的方法，有limxy=lim(1+t)t=1， x,y0ee-1x,y0此处t=ee-1。 xy(D) 按根式有理化方法，有lim1-1

15、-xy11=lim=。 x,y0x,y0xy1+1-xy2答 B 54以下各点都是想说明limf(x,y)不存在的，试问其理由是否正确？( ) x,y0(A) 对f(x,y)=xy，理由是y=-x时函数无定义。 x+yxy,y-x,理由是令y=x2或x2-x将得到不同的极限值0,-1。(B) 对f(x,y)=x+y 0,y=-x 13 第五部分 多元函数微分学 第 14 页 共 27 页 y,x0,理由是令y=1-x，即知极限不存在。 (C) 对f(x,y)=x0,x=011xsin+ysin,xy0,理由是当x0或y0时极限已经不存(D) 对f(x,y)=yx0,xy=0在，故二重极限更不可

16、能存在了。 答 B 55在具备可微性的条件下，等式 d(u+v)=du+dv, d(lu)=ldu, d(uv)=udv+vdu, d=( ) uv1(vdu-udv)的成立，对u,v还有什麽限制？v2(A) 没什麽限制。 (B) u,v 只能是自变量。 (C) u,v是自变量或某自变量的一元函数。 (D) u,v是自变量或某自变量的一次函数。 答 A 56对二元函数而言，指出下列结论中的错误。( ) (A) 两个偏导数连续任一方向导数存在。 (B) 可微任一方向导数存在。 (C) 可微连续。 (D) 任一方向导数存在函数连续。 14 第五部分 多元函数微分学 第 15 页 共 27 页 答

17、D 57设F(x,y,z)=0满足隐函数定理的条件，问xyz如何？( ) yzx(A) 该式=xyz=1 yzxFyFzFxFxFz(B) 该式=(-)(-)(-)=-=-1 FxFyFzFxFyFz(C) 因为一个方程F(x,y,z)=0可以确定一个函数，不妨设z为函数，另两个变量x,yFy则为自变量，于是x=0，故所给表达式为0。 yy无意义,故所给表达式无z(D) 仿(C)不妨设由F(x,y,z)=0确定z为x,y的函数,因意义。 答 B 58设F(x,y,z)=0，试求对x的导数。( ) G(x,y,z)=0Fx。 Fz(A) 由第一个方程两边对x求导，得Fx+Fzzx=0，故zx=-

18、(B) 由第二个方程两边对x求导，同理得zx=-Gx。 GzHx. Hz(C) 由两个方程消去y得H(x,z)=0，再对x求导，得Hx+Hzz=0故z=-Fx+Fyy+Fzz=0(D) 视y,z为x的函数，在方程组两边对x求导，得，故解出G+Gy+Gz=0yzx15 第五部分 多元函数微分学 第 16 页 共 27 页 z=FxGy-FyGxFyGz-FzG。 y答 D 59设y=f(x,t)，则由F(x,y,t)=0两边对x求导的结果为：( ) (A) Fx+Fyy+Ftt=0,其中y=dydx,t=dtdx。 (B) Fx+Fyy+Ft(tx+tyy)=0。 (C) Fx+Fy(fx+ft

19、tx)+Fttx=0。 (D) Fx+Fy(fx+fttx)+Ft(tx+tyy)=0。 答 A 60limx+y=yx2-xy+y2 x1； 0； -1； 不存在. 答案： xy261设函数f(x,y)=x2+y4,(x,y)(0,0) ，则 0,(x,y)=(0,0)极限limxf(x,y)存在，但f(x,y)在点(0,0)处不连续； y00极限limxf(x,y)存在，且f(x,y)在点(0,0)处连续； y00极限limxf(x,y)不存在，故f(x,y)在点(0,0)处不连续； y00极限limxf(x,y)不存在，但f(x,y)在点(0y,0)处连续. 00 答案： 62设m,M分

20、别为函数z=f(x,y)在区域D上的最小值和最大值，且mmM，则 第五部分 多元函数微分学 第 17 页 共 27 页 函数z=f(x,y)在定义域D内一定有点P(x,y)，使满足：f(P)=m； 当D为闭区域，f(x,y)为连续函数时，则在D上至少有一点P(x,y)，使 f(P)=m； 当D为有界区域，f(x,y)为连续函数时，则z=f(x,y)在D上至少有一点 P(x,y)，使f(P)=m； 当D为连通区域，f(x,y)为D上的连续函数时，则z=f(x,y)在D上至少有一点 P(x,y)，使f(P)=m. 答案： 63函数f(x,y)在点(x0,y0)偏导数存在是f(x,y)在该点连续的

21、充分条件但不是必要条件； 必要条件但不是充分条件； 充分必要条件； 既不是充分条件也不是必要条件. 答案： 64二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)处满足关系 可微可导连续； 可微可导连续； 可微可导，或可微连续，但可导不一定连续； 可导连续，但可导不一定可微. 答案： 65若fxx=x0y=y0=0，fyx=x0y=y0=0，则f(x,y)在(x0,y0)是 连续且可微； 连续但不一定可微； 可微但不一定连续； 不一定可微也不一定连续. 答案： 17 第五部分 多元函数微分学 第 18 页 共 27 页 sin(x2y),xy0,66设f(x,y)= 则fx(0,1)= xyx,xy=0

22、,0； 1； 2； 不存在. 答案： 67二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是f(x,y) 在该点连续的 充分条件而非必要条件； 必要条件而非充分条件； 充分必要条件； 既非充分条件又非必要条件. 答案： 68已知(x+ay)dx+ydy为某函数的全微分，则a= 2(x+y)-1； 0； 1； 2. 答案： 69下列命题中正确的是( ) (A)limlimf(x,y)与xx0yy0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)等价 limf(x,y)必定存在. (B) 函数在点(x0,y0)连续,则极限 (C) (x,y)(x0,y0)f

23、x与p0fy都存在,则f(x,y)在点(x0,y0)必连续 p0 (D)f(x,y)在p0点沿任何方向u的方向导数存在,则f(x,y)在点(x0,y0)必连续 答 B 70如f(x,y)在点(x0,y0)不可微, 则一定不成立的是( ) (A)f(x,y)在p0点不连续 (B)f(x,y)在p0点沿任何方向u的方向导数不存在 18 第五部分 多元函数微分学 第 19 页 共 27 页 (C)f(x,y)在p0点两个偏导数都存在且连续 (D)f(x,y)在p0点两个偏导数存在且至少有一个不连续 答 C 71下列条件中 ( ) 成立时, f(x,y)在(x0,y0)点必有全微分df=0 (A) 在

24、点(x0,y0)两个偏导数fx=0,fy=0 (B)f(x,y)在点(x0,y0)的全增量Df1=DxDyDx+Dy22, (C)f(x,y)在点(x0,y0)的全增量Df2=sin(Dx2+Dy2)Dx+Dy2222 (D) f(x,y)在点(x0,y0)的全增量Df3=(Dx+Dy)sin 答 D 72下列结论中正确的是( ) 1Dx2+Dy2(A) 设z=f(u,v),u=j(x,y),v=y(x,y),如j,y在点(x0,y0)存在偏导,f 在点 (u0,v0)存在偏导,则zz=fuu+fv,=fuuxvxy+fvvy一定成立. xy (B) fxy,fyx只要存在,必有fxy=fyx

25、 (C) 偏导数只要存在必定连续 (D) 初等函数在有定义的点必定连续 答 D 73设f(x,y)=xy,则在(0,0)点( ) (A) 连续,但偏导数不存在. (B) 偏导数存在,但不可微 (C) 可微 (D) 偏导数连续,但不可微 答 B 19 第五部分 多元函数微分学 第 20 页 共 27 页 2xy274f(x,y)=x2+y40(x,y)(0,0)(x,y)=0, 则在(0,0)点( ) (A) 不连续,偏导数存在且可微 (B) 连续,偏导数存在,但不可微 (C) 沿任何方向v=(cosq,sinJ)的方向导数存在,且可微 (D) 不连续,但沿任何方向v=(cosq,sinJ)的方

26、向导数存在,并且不可微 答 D 75设z=f(x,y)在(1,1)点可微,f(1,1)=1,f(1,1)f(1,1)=a,=b,又有 xy=( ) j(x)=f(x,f(x,f(x,x),则(A) 2(a+ab+ab2+b3). (B) a+ab+ab+b (C) a+ab+2a (D) a+ab+ab+a 答 A 23323d2j(x)dxx=176下列极限中存在的是( ) (A) limy0(1-x)yx0x+yx2y(B) lim4 x0x+y2y0x2y(C) lim2 x0x+y2y0(D) limx0y0xy 22x+y 答 C xz77设j(x,y,z)=xy+zlny+e-1,

27、x0=(0,1,1),有j(0,1,1)=0,下列结论中正确的是20 第五部分 多元函数微分学 第 21 页 共 27 页 ( ) (A) 方程j(x,y,z)=0在点x0邻域内不能确定隐函数x=f(y,z) (B) 方程j(x,y,z)=0在点x0邻域内不能确定隐函数y=g(x,z) (C) 方程j(x,y,z)=0在点x0邻域内不能确定隐函数z=h(x,y) (D) 以上均不正确 答 C 78若函数u=u(x,y)为可微函数，且满足 u(x,y)y=x2=1,ux(x,y)y=x2=x, 则当x0时，ux(x,y)y=x2=( ) (A) 1 (B) - 答B 11 (C) (D) -1

28、22sinxf(t)dt=( ) xcosy79设函数f(x)在-1，1上连续，则(A)f(sinx)-f(cosy) (B) f(sinx)cosx+f(cosy)siny (C) f(sinx)cosx (D) f(cosy)siny 答C 80设x2+y2+z2=2，则zy=( ) (2,0,0)(A) -1,0 (B)-1,不存在 (C)1，0 (D) 不存在，0 答C 81当l=( )时，由方程y-x-lsiny=0总能确定y=y(x)，且y(x)就具有连续导函数 (A) l0 (D)l0 答A 282在( )条件下，由方程z=x+yj(z) 所确定的函数z=z(x,y)满足方程 z

29、z=j(z2) yx 21 第五部分 多元函数微分学 第 22 页 共 27 页 (A)j(z2)连续 (B) j(z2)可微 (C) j(z2)可微且j(z2)0 (D) j(z2)可微且2yzj(z2)1 答D 83已知曲面z=4-x2-y2上点P的切平面2x+2y+z=0，则点P的坐标是( ) (A ) (1,-1,2) (B) (-1,1,-2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2) 答C 84曲面z=f(x,y)在(x0,-y0)的切平面方程是( ) (A)z=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0) (B) z=f(x0,-y0

30、)-fx(x0,-y0)(x-x0)-fy(x0,y0)(y+y0) (C) z=f(x0,-y0)+fx(x0,-y0)(x-x0)+fy(x0,-y0)(y+y0) (D) z=f(x0,-y0)+fx(x0,-y0)(x-x0)+fy(x0,-y0)(y-y0) 答C 85若函数f(x,y)在点(x,y)的某个邻域内具有连续的偏导数，则函数在该点沿 rrrr e=cojsi+sijnj的方向导数为( ) (A)gradf(x,y)e (B)gradf(x,y)e (C)gradf(x,y)cosj (D)gradf(x,y)sinj 答B rr86若函数u(x,y),v(x,y)点(x,

31、y)的某个邻域内具有连续的偏导数，则在该点梯 度grad(uv)=( ) (A)ugradv (B)vgradu (C)gradugradv (D)vgradu+ugradv 答C 87若函数f(x,y)在区域D内连续，关于极值的陈述( )是正确的 22 第五部分 多元函数微分学 第 23 页 共 27 页 (A)f(x,y)在偏导数不存在的点也可能取到极值 (B)若f(x,y)在D内有唯一驻点，则f(x,y)至多有一极值点 (C) 若函数f(x,y)有两个极值点，则其中之一必为极大值点，另一个必为极小值点 (D)在驻点(x0,y0)处，若fxy(x0,y0) (x0,y0)不 为极值点 答 A 2-fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)0，则 88下列命题中错误的是( ) (A) 若f(x)在a,b上可导，且存在唯一的极小值点M0，则f(M0)必是f(x)在a