如何求数列通项公式.docx

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1、如何求数列通项公式如何求数列通项公式 一、累加法：利用an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f(n)的递推数列通项公式的基本方法. 例1 已知数列an满足an+1=an+2n+1，a1=1，求数列an的通项公式。 解：由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+1+2(n-2)+1+L+(22+1)+(21+1)+1=2(n-1)+(n-2)+L+2+1+(n-1)+1=2(n-1)n22+(n-1)+1所以数列

2、an的通项公式为an=n2。 =(n-1)(n+1)+1=n评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+1，进而利用逐差求和法求得数列an的通项公式。 n例2 已知数列an满足an+1=an+23+1，a1=3，求数列an的通项公式。 nn解：由an+1=an+23+1得an+1-an=23+1则 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+L+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=(23=2(3=2n-1+1)+(23n-2n-22+1)+L+(23+1)+(23+1)+31n所以an=3+n-1. 21n-1+3+L+3+3)+(n-1)+3

3、+(n-1)+33(1-3nnn-1)1-3=3-3+n-1+3=3+n-1nn评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+23+1转化为an+1-an=23+1， n例3 已知数列an满足an+1=3an+23+1，a1=3，求数列an的通项公式。 解：an+1=3an+23n+1两边除以3n+1，得an3nan+13n+1=an3n+23+13n+1，则an+13n+1-an3n=23+13n+1，故 =(=(=an323n-an-1an-11n)+(2313nan-1an-11313n-an-23n-2)+(+an-231n-2-an-33)+L+(n-323+13a232-a13

4、)+1a13+3)+(+(+)+(n-1+132333n-2)+L+(+L+132)+233因此2(n-1)31n-2n-1)+11an3n=2(n-1)3+3n(1-31-3n-1)+1=2n3+12-123n，则an=23n3+n123-an3nn1223. 13n+1评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=3an+23n+1转化为和法求得数列an的通项公式，最后再求数列an的通项公式。 n3a2a3a1a2anan-1an+13n+1-=+，进而利用逐差求二、累乘法:利用恒等式an=a1(an0,n2)求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: an+1=g(n)an的递推数列通项

5、公式的基本方法(数列g(n)可求前n项积). 例4 已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*),求数列an通项公式. ： Qan=n(an+1-an),an+1an=n+1n,an=a1a2a3a1a2anan-123n=1=n(an0,n2)且12n-1当n=1时a1=1，满足an=n，an=n. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an+1=g(n)an. n例5 已知数列an满足an+1=2(n+1)5an，a1=3，求数列an的通项公式。 n解：因为an+1=2(n+1)5an，a1=3，所以an0，则an+1an=2(n+1)5，故nan=anan-1n-1an

6、-1an-2La3a2a2a1a1n-2=2(n-1+1)5=2n-12(n-2+1)5L2(2+1)52(1+1)53所以数列an的通项公式为 321n(n-1)L325n(n-1)n-1(n-1)+(n-2)+L+2+1=3252n!n(n-1)an=32n-152n!. 评注：本题解题的关键是把递推关系an+1=2(n+1)5nan转化为an+1ann=2(n+1)5，进而求出anan-1an-2an-1La3a2a1，即得数列an的通项公式。 a2a1例6已知数列an满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1(n2)，求an的通项公式。 解：因为an=a1+2a2

7、+3a3+L+(n-1)an-1(n2) 所以an+1=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1+nan 用式式得an+1-an=nan. anan-1a3a2n!2则an+1=(n+1)an(n2) 故an+1an所以an=n+1(n2 ) an-1an-2La2a2. (3)=n(n-1)L43a2=取n=2得a2=a1+2a2，由an=a1+2a2+3a3+L+(n-1)an-1(n2)，则a2=a1，又知a1=1，则a2=1，代入得an=1345Ln=n!2。所以，an的通项公式为an=n!2. 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=(n+1)an(n2)转化为anan-1a

8、3a2an+1an=n+1(n2)，进而求出an-1an-2La2，从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列an的通项公式。 三、构造新数列: 将递推公式an+1=qan+d通过(an+1+x)=q(an+x)与原递推公式恒等变成an+1+dq-1=q(an+dq-1)的方法叫构造新数列. 例7 已知数列an中, a1=1,an=2an-1+1(n2),求an的通项公式. :利用(an+x)=2(an-1+x),求得an+1=2(an-1+1),an+1是首项为 a1+1=2,公比为2的等比数列,即an+1=2,an=2-1 nn反思:.构造新数列的实质是通过(an+1+x)=q(an+

9、x)来构造一个我们所熟知的等差或等比数列. 四、公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有an=Sn-Sn-1(n2)，等差数列或等比数列的通项公式。 例8 已知无穷数列an的前n项和为Sn，并且an+Sn=1(nN*)，求an的通项公式？ ：Q Sn=1-an， an+1=Sn+1-Sn=an-an+1， an+11=an，又a1=， an=. 22211n反思：利用相关数列an与Sn的关系：a1=S1,an=Sn-Sn-1(n2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 例9 已知数列an满足an+1=2an+32n，a1=2，求数列an的通项公式。 解：an+1

10、=2an+32n两边除以2n+1，得首项，以3232an+12n+1=an2n+32，则an+12n+1-an2n=32，故数列32an2是以na121=22=1为为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得12)2。 nan2n=1+(n-1)，所以数列an的通项公式为an=(n-n评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+32转化为an+12n+1-an2n=32，说明数列an2n是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出canan+dan2n=1+(n-1)32，进而求出数列an的通项公式。 1an+1=d1can+1c六 倒数变换：将递推数列an+1=变换. (c0d,0,取

11、倒数变成) 的形式的方法叫倒数例10 已知数列an(nN*)中, a1=1,an+1=an2an+11,求数列an的通项公式. :将an+1=1anan2an+1取倒数得: 1an+1=2+an,Q1an+1-11=2,是以=1为首项,公差ana1an1为2的等差数列. =1+2(n-1),an=12n-1. 反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了. 四、待定系数法 n例7 已知数列an满足an+1=2an+35，a1=6，求数列an的通项公式。 n+1nn解：设an+1+x5=2(an+x5) 将an+1=2an+35代入式，得2an+35

12、+xn5=n+1a2+nx2n52an，得35+x5=x2，等式两边消去n+1nn+15，两边除以5，得nnan+1-53+5x=2x则,x=-代入式得1,=2a(n-n5 ) 由a1-51=6-5=1及式得0 an-50，则nan+1-5an-5n+1n=2，则数列an-5是以a1-5=1为首项，以2为公比的等比数列，则n1an-5=2nn-1，故an=2n-1+5n。 评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+35n转化为an+1-5n+1=2(an-5n)，从而可知数列an-5是等比数列，进而求出数列an-5的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。 nn例8 已知数列an满足

13、an+1=3an+52n+4，a1=1，求数列an的通项公式。 n解：设an+1+x2n+1+y=3(an+x2n+y) 将an+1=3an+52+代入式，得 43an+52+4+x2nn+1+y=3(an+x2+y) 整理得(5+2x)nn2+4y=x3n+2y。3 令5+2x=3x4+y=3y，则x=5y=2n+1，代入式得 an+1+52+2=3an(+5n+2 2) 由a1+52+2=1+12=130及式， 得an+52+20，则1nan+1+52n+1n+2an+52+2=3， n1故数列an+52+2是以a1+52+2=1+12=13为首项，以3为公比的等比数列，因此an+52+2

14、=133nn-1n-1n，则an=133-52-2。 nn+1n评注：本题解题的关键是把递推关系式an+1=3an+52+4转化为an+1+52+2=3(an+52+2)，nn从而可知数列an+52+2是等比数列，进而求出数列an+52+2的通项公式，最后再求数列an的通项公式。 2例9 已知数列an满足an+1=2an+3n+4n+5，a1=1，求数列an的通项公式。 22解：设an+1+x(n+1)+y(n+1)+z=2(an+xn+yn+z) 2222将an+1=2an+3n+4n+5代入式，得2an+3n+4n+5+x(n+1)+y(n+1)+z=2(an+xn+yn+z)，22则2a

15、n+(3+x)n+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2an+2xn+2yn+2z 等式两边消去2an，得(3+x)n+(2x+y+4)n+(x+y+z+5)=2xn+2yn+2z， 223+x=2xx=3解方程组2x+y+4=2y，则y=10，代入式，得 x+y+z+5=2zz=18an+1+3(n+1)+10(n+1)+18=2(an+3n+10n+18) 由a1+31+101+18=1+31=2223及20式，得an+3n+10n+18则022an+1+3(n+1)+10n(+an+3n+10n+18221+)182=2，故数列an+3n+10n+1为以82n-12为公比的等比数列，

16、因此an+3n+10n+18=322a1+31+101+18=1+31=为首项，以32则an=2n+4-3n2-10n-18。 ，评注：解题的关键是把递推关系式an+1=2an+3n2+4n+5转化为an+1+3(n+1)2+10(n+1)+18=2(an+3n2+10n+18)，从而可知数列an+3n2+10n+18是等比数列，进而求出数列an+3n2+10n+18的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。 12跟踪训练1.已知a1=,an+11*=an+(nN),求数列an通项公式. 2n跟踪训练2.已知数列an满足a1=1,且an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2).则an

17、的通项公式是. n-1跟踪训练3.已知数列中, a1=1,an=3+an-1(n2)求数列an的通项公式. 跟踪训练4.已知数列an的前n项和Sn，满足关系lg跟踪训练5.已知数列an中, ,an+1=2anan+2(Sn+1)=n(n=1,2).试证数列an是等比数列. ,求数列an的通项公式. 跟踪训练6.设an是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列an的通项公式. 答案 跟踪训练1.解：由已知an+1n-1111-an=,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=+ 222n21 +21=-223n

18、-1. 跟踪训练2.解：n2时, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,an+1=a1+2a2+(n-1)an-1+nan 作差得: an+1-an=nan,an+1an=n+1,a3a2=3,a4a3=4,anan-1=n 跟踪训练3. an=3-12nn-1跟踪训练4.证明：由已知可得：Sn=10n-1，当n2时an=Sn-Sn-1=9(10)满足上式. an的通项公式an=9(10)2n+1n-1，n=1时，a1=S1=9 ,n2时anan-1=10为常数,所以an为等比数列. 跟踪训练5. an=跟踪训练6.解:由已知可求a1=1,a2=3,a3=5,猜测an=2n-1.(用

19、数学归纳法证明). 1 n=1. =345n,a2=1,an=(n2),an=n!2a2 n22ann! 五、对数变换法 n5例10 已知数列an满足an+1=23an，a1=7，求数列an的通项公式。 n5n5解：因为an+1=23an，a1=7，所以an0，an+10。在an+1=23an式两边取常用对数得lgan+1=5lgan+nlg3+lg2 (+1+)y= 设lgan+1+xn5a(nl+gxn+y )11 将式代入11式，得5lgan+nlg3+lg2+x(n+1)+y=5(lgan+xn+y)，两边消去5lgan并整理，得(lg3+x)n+x+y+lg2=5xn+5y，则 lg

20、3x=lg3+x=5x4，故lg3x+y+lg2=5yy=16+lg24代入11式，得lgan+1+由lga1+lg341+lg316lg34(n+1)+lg316lg34+lg24=5(lgan+lg316lg24lg34n+lg316+lg24) 12 +lg24=lg7+1+0及12式， 得lgan+lg34n+lg316+lg24lgan+1+0，则lg3lgan+4lg34(n+1)+n+lg316+lg24=5， lg316lg24所以数列lgan+lgan+lg34n+lg34+n+lg24lg316+lg24是以lg7+lg316+lg34lg24+)5lg316n-1+lg2

21、4为首项，以5为公比的等比数列，则lg316=(lg7+lg34，因此lgan=(lg7+lg341+lg316+1lg24)5n-1-lg34n-nlg36-lg24111n-1nn-1=(lg7+lg34+lg36+lg24)511161-lg34-lg316-lg241161=lg(733142)514-lg(33n142)145n-4n-15n-1-11则an=75n-131624。 =lg(73431624)55n-1n-1-lg(3431624)5n-1-n5n-1-1-1=lg(7=lg(75n-13343165n-12-144)5n-4n-15n-1162)5评注：本题解题的关

22、键是通过对数变换把递推关系式an+1=23nan转化为lgan+1+lgan+lg34lg34(n+1)+n+lg316+lg316lg24+lg24=5(lgan+lg34n+lg316+lg24)，从而可知数列lg34n+lg316+lg24的通项公式，最后再求是等比数列，进而求出数列lgan+出数列an的通项公式。 六、迭代法 例11 已知数列an满足an+1=an解：因为an+1=an23(n+1)2n3(n+1)2n，a1=5，求数列an的通项公式。 3(n-1)2n-2，所以an=an-13n2n-1=an-23n2n-1=a3(n-1)n2n-23(n-2)2n-33(n-2)+

23、(n-1)=a=an-33(n-1)n22(n-2)+(n-1)3(n-2)(n-1)n2n-3(n-3)+(n-2)+(n-1)=L=a=a3131n-123LL(n-2)(n-1)n2n(n-1)1+2+LL+(n-3)+(n-2)+(n-1)n-1n!22n(n-1)又a1=5，所以数列an的通项公式为an=53n-1n!22。 3(n+1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an+1=an两边取常用对n数得lgan+1=3(n+1)2lgann，即lgan+1lgan=3(n+1)2n，再由累乘法可推知lgan=lganlgan-1lgan-2lgan

24、-1n-1lga3lga23n!2Llga1=lg5lga2lga1n(n-1)2，从而an=53n-1n!2n(n-1)2。 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二 已知数列an中，a1=1，an=2an-1+1n(2，求数列)an的通项公式. ：Qa1=1，an=2an-1+1(n2)，a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7 n猜测an=2-1(nN*)，再用数学归纳法证明. 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 8(n+1)(2n+1)(2n+3)2例1

25、2 已知数列an满足an+1=an+，a1=289，求数列an的通项公式。 解：由an+1=an+8(n+1)(2n+1)(2n+3)8(1+1)22及a1=89，得 a2=a1+a3=a2+a4=a3+(21+1)(21+3)8(2+1)222=89+242582925+=2425=48498081(22+1)(22+3)8(3+1)(23+1)(23+3)22=83254984498148492由此可猜测an=(2n+1)-1(2n+1)22，往下用数学归纳法证明这个结论。 当n=1时，a1=(21+1)-1(21+1)22=89，所以等式成立。 假设当n=k时等式成立，即ak=(2k+1

26、)-1(2k+1)22，则当n=k+1时，ak+1=ak+8(k+1)(2k+1)(2k+3)22=(2k+1)-1(2k+1)222+8(k+1)(2k+1)(2k+3)222222=(2k+1)-1(2k+3)+8(k+1)(2k+1)(2k+3)222=(2k+1)(2k+3)-(2k+3)+8(k+1)(2k+1)(2k+3)222222=(2k+1)(2k+3)-(2k+1)(2k+1)(2k+3)(2k+3)-1(2k+3)222=2(k+1)+1-12(k+1)+12由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据，可知，等式对任何nN*都成立。 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系

27、式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 例13 已知数列an满足an+1=解：令bn=1+24an，则an=代入an+1=116(1+4an+116124(1+4an+1+24an)，a1=1，求数列an的通项公式。 124116(bn-1)故an+1=1242(bn+1-1)， 12421+24an)得(bn+1-1)=21+4(bn-1)+bn即4bn+1=(bn+3) 1232222因为bn=1+24an0，故bn+1=1+24an+10则2bn+1=bn+3，即bn+1=可化为bn+1-3=12(bn-3)，所以bn-3是以b1-3=1n-1bn+， 121+24a1-3=1+241-3=2为首项，以为公比的等比数列，因此bn-3=221n-21n-2=+3， ，则bn=22即1+24an=21n-2+3，得an=21n1n1+。 342312bn+32评注：本题解题的关键是通过将1+24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn+1=形式，从而可知数列bn-3为等比数列，进而求出数列bn-3的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。