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1、本科毕业论文题目： 武汉大学近十年量子力学 部分考研真题的分类解析 学院： 班级： 姓名： 指导教师： 职称： 完成日期： 年 月 日武汉大学近十年量子力学部分考研真题的分类解析摘要: 量子力学是大学物理学本科学生的必修课，同时它也是国内许多知名高校的物理学研究生入学考试的必考科目。本文将武汉大学2002年2011年的非相对论量子力学考研真题分八大类透析，给出了标准解法。并在此基础上提炼出解题模型，提高了运用量子力学的理论解决问题的能力。关键词: 量子力学；考研真题；模型目 录1 真题的分类解析41.1.1阶梯势垒的散射41.1.2 势的散射51.2一维束缚定态问题61.2.1无限深势阱求解6
2、1.2.2 势求解61.2.3 初值问题求解81.2.4傅立叶变换的应用91.3 三维束缚态问题101.3.1 无限深球方势阱基态求法101.3.2 盒子势求解121.4 两个角动量算符有关题目求解121.4.1 轨道角动量算符121.4.2 自旋角动量算符141.6 表象理论相关习题求解171.7 近似理论的应用191.7.1 非简并定态微扰191.7.2 简并定态微扰201.7.3变分法212 重要解题模型232.2势模型23 2.3盒子势模型242.4中心力场模型242.5平面转子模型243 总结24前言：量子力学1 真题的分类解析在该部分，给出了真题的分类求解，并根据笔者学习量子力学时
3、学习的深度排序。同时为了丰富文章的内容又加入一部分其他习题。该篇是本文的重点和主体。 1.1一维散射问题1.1.1阶梯势垒的散射例题1.1（2002年）粒子以能量E由左向右对阶梯势垒 入射，求透射系数。讨论如下三种情况：图1粒子入射示意图 ； E 0； 粒子能量E0,但由左向右入射。解：粒子入射示意图1：若，则，且E0，在x0时，方程为： （4）记（5），则（4）式可以化简为：方程的解为： （6）由其物理意义可知，（6）式代表的指数衰减波。由波函数的连续性条件，联立（3）（6）式得：；求解该方程组得：；由反射系数的定义并结合R的值得： （7）透射系数为：，带入数据得： （8）E0,时粒子能量高
4、于势场，求解方法与类似，只是将（1）（4）中的换成E求解即可：，其中 （9）带入数据得即可求出透射系数。 粒子从右往左入射时，比中的从左往右入射，就是将（1）（4）两式中的x换成求解即可：，其中 （10）带入数据得即可求出透射系数。 1.1.2 势的散射例题1.2 设x=a处有一维势垒 ，能量为E的粒子从左方入射。求透射系数。解：微观粒子的运动演化可由方程给出： （1）显然在x=a处发散，对（1）式在区间上积分，可得： （2）再令，得：，且 （3）可见，不连续，但是这个问题中粒子概率不连续，故连续，波函数可写为： （4）其中，波失，由波函数在x=a点连续得：1+R=S （5）在x=a处，波函数
5、的微商不连续，可以将（4）带入（3）得： （6）（5）（6）联立，消去R得透射系数：注：势使不连续，是由方程导致的。 1.2一维束缚定态问题1.2.1无限深势阱求解例题2.1 一个粒子在一维无限深势阱求解体系的能级及波函数。注：在非相对论量子力学中，粒子无法穿透无穷高势壁的，故求解的结果必然是束缚态。1.2.2 势求解例题2.2 粒子在，（a0）中运动，求粒子的束缚态能级及相应的归一化波函数。思考：势场如果换成了，可以求解吗？（求解出的k为虚数，无物理意义）例题2.3（2011年）设粒子在一维势阱中运动，试用定态微扰理论求体系基态能量的一级近似值。解：因为，我们可以将看成是微扰：即，在阱内：
6、（1）其中，；由例题2.1的结论可知：，（其中）；当n=1时，得到： （2），当n=1时，得到： （3）可见体系在基态无简并，则由无简并定态微扰理论可知：基态能量的一级修正为：例题2.4（2008年）对于束缚在两个刚性势壁之间的一维粒子，在第n能级的本征态中：本征能量与波函数； 计算位置的不确定度解：由例题2.1的结论可知：本征能量 （1）波函数 ，（其中） （2）求位置的不确定度，就是求涨落即平方平均偏差： （3）由量子力学中平均值公式，联立（2）（3）两式，得到:=1.2.3 初值问题求解例题2.5（2006年、2003年）粒子在一维无限深方势阱中运动，势能函数求粒子的能量许可值和归一化波
7、函数；已知在t=0时刻粒子处于波函数 （阱内）描述的状态之中，求t0时刻粒子状态的归一化波函数；求粒子在状态下能量的可能取值和取值几率，以及能量的期望值。解：由例题2.1的结论有：本征能量 （1）波函数 （其中） （2）结合（2）式，并由题意得： （3）将按展开：，令t=0联立（3）式得：；（，当时） （4）引入归一化常数A，可得： （5）对（5）归一化后，得： A （6）联立（1）（5）（6）式可得下可能取值为： 、，几率分别为：、；例题2.6（2002年）一维谐振子在t=0时刻处于归一化波函数：之中，式中的、均为一维谐振子的定态波函数，求：待定系数c；t=0时刻体系能量，宇称的可能取值及相
8、应的几率；t0时刻，体系的状态波函数=？解：利用谐振子波函数的正交归一性，将归一化得：，得：t=0时刻，由谐振子能级表达式（为谐振子的振动频率）得能量的可能取值：， （1）将按展开：，令t=0联立（1）式得1.2.4傅立叶变换的应用例题2.9（2011年）处于一维无限深方势阱中的粒子，求粒子处于基态和第一激发态下动量可能取值，相应几率及动量平均值。解：计算中会用到的Fourier变换：。 （1）由例题2.1的结论有：本征能量 （2）波函数 （其中） （3）基态波函数： 由Fourier变换并结合（1）式得： （4） i. 当=0时，即，那么出现的几率为：，可得： （5） ii. 当=0时，即：
9、，那么出现的几率为：，可得： （6）联立（5）（6）式可得： =0通过（3）式可得第一激发态波函数：，相应可能出现的几率和动量平均值的求法与类似。其结果也为0。 1.3 三维束缚态问题1.3.1 无限深球方势阱基态求法例题3.1（2010年）求解粒子在无限深球方势阱下的基态能量和归一化波函数。解：分析，中心力场又称辏力场，求解时选取球坐标系。由题意可知，是r的函数，与角度无关，则： （1）对于基态，设基态波函数为：，球坐标下的基态方程为： （2）令：，（3），则（2）式可以化简为： （4）方程（3）的解为： （5）代入边界条件：，并由其物理意义可知A、B不同时为零，得到：A=0；，则： （6）
10、把k的值代回（3）式可得定态能级：， （7）联立（5）（6）式得： （8）将（8）式归一化可得： B= （9）联立（7）（8）（9）式可得：波函数：；基态能量：1.3.2 盒子势求解例题3.2 一个电子被禁闭在一个三维无限深势阱中，三个平行于x，y，z轴分别长为L，写出相应的方程； 写出相应于能及的时间无关波函数；解：由题意可得方程为： （3.2.1）求解方程（3.2.1）要对其进行分离变量：，依次求解出问题中的，则可得到。而每一维的求法又与一维无限深势阱的求法相同。可得：波函数： （3.2.2）能级： （3.2.3）注：这里的（3.2.2）式相乘（3.2.3）式相加的形式源于分离变量。例题3
11、.3（2010年）当x，y，z的长度不等时，如x=a，y=b，z=c（ab0时刻：电子自旋态；自旋期望值、；电子自旋向上（）和向下（）的几率比。解：电子自旋态随时间演化的方程是： （4.4.1）式中，不含空间变量，只含自旋变量，已知电子的自旋磁矩为：，是玻尔磁子，则： （4.4.2）再设t时刻，电子的自旋态，则将方程（4.4.1）在表象中用矩阵表述为： （4.4.3）求解方程（4.4.3）得：其中， （4.4.4）将（4.4.4）代入初始条件：，得到： （4.4.5）由量子力学的平均值公式可知： （4.4.6）将（4.4.5）代入（4.4.6）得：，同理，。将按的本证函数完全集展开：= （4.
12、4.7）由上式可得：自旋向上的几率：，自旋向下的几率，两者的比之为：。例题4.5（2007年）关于电子自旋：在泡利表象，求一个电子自旋算符的相应本征值为的本征矢；在泡利表象，求一个电子自旋算符的相应本征值为的本征矢；设有一个两电子体系，如果体系中的电子1处于自旋算符的相应本征值为的本征态，电子2处于自旋算符的相应本征值为的本征态。试求体系总自旋角动量子数取零值的几率。解：该题目难度不高，运用基本理论就可以解决，我们在此直接给出答案、对于，；对于，；总自旋为零的几率是: 。 1.5 不确定关系的应用我们学过的不确定关系有：时间能量不确定关系，动量坐标不确定关系。这里我们给出用不确定关系求解基态能
13、的思路。利用能量为坐标、动量的函数以及他们的约束条件，即坐标和动量之间所满足的不确定性关系把问题转化成适当的极值问题。基本步骤课归纳如下四步：1.写出经典的E；2.利用，代换掉E中的；3.求极值，得；4.代回，求例题5.1（2007年）应用测不准关系（或者Et不确定性关系）估算：粒子在一维无限深方势阱中运动的基态能量；一维谐振子的基态能量；氢原子的基态能量；解：一维无限深势阱中，按经典力学得体系的能量为： （5.1.1）当体系在基态时，p=0,则E=0。现在用不确定性关系，对体系基态进行能量修正：知道， （5.1.2）将（5.1.2）式代入（5.1.1）得： （5.1.3）由此可知：按照我们提
14、出的四步求解法，可以得到谐振子的基态能：。同理，求得的氢原子基态能为：。 例题5.2（2011年）应用能量时间测不准关系估算正负电子对湮没的最远距离。分析：正负电子对碰撞之后湮灭，会出现能量亏损，这样我们很容易就会想到用质能方程求解。解：正负电子对发生湮灭时，能量变化为： （5.2.1）能量时间测不准关系 （5.2.2）联立（5.2.1）和（5.2.2），知发生湮灭的最远距离为： 1.6 表象理论相关习题求解该部分知识真题考的较少，主要运用矩阵力学的知识解答。初步认为，这是以后的命题趋势，笔者在参加2013年的考试时，量子力学的最后一个大题便是这类题。例题6.1（2011年）某一体系的哈密顿算
15、符及另两个力学量算符分别为：，假定t=0时刻，体系态矢量为，求t0时刻体系态矢量；在态下，体系的力学量H、F、G各自的期望值，及可能取值，以及相应概率。解：为对角矩阵，其本征值为其主对角线元素：，即：，相应的本征矢为：， （6.1.1）时，得，联立（6.1.1）按能量本征态展开：+ （6.1.2）时，将（6.1.2）代入得：+ （6.1.3）求解（6.1.3）式，得：,得： i.的可能值为：、，相应几率：、，平均值：0ii.对于力学量F而言，其本征方程为： （6.1.4） 久期方程： 0 （6.1.5）解（6.1.5）得： ， （6.1.6）将（6.1.6）代回（6.1.4），求得力学量相应的
16、归一化本征矢为：， （6.1.7）将按力学量相应的归一化本征矢展开： （6.1.8）求解（6.1.8）得到、的值。可算得力学量可能的取值为：和，相应几率为0、1。可以得到力学量的平均值为：。iii.求解思路同ii，得力学量的平均值为： 1.7 近似理论的应用1.7.1 非简并定态微扰微扰理论常常无法单独考，而是以某一物理模型为载体来考查。常见的模型有平面转子和空间转子模型。关于这两个模型放到第二篇中介绍。例题7.1（2007年）一个粒子质量为M，在xy平面上距离定点O为恒定R绕O点转动，这个体系称为平面转子。求体系的能谱和归一化定态波函数；若平面转子带电荷q，处于恒定均匀外场中，的方向沿x轴，
17、如果外电场非常强，再求体系的能谱；如果外电场很弱，试应用定态微扰理论求体系的基态能量的一级修正和二级修正。解：平面转子模型的能谱和归一化波函数如下：能谱：，其中归一化波函数：，。在电场中，体系的哈密顿算符为： （7.1.1）求体系的能谱即是求（7.1.1）式的本征值。当外电场很强时，粒子只能在很小的角度内转动，即： ， （7.1.2）那么将（7.1.2）代入（7.1.1）式得： (7.1.3) 令： = （7.1.4）可见（7.1.4）式与一维线性谐振子的哈密顿量相似，可得：的本征值为：，其中同理，的本征值为：分析：基态无简并，可由定态非简并微扰计算，这里： （7.1.5）代入可得微扰矩阵元为
18、： = （7.1.6）i.由（7.1.6）式可得基态能级的一级修正为：ii.同理，可得基态能级的二级修正为：=。例题7.2（2008年）一自由粒子的三维哈密顿量为：式中，是角动量算符，I是转子的转动惯量。求能谱与相应的简并度；若给此转子施加以微扰，求基态能级移动（直至二阶微扰）。解：分析，该题目的求解思想与例题7.1相似，只是这里的模型换成了空间转子，比平面转子多出一维。要用到球谐环数，在此我们不做具体计算，只给出结果。能谱：；简并度：能级移动至二阶微扰：1.7.2 简并定态微扰简并微扰是学习中的难点，其精髓在于在兼并子空间中将非对角矩阵元对角化。至于简并微扰的其他内容和非简并微扰相同。在计算
19、的过程中也是相当繁琐的，需要细心谨慎。例题7.3（2004年、2000年）一个质点在xy平面上绕固定点O并与O点保持距离为运动的体系称为平面转子。设质点的质量为，质点与固定点O的距离为R。求体系的能谱和归一化定态波函数组；若平面转子带电荷q，置于恒定均匀磁场中，沿Z轴正方向，再求体系的能谱；如果平面转子不是置于磁场中，而是受到微扰作用：，试求出其任一激发态能量的一级近似和相应定态波函数的正确零级近似。解：平面转子的能谱和归一化波函数如下：能谱：，其中归一化波函数：，。置于磁场后，质点的磁矩为： （7.2.1）代入（7.2.1）式，可得处于磁场中转子的势能为： （7.2.2）体系的哈密顿算符为：
20、 （7.2.3）由（7.2.3）式得处于磁场中的转子的能谱为： 分析：基态无简并，激发态是二重简并。用简并微扰理论得到： 零级波函数为：1.7.3变分法变分法的关键在于找试探波函数，然而历年考题中均给出试探波函数，那么我们只需要会运用变分原理求极值即可。在此我们将求解过程分为三步，先以例题7.5为例求解。例题7.5（2011年）粒子在一维势阱中运动，哈密顿量为：，其中选取试探波函数为：试用变分法求体系基态能量。解：i.求哈密顿量的平均值：代入试探波函数得： = （7.5.1）ii.对（7.5.1）运用变分原理： ，得到： （7.5.2）iii.把b的值代回，得到： =例题7.6（2010年）用
21、变分法求一维谐振子基态能量和波函数，试探波函数取为：分析：按照我们的三步求解法，可得一维谐振子的基态能为：。 1.8 多体问题全同性原理的应用例题8.1（2007年）设有三个粒子，每一个粒子均可以处于、三个单粒子态中的任何一个式中，试分别作具体分析后，给出：若三个粒子是非全同粒子，这三粒子体系可能有多少状态？若他们是全同费米子，体系可能有多少个状态？若他们是全同玻色子，体系可能有多少个状态？解：因为这三个粒子是经典粒子，状态波函数不必要有一定的对称性。三个单粒子的波函数的积就构成了体系的状态波函数，则体系可能的一个状态是：由于每一个粒子均处于、态，所以这种粒子态共有：若粒子体系是全同费米子，则
22、这三个粒子系的状态波函数必须反对称，再由泡利不相容原理知：每个单粒子态、中只能容纳一个粒子，体系的反对称波函数可以由史莱特行列式给出：若粒子体系是全同玻色子，则体系的状态波函数具有对称性。又玻色子不受泡利不相容原理的限制，可以有任意个完全相同的运动状态。三个对称波函数共有：3+6+1=10个状态。例题8.2（2002年、2005年、2011年）两自旋为全同粒子无相互作用，处于一维无限深方势阱中（），求体系能量最低的两个能级的能量值，并给出各自的简并度。分析：体系能量最低的两个状态是基态和第一激发态。结合一维无限深势的结论和全同性原理得到：；基态无简并；第一激发态四重简并。2 重要解题模型在第一
23、部分的讨论中，我们连续用到许多模型及结论。在此，我们将这些模型和结论归纳总结列出，熟练记忆这些对我们今后的解题将有巨大帮助。具体求解过程可以在参考书籍里查到，这里便不再赘述。熟记的程度必须达到，看到势场就能想到能级和波函数。2.1一维无限深势模型势场：；哈密顿算符为：能量本征值：本征函数（波函数）：2.2势模型势场：；哈密顿算符为：能量本征值： 本征函数（波函数）： 2.3盒子势模型势场：；哈密顿算符为：能量本征值：本征函数（波函数）：2.4中心力场模型势场：；哈密顿算符为：基态能量：本征函数（波函数）：2.5平面转子模型（见例题7.1）2.6空间转子模型哈密顿算符为：；能量本征值：本征函数（
24、波函数）：3 总结 许多国内知名高校的量子力学考研真题无官方给出的标准解法，同时笔者在2012年备考过程中深感头疼。于是萌生将武大量子力学真题分类求解的想法，在参考了诸多文献之后，经过无数个日夜的苦思冥想，以及和同学、老师的有益讨论，笔者得以将近十年真题悉数解出，并根据其解题思想将真题打乱分为八大类。在此之后，笔者进一步思考，提炼出解题模型以及重要解题结论，并做到可以解一反三。本文确是作者的心血之作，若有不足请批评指出。致谢：在本次论文的整个设计的过程中，我得到了许多老师和同学的帮助，特别是得到了刘老师的悉心指导，才使我顺利完成了论文。在论文的选题、研究方法、具体实现、任务分配等方面，刘老师都
25、给了我们许多宝贵的建议和指导，我们论文中的每一点都凝聚着刘老师的心血。在此衷心感谢刘老师对我们付出的一切心血！同时感谢在大学里教导过我们的所有老师们。参考文献：1周世勋，量子力学教程M，高等教育出版社，19792曾谨言，量子力学I卷M，科学出版社， 20003张永德，量子力学M，科学出版社，20024刘莲君，张哲华量子力学与原子物理学学习指导M，武汉大学出版社，20005苏汝铿，量子力学M，高等教育出版社，20036Einstein A.对批评的回答，载爱因斯坦文集（第一卷）J，许良英等编译，商务印书馆，1977：462-4847Pais A.,Einstein对Nobel奖的提名J，梁前文译
26、，科学与哲学1985年第5辑：84-928倪光炯，对量子力学的一种新解释J，科学，2002，54（6）：34-36；2003，55（1）：22-259Feynman R.P., The theory of positronsJ, Phys. Rev.,1949,76:74910Einstein A., Podolsky B., Rosen N., Can Quantum-Mechanical description of Physical Reality be considered completeJ, Phys Rev, 1935,47:777-780Abstract：Quantum mec
27、hanics is a compulsory course for undergraduate students of physics. It is also the subject for entrance examination of physics graduate student in some of well-known universities of China. This paper discusses about ten years of non-relativistic quantum test questions of Wuhan University and devides all of the questions into eight classes. And on this basis, refining the problem solving model, we improve the ability to solve the problem with the quantum mechanics theory.Key words：Quantum mechanics；Test paper for graduate student entrance examination； Model
