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1、 习题二1 设，求.解：，故.2(1) 设，求解：(2) 设求解：3. 试求过点(3，8)且与曲线相切的直线方程.解：曲线上任意一点处的切线斜率为.因此过(3，8)且与曲线相切的直线方程为：，且与曲线的交点可由方程组解得为(2，4)，(4，16)即为切点.故切线方程为：4下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么.(1) 解：故(2) 解：故(3) 解：故5求下列函数的导数:(1) ;解：(2) ;解：(3) ;解：6讨论函数在点处的连续性和可导性.解：,故函数在处连续.又,故函数在处不可导.7. 如果为偶函数，且存在，证明：证明：故8求下列函数在处的左、右导数，从而证明函
2、数在处不可导.(1) 证明：因，故函数在处不可导.(2) 证明：因，故函数在处不可导.(3) 证明：因，故函数在处不可导.9已知求.解：当时，当时，当时， 故综上所述知10设函数为了使函数在点处连续且可导，应取什么值？解：因要使在处连续，则有又要使在处可导，则必须，即故当时，在处连续且可导.11. 讨论下列函数在指定点的连续性与可导性:(1) 解：因为所以此函数在处连续.又，故此函数在处不可导.(2) 解：因为故函数在处连续.又,故函数在处可导.(3) 解：因为,故函数在x=1处连续.又，故函数在x=1处不可导.12. 证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.证明：在双
3、曲线上任取一点则，则过点的切线方程为：令得切线与x轴的交点为，令得切线与y轴的交点为，故 13. 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为：求：物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：解：速度函数v(t)；解：. 物体何时到达最高.解：令,得,即物体到达最高点的时刻为14. 设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t内，转过角度，从而转角是t的函数：.如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻的角速度？解：设此角速度值为,则.15. 设表示重1单位的金属从加热到所吸收的热量，当金属从升温到时，所需热量为与之比称为到的平均比热，试解答如下问题：
4、如何定义在时，金属的比热；解： 当(其中a, b均为常数)时，求比热.解：.16. 已知在点可导，证明：. 证明：17. 求下列函数的导数：;解：;解： ;解： ;解：;解： ;解： ;解： .解：18. 求下列函数在给定点处的导数：求；解：求和；解： 求.解： 故19.设，且所有的函数都可导，证明：证明：20. 求下列函数的导数： ; ; ; ; ；（a为常数）； ； ； ; ； ; ；为常数）.解： ; ; ; ; ； ; ； ；.21.求.解： 22. 试求曲线在点（0，1）及点（1，0）处的切线方程和法线方程.解： 故在点（0，1）处的切线方程为：，即 法线方程为：，即在点（1，0）处
5、的切线方程为：法线方程为：23. 设可导，求下列函数y的导数： 解： 解： 24. 求下列隐函数的导数：； ；解：两边求导，得：解得 . 两边求导，得：解得 . 两边求导，得： 解得 .两边求导，得： 解得 . 两边求导，得：解得 .25.用对数求导法求下列函数的导数：解： 解： 解：26. 求下列参数方程所确定的函数的导数： (a,b为常数)解： 解：27. 已知求当时的值.解：.28. 设,其中a为常数，为连续函数，讨论在处的可导性.解：.故当时，在处可导，且当时，在处不可导.29. 已知，求.解：当时，,当时，,故不存在.又 故不存在.综上所述知.30. 若，求.解：令，则,即.31.
6、若，求.解：32. 求函数的反函数的导数.解：故反函数的导数为：.33. 已知的导数，且，求的反函数的导数.解：时故,从而.34. 在括号内填入适当的函数，使等式成立： ；; ；; ; ；; .解： . . . . . . .35. 根据下面所给的值，求函数的及：当时；解：.当时.解：36. 求下列函数的微分：； ； .解：； ；37. 求由下列方程确定的隐函数的微分： ； ； ； . 解： 对等式两端微分，得 即 于是 对等式两端微分，得 得 对等式两端微分，得 解得 对等式两端微分，得解得38. 利用微分求下列函数的近似值：；.解：利用近似公式，有.利用近似公式，有 取，令，而，则39.
7、设，且与相比是很小的量，证明：证明：利用近似公式，有.40. 利用一阶微分形式的不变性，求下列函数的微分，其中和均为可微函数：；.解： 41. 求下列函数的高阶微分：，求；，求；，求； ，求；(为常数)，求.解：, 故 由莱布尼兹公式，得 由莱布尼兹公式，得 两端求导，得等式两端再求导得 解得故42. 求自由落体运动的加速度.解： 即为加速度.43. 求次多项式的阶导数. 解： 44. 设，求解：.45. 验证函数满足关系式证明：故46. 求下列函数的高阶导数：求；求；求.解： 47. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数： ； ； . 解：两边对求导，得 . 两边对求导，得. 两边对求导，得
8、 两边对求导，得 48. 已知存在，求：；.解： 49. 求由下列参数方程所确定函数的二阶导数： (为常数)；设存在且不为零.解： .50. 求下列函数在指定点的高阶导数：求；求，；求，.解： 故. 故，. 故，51. 设是由方程组所确定的隐函数，求.解：分别对已知方程组的两边关于求导，得：再对求一次导，得将代入上述各式，得52. 验证：函数在上满足罗尔定理的条件，并求出相应的，使.证：在区间上连续，在上可导，且，即在上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，至少存在一点使.事实上，由得故取，可使.53. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件？有没有满足定理结论中的？ ； ； 解：在上不连续
9、，不满足罗尔定理的条件.而，即在（0，1）内不存在，使.罗尔定理的结论不成立. 不存在，即在区间内不可导，不满足罗尔定理的条件. 而 即在（0，2）内不存在，使.罗尔定理的结论不成立.因,且在区间上不连续，不满足罗尔定理的条件.而,取，使.有满足罗尔定理结论的. 故罗尔定理的三个条件是使结论成立的充分而非必要条件.54. 函数的导函数有几个零点？各位于哪个区间内？解：因为，则分别在2，1，1，0，0，1，1，2上应用罗尔定理，有使得.因此，至少有4个零点，且分别位于内.55. 验证：拉格朗日定理对函数在区间0，1上的正确性. 验证：因为在0，1上连续，在（0，1）内可导，满足拉格朗日定理的条件
10、.由得解得，即存在使得拉格朗日定理的结论成立.56. 证明：不等式证明：令在0，x上应用拉格朗日定理，则使得即,因为，则即设证明：证明：令,在b，a上应用拉格朗日定理，则使得因为,则,即设证明：证明：令在b，a上应用拉格朗日定理，则使得因为，所以,即.设证明：证明：令，,应用拉格朗日定理，有即57. 如果在a，b上连续，在（a，b）内可导且证明.证明：因为在a, b上连续，在（a，b）内可导，故在a，x上应用拉格朗日定理，则，使得,于是,故有58. 设，且,在a，b内存在，证明：在（a，b）内至少有一点，使.证明：在a，b内存在，故在a，b上连续，在（a，b）内可导，且，故由罗尔定理知，使得，
11、使得，又在上连续，在内可导，由罗尔定理知，使，即在（a，b）内至少有一点，使.59. 已知函数在a，b上连续，在（a，b）内可导，且，试证：在（a，b）内至少有一点，使得.证明：令在a，b上连续，在（a，b）内可导，且，由罗尔定理知，使得，即,即60. 证明恒等式：证明：令, 故，又因,所以,即61. 对函数及在上验证柯西定理的正确性.验证：，在上连续，在内可导，且，满足柯西定理的条件.由 ,得 ,故满足柯西定理的结论.62. 设在上有阶连续导数，在内有阶导数，且试证：在内至少存在一点，使.证明：首先，对在上应用罗尔定理，有，即，使得；其次，对在上应用罗尔定理，有，即，使得一般地，设在内已找到
12、个点其中使得，则对在上应用罗尔定理有使得.63. 利用麦克劳林公式，按乘幂展开函数.解：因为是的6次多项式，所以计算出：， 故64. 利用泰勒公式求下列极限： (3) 解： (3) 令,当时，65. 求下列函数在处的三阶泰勒展开式： 解：所以故 66. 求函数在处的阶泰勒公式.解： 67. 求函数的阶麦克劳林公式.解： 68. 求函数的阶麦克劳林展开式.解：69. 设在的某区间上，存在有界的二阶导函数.证明：当在处的增量很小时，用增量比近似一阶导数的近似公式,其绝对误差的量级为，即不超过的常数倍.证明：在处泰勒展开式为, 则, 又知 ,故 ,即的绝对误差为.70. 利用四阶泰勒公式，求的近似值
13、，并估计误差.解：71. 计算的近似值，使误差不超过.解：72. 设函数在上连续，在内可导，且试证： .证明：.73. 利用洛必达法则求下列极限：; ; ; ; ; ; ; ;.解： 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式 . 原式= 令 原式=. 令，则 原式=. 令，则 原式=. 原式 原式 原式 令，则原式=. 令，则原式=.74. 设具有二阶连续导数，且，试证：可导，且导函数连续.证明：因具有二阶连续导数，故时，可导,又故 是可导的，且导函数为又因 故的导函数是连续的.75. 求下列极限问题中，能使用洛必达法则的有（）. ； 解：不存在,（因，为有界函数）又,故不能使用洛必达法则. 不存在, 而 故不能使用洛必达法则. 利用洛必达法则无法求得其极限.而.故答案选（2）.76. 设,求常数, 的值.解：要使成立，则,即又得77. 设二阶可导，求.解：
