导数应用补充练习题.docx

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1、导数应用补充练习题导数应用补充练习题 1. 单调函数的导函数亦为单调函数； ( ) 参考答案：； 2. 曲线凹与凸的分界点叫拐点,( x0,f(x0)为拐点的充分必要条件是 f(x0)=0；参考答案：； 3. 曲线凹与凸的分界点叫拐点,( x0,f(x0)为拐点的必要条件是f(x0)=0； 参考答案：； 4. 曲线y=x2lnx 在点(1,0)邻近是凹的;在点(参考答案：； 5. 驻点一定是极值点；( ) 参考答案：； 6. 设函数y=f(x)在开区间(a,b)内有二阶导数,如果在(a,b)内f(x)0,则曲线在(a,b)内是凸的；( ) 参考答案：； 7. 若x0是可导函数f(x) 的一个极

2、值点,则必有f(x0)=0； ( ) 参考答案：； 8. 若函数f(x)在开区间(a,b)内是单调的,则曲线y=f(x)必是上凹的或必是下凹的； ( ) 参考答案：； 9. 若f(x)在0,+)上连续,且在(0,+)内f(x)0；参考答案：； 17. 若f(x)0,则f(x)0； 参考答案：； 18. 若在(a,b)内f(x)与g(x)可导，且f(x)g(x)，则在(a,b)必有f(x)g(x；) 参考答案：； 19. 若f(x)在x=x0的邻域内具有三阶连续导数，且f(x0)=0,f(x0)0则 (x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点；参考答案：； 20. 若f(x0)=0,则x0必为f

3、(x0)的极值点. 参考答案：； 21. 若f(x)可导,x0为f(x)极值点,则必有f(x0)=0 ； 参考答案：； 22. 若偶函数f(x)有二阶连续导数,且f(0) 参考答案：； 23. 若f(x)在a,b上连续,则f(x)在(a,b)取得最大值得必要条件是则0,x=是0fx的(极)小值点f(x0)=0. 参考答案：； 24. 若f(x)在(a,b)上连续，且在x0(a,b)取得最小值，则x0必是f(x)的极小值点； 参考答案：； 25. ln(1+x)的n阶麦克劳林公式是 ln(1+x)=x-x22!+x33!-L+(-1)n-1xnn!+o(xn+1) 参考答案：； 选择题 1. 以

4、下结论正确的是 (A)函数f(x)二阶可导,且在点x0取得极小值，则f(x0)0； (B)设函数f(x)在a, b上可导，且f(x)0,则方程f(x)=0在a, b上至多有一个实根； (C)设函数 f(x)在a,b上可导，f(a)f(b)，则一定不存在一点x(a,b)f(x)=0； (D)若函数f(x)在 x0处有定义且极限limf(x)存在，则f(x)在点x0xx0，使连续； 2. 函数f(x)=2x2-x+1在区间-1, 1满足拉格朗日中值定理的x = (A)-12； (B)0； (C)xf(3x)1612； (D)1 f(2x)x= 433. 已知 lim(A)13x0=2, 则 lim

5、12x0； (B)； (C)； (D) 13sin3x4. 设a是常数，则当函数f(x)=asinx+ (A)0 (B)1 在x=p3处取得极值时，必有a (C)2 (D)3 5. 函数y=x3-1在区间-1,1上的最大值是 (A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在 6. 函数y=x3-1在区间-1,1上的最小值是 (A)0 (B)-1 (C)-2 (D)不存在 7. 函数y=(x-1)3-1的拐点是 (A) (B) (C) (D)不存在 8. 点是曲线y=ax3+bx2+c的拐点，则有 (A)a=1,b=-3,c=1； (B)a为任意值，b=0,c=1； (C)a=1,b=0,c为任意值；

6、 (D)a,b为任意值，c=1； 9. lim(x01x-1e-1x)= ( (C) ) (A)1 (B)-1 (C)1/2 (D)-1/2 110. lim(1+sinx)x= ( (C) ) x0(A)1 (B)-1 (C)e (D)e1-111. lim(e-5x)x= ( (D) ) x3x(A)e-2 (B)e2 (C)e-3 (D)e3 12. 函数y= x4(12lnx-7)的拐点是( (B) ) (A)(-1,7) (B) (1,-7) (C) (7,1) (D) (-1,-7) 13. 若点(1,3)是曲线y=ax3+bx2的拐点,则a,b的值分别为 ( (B) ) (A)-

7、32,-92； (B) -39,22 (C)32,-92 (D)39,2214. 若f(x)在(a,b)内可导，x1,x2是(a,b)内任意两点，且x1x2,则至少存在一点x使 (A)f(b)-f(a)=f(x)(b-a),其中axb; (B)f(b)-f(x1)=f(x)(b-x1),其中x1xb; (C)f(x2)-f(x1)=f(x)(x2-x1),其中x1xx2; (D)f(x2)-f(a)=f(x)(x2-a),其中axx2; 15. 下列函数在-1,1上满足罗尔定理条件的是； (A)e; (B) ln|x|; (C)1-x2; (D)x11-x;216. 下列各式中正确运用罗必塔法

8、则求极限的是； (A)limxosinxe-1x=limxocosxex=limxo-sinxex=0; (B) limx+sinxxx=lim(1+cosx)不存在; x(C)limx01sinx-xcosxsinx-xcosxxsinx11limlimlim; =-ctgx=232x0x0x033xxxsinxxx(D)lime-ee+exx-x-xx=limee-x-x(e(e2x2x-1)+1)=limee2x2x-1+1xx=lim2e2e2x2xx=1. x1x-1,0x1,f(x)=当f(x)在x=1处连续时a= 17. a,x=1,(A) 0; (B) 1; (C) e; (D

9、) 1/e 18. 方程ex-x-1=0,则 (A)没有实根； (B)有仅有一个实根； (C)有且仅有两个实根； (D)有三个不同实根。 19. 设f(x)具有连续的二阶导数，点(0,f(0)为󰀀)曲线y=f(x)的拐点，则limx0f(x)-2f(0+)f-(x)= 2x(A)0 (B)2 (C)f(0) (D)2f(0) 20. 若在区间(a,b󰀀。 )内函数f(x)0,f(x)0，且f(x0)=0，则f(x)在点x0 (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某个邻域内单调增 (D)某个邻域内单调减 24. 设f(x)在x=p2p2的某一邻域内可导，且f(

10、x)pf=0,lim=-1,则 (A)f必为f(x)的一个极大值 (B)f(p2)必为f(x)的一个极小值 (C)f(x)在该邻域内单调增加 (D)f(x)在该邻域内单调减少 25. 设函数f(x)在a,b上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒为常数，则在(a,b)内 (A)必有最大值或最小值 (B)既有最大值又有最小值 (C)既有极大值又有极小值 (D)至少存在一点x,使f(x)=026. 设函数f(x)在a,b有定义，则f(x)在x=a与x=b处 (A)可能取得极小值 (B)可能取得极大值 (C)可能取得最大值或最小值 (D)既不能取得极值，也不能取得最值 27. 函数f(x)有连续

11、二阶导数且f(0)=0，f(0)=1，f(0)=-2，则lim(A)不存在； (B)0； (C)-1； (D)-2 f(x)-xx2=x028. f(x)在(a,b)内连续，x0(a,b),f(x0)=f(x0)=0，则f(x)在x=0处 (A)取得极大值； (B)取得极小值； (C)一定有拐点(x0),f(x0)； (D)可能取得极值，也可能有拐点。 29. 设f(x)为可导函数，x为开区间(a, b)内一定点，f(x)0，且当xx时，(x-x)f(x)0，则在闭区间a, b上总有 (A)f(x)0 (D)f(x)0 30. 函数f(x)=2x2-x+1在区间-1, 3上满足拉格朗日中值定理

12、的x= (A)-34； (B)0； (C)34； (D)131. 设函数f(x)在a, b上连续，在区间(a, b)内可导，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒为常数，则在开区间(a, b)内 (A)至少存在一点x(C)任意点x，使得f(x)=0； (B)至少存在一点x，使得f(x)0； 处，总有f(x)=0； (D)任意点x处，总有f(x)0； 32. 若f(x)在开区间(a,b )内可导，且对(a,b )内任意两点x1, x2，恒有 f(x2)-f(1x) x(2x-)1则必有 2 (B)f(x)=x(A)f(x)0 ； (C)f(x)=x； (D)f(x)c (常数) 33. 设f(x)

13、g(x)，且f(a)=g(a)，则当xa时有 (A)f(x)g(x)； (B)f(x)0, 函数参考答案：2； 在(0, +)内零点的个数为_； 14. lim2x+-arctanx1x= ； 参考答案：1； 15. limlnxx2x+= ； 参考答案：0； 16. limxe2xx+= ； 参考答案：0； 17. limxx= ； x0+参考答案：1； 118. limxx11-x= ； 参考答案：e-1； 119. lim(cotx)lnx= ； x0+参考答案：e-1； 220. 函数y=2-(x-1)3的极值点为_； 参考答案： 计算与证明题 1. 求证当x0时，xarctanx 证

14、：设 f(x)=x-arctanx f(x)=1-11+x2当x0时，f(x)0，f(x)严格单调增加，所以f(x)f(0)=0， xarctanxf(x)=x-arctanx0，即当 x0 时，证毕。 2. 证明2arcsinx=arccos(1-2x2) 0x1 2证明：设f(x)=2arcsinx-arccos(1-2x) 0x1 =2arcsinx-arccos(1-2xf(x)(2) =)21-x2-11-1-2x(2)21-2x(2)=21-x2-11-1-2x(22)(-4x)=0， 所以f(x)恒为常数， 0x1，而f1=0, 2从而f(x)0 0x1,即2arcsinx=ar

15、ccos(1-2x2) 00 时，e2x1+2x 证：设 f(x)=e2x-2x-1 f(x)=2e2x-2=2(e2x-1) 当x0时，f(x)=e2xf(x)0，f(x)严格单调增加，所以f(x)f(0)=0， 2x-2x-10即当 x0 时，e2x+1，证毕。 6. 计算limln(1+x)secx-cosx22cosxln(1+x)1-cos=limx0x0答案：limx0ln(1+x)secx-cosx2x2=limx02x=limx22x01-cosx =limx0xsinx-2cosx(-sinx)a=1 7. 计算lim(1+)x xx答案：因为limx(1+ax)=limex

16、xxln(1+ax)1(-ax2而limxx(ln(1+axln(1+)=limxax)=limx1+ax-)=limxaxx+a1x1x2=limxa1=a所以 limx(1+ax)=limexxxln(1+ax)=ea8. 计算limxsinx x+0答案：因为limxx+0sinx=limex+0sinxlnx12sinxx=lim=-lim=0而 limsinxlnx=limx+0x+0cscxx+0-cscxcotxx+0xcosxlnx所以 limxx+0sinx=limex+0sinxlnx=e0=1。 9. 计算limtanx x+01x答案：因为1tanlimx+0xx=e-

17、tanxlnx1sin2而 limtanxlnx=limx+0x+0lnxcotx=limx+0x-csc02x=-limx+0xx=0所以 lim(x+01x)tanx=limex+0-tanxlnx=e=1 10. 设函数y =alnx+bx2+x 在x1=1及x2=2时取得极值,试定出a,b的值,并问这时在x1与x2是取得极大值还是极小值? 答案：y =ax+2bx+1，y =-ax2+2bQf(x)在x1=1及x2=2时取得极值， f(1)=a+2b+1=0且f(2)=a2+4b+1=0，联立解得a=-5623,b=-16。 当x=1时，f(1)=130，函数有极大值f(1)=1120

18、； 23(2-ln2)当x=2时，f(2)=-，函数有极小值f(2)= 11. 由曲线y=x2 ,x轴和直线x=16围成一曲边三角形OAB，在曲边OB上求一点,使过此点的切线与x轴和直线x=16围成的三角形MAN面积最大,并求出其最大面积 答案：曲线y=x2上点(x,y)处的切线斜率y=2x，设(X,Y)为曲线y=x2上点(x,y)处的切线上任一点之坐标，于是曲线y=xY-y=2x(X-x)， 2上点(x,y)处的切线方程为 即 Y-x2=2x(X-x) 将X=16代入式,得切线与直线AB的交点N的纵坐标为 Y=2x(16-x)+x2=32x-x2， x2将Y=0代入式,得切线与x 轴的交点M

19、的横坐标为 X=x-1212x22x=x2， 于是,DMAN的面积为 S(x)= =所以S(x)=34x-32x+2563232MAAN=(16-)(32x-x)214x-16x+256x3232(0x16超出了范围，故舍去因3为在(0,16)内S(x)有惟一的驻点x1=S(x)取得极大值，所以，x1=32332,且S(323)=-160， 1nini2所以函数在x0点处取极小值，即x=x0=2a时，f(x)=(x-a)取极小值 ni=1i=113. 证明：当 0xx-x36； 答案一: 令f(x)=sinx-x+x36，则f(x)=cosx-1+2x22，f(x)=-sinx+x， f(x)

20、=-cosx+1=1-cosx0 (0xf(0)=0， 2所以f(x)在0,上连续且单调增加，则f(x)f(0)=0， 2所以f(x)在0,上连续且单调增加，则f(x)f(0)=0， 2即 f(x)=sinx-x+x360，也即 sinxx-x36 (0x2) 答案二： 令f(x)=sinx-x+x36， 则 f(x)=cosx-1+x22=x22x2-(1-cosx)=x22x2-2sin2x2x2， 当 0x2 时，有 sinxx2-2=0， 222所以当0xf(0)=0， 即 f(x)=sinx-x+x360，也即 sinxx-x36 (0xb0证明 a-balnaba-bb； 答案：设

21、f(x)=ln x，则f(x)在区间b,a上连续，在区间(b,a)内可导 由拉格朗日中值定理，存在xx (b,a)使 f(a)- f(b)= f(x)(a-b) 即lna-lnb=所以 (a-b)lna-lnba11b(a-b)1x(a-b)ab 因为bxa a-bb即a-ba0) 答案：令y=(a1x+a2x+ +anx)/nnx，则 1x11x21lny=nxln(a+a+ +anx)-lnn, 因为 11x21limlny=limxnln(a+a+ +anx)-lnn1xx1xn=limx1111a1x+a2x+ +anx1(a1xlna1+a2xlna2+ +anxlnan)xx111

22、1=lna1+lna2+Lln an =ln(a1 a2Lan). 1x11x即limlny=ln(a1 a2Lan)，从而lim(a1x+a2x+ +anx)/nnx=limy=a1a2 an x20. 证明当0x1x2x2x12答案：令f(x)=所以在(0, tanx1x1x-tanxx20, p2)内f(x)为单调增加的. 因此当0x1x2x2x121. 计算limx+x arccotx1-21x1+21+xx=lim=lim x+x+112-1+x21+xx2x1+2x11ln(1+1答案：limx+xarccotx)=lim1+xx+x22=limx+x+=lim22x+=1 22.

23、 计算lim(cosx)x x0121答案：lim(cosx)x0x2=limex0x2lncosx=ex0xlim12lncosx， 1-12而 limlncosxx2x0=lim-sinx2xcosxx0=-12，所以lim(cosx)x=ex0223. 计算lim答案：lim=2+limxsinxx0x-xcosxx-sinxx-sinxx01-(cosx-xsinx)1-cosx=lim2sinx+xcosxsinxx-xcosxx0=limx0x0x0cosx=3 n24. 计算limxlnx +1答案：limxlnx=limx0+nlnx+x01xn=lim+x0x=lim+=0。 -n-1x0-n-nxxn25. 求函数f(x)=x3-3x2-9x+9的极值，凸区间及拐点； 答案：极值：x=-1时极大值f(-1)=14；x=3时极小值f(3)=-18 拐点：x=1时，拐点 凸区间：（-,1)上凸， (1,+)下凸