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1、平面向量知识点总结及训练题第五章 平面向量 一、向量的相关概念： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2、向量的表示方法：几何表示法：用有向线段表示；用字母a、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：AB；坐标表示法：a=xi+yj=(x,y) 3、向量的模：向量AB的大小长度称为向量的模，记作|AB|. 4、特殊的向量：长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
2、5、相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作 -a 6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等，记作a=b； 7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a/b平行向量也称为共线向量规定零向量与任意向量平行。 8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OAa，OBb，则AOB=q(0qp)叫a与b的夹角 说明：当q=0时，a与b同向；当q=p时，a与b反向；当q=p2时，a与b垂直，记ab；规定零向量和任意向量都垂直。注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q180 9、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作la，它的长
3、度与方向规定如下： 1 la=la； 当l0时，la的方向与a的方向相同；当l0时，lrl(ma)=(lm)a la=(lx,ly a与a同向；(l+m)a=la+ma l(a+b)=la+lb 当l0时，la与a异向； 当l=0时，la=0。任意方向 a/ba=lb ab=ba ab=|a|b|cosq，ab=x1x2+y1y2 (la)b=a(lb)=l(ab) (a+b)c=ac+bc 向 量 的 数 量 积 (0qp) 1a=0或b=0时, 向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投|a|=a或|a|=x2+y2 22ab=0 |ab|a|b| 2a0且b0时,
4、影|b|cosq的乘积 abab=0ab=|a|b|cos cosq=ab|a|b|特别注意：结合律不成立：a(bc)(ab)c ； 4 消去律不成立ab=ac不能b=c ab=0不能得到a=0或b=0 乘法公式成立： (a+b)(a-b)=a-b=|a|2-|b|2 (ab)=a2ab+b=|a|2ab+|b|2 222222线段的定比分点公式: 设点P分有向线段P1PPP2，则 1P2所成的比为，即Px=y=x1+lx2,1+l (线段定比分点的坐标公式) y1+ly2.1+lx1+x2x=,12当1时，得中点公式：OP或2y=y1+y2.2 平移公式： 设点P(x，y)按向量a平移后得到
5、点P， x=x+h,则OPOP+a或 y=y+k.曲线yf按向量a平移后所得的曲线的函数解析式为：yf： a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC sinA=abc=2R sinAsinBsinCabc,sinAB=,sinC=, 2R2R2R22余弦定理 b=a+c-2accosB b2+c2-a2cosA= 2bc2S=1111aha；S=bcsinA=absinC=acsinB； 22225 附：ABC的判定： c2=a2+b2ABC为直角A + B =p2c2a2+b2ABC为钝角A + Bp2 c2a2+b2ABC为锐角A + Bp2a2+b2=-c2附：证明：cosC2
6、ab， 得在钝角ABC中，cosC0a2+b2-c20a2+b2c2 在ABC中，有下列等式成立tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明：因为A+B=p-C,所以tan(A+B)=tan(p-C)，所以tanA+tanB1-tanAtanB=-tanC，结论！三角形的四个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量a与a有关系是：a是a方向上的单位向量 aa6 练习题： 一、平面向量的概念及其运算 1、若向量a、b满足a+b=a+b，则a与b必须满足的条件
7、为 a,b方向相同 2、若AB=b,AC=c，则BC等于 Ab-c Bc-b Cb+c D-b-c 3、正六边形ABCDEF中，BA+CD+EF= A0 BBE CCD DCF 4、在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a,AD=b,AC=c，则a-b+c= 2 5、在DABC中，已知BC=3BD，则AD等于 A13(AC+2AB) B13(AB+2AC) C14(AC+3AB) D14(AC+2AB) 6、在DABC中，E、F分别是AB和AC的中点，若AB=a,AC=b，则EF等于A12(a+b) B12(a-b) C12(b-a) D-12(a+b) 7、已知：向量a,b 同向，且a=3,
8、b=7，则2a-b= 1 二、平面向量的基本定理及坐标表示 8、若AB=3e1,CD=-5e1，且AD=BC，则四边形ABCD是 A是平行四边形 B菱形 C等腰梯形 D不等腰梯形 7 9、已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4)且CM=3CA,CN=2CB，试求点M、N和MN的坐标 199页 10、已知向量a=(-3,-4)，则与a同向的单位向量是 3434 A(-,-) B(,) C(-3,-4) D(3,4) 555511、已知A(-3,2),AB=(8,0)，则线段AB中点的坐标是 12、若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线，求x 13、若向量a=(x=3,
9、x2-3x-4)与AB相等地，已知A(-1,2),B(1,2)，则x的值为 A-1 B-1或-4 C4 D1或4 三、线段的定比分点 14、已知A、B、C三点在同一条直线上，且A，B，若点C的横坐标为6，求点C分AB所成的比及点C的纵坐标 3,-9） 11两点，若点P在直线OA上，且OP=点B的坐标为 3917、已知直线l与x轴，y轴分别交于点A、B，则AB中点坐标为(-,) DAOB的重心为221PA，又P是OB的中点，则218、已知三个点A(-2,1),B(1,4),D(4,-3)，点C在AB上，且2AC=CB，连结DC并延长至E，使CE=1DE，则E点的坐标为 4511811） C或(2
10、,) D 33338 A B A13 B15 C4 D17 四、平面向量的数量积 20、已知，a=2,b=3,ab=33，则a与b的夹角等于 30o 21、已知ABCD为菱形，则(AB+BC)(AB-AD)的值为 0 22、已知b=5，且ab=12，则向量a在b方向上的投影为 23、已知向量a与b的夹角为120o，且a=4,b=2， 求a在b方向上的投影 求3a+4b 若向量a+kb与5a+b垂直，求实数k的值 -2，47，19） 41 212 524、已知a、b满足a=1,b=1且(a-b)2=3，则ab= -25、若a+b=a-b，且a与b不共线，则a与b的夹角为 90o 26、已知 a=
11、213,b=(-2,3) ，且ab ，求a的坐标 27、已知a=(-2,-1),b=(l,1)，若a与b的夹角为钝角，则l 的取值范围是 111A(-,2)(2,+) B(2,+) C(-,+) D(-,-) 22228、已知a=(6,0),b=(-5,5)，则a与b的夹角为 135o 1729、已知A(3,2),B(-1,-1)，若点P(x,-)在线段AB的中垂线上，则x= 42五、平移 30、把点A，按 a=(1,2)平移，求对应点A 的坐标(x,y) ） 31、把函数y=2x-12x+7的图象l按a=(-1,2)平移得到l，求l的函数解析式 3332、一个向量把点平移到，它把点平移到 A
12、(2,-1) B C D 33、若向量a使点平移到点，则将函数y=3x2-12x+2的图象，按a平移后9 的解析式为 Ay=3x2 By=3(x-2)2 Cy=3(x-2)2-10 Dy=3(x+2)2+10 34、已知A、B，将AB按向量a=(4,1)平移后的坐标为 六、解斜三角形 35、在DABC中，已知C=45o,A=30o,a=22，求b 36、在DABC中，已知B=45o,b=2,c=1，求a 237、在DABC中，已知B=150o,a=33,c=2，求b 38、在DABC中， A=120o,b=3,c=5，求sinB+sinC (a+b+c)(a+b-c)=3ab，求C 43C=6
13、0o） 739、若三角形的三边长分别为，5，6，则此三角形一定是 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D锐角或钝角三角形 40、在DABC中，若a=2bcosC，则DABC为 A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰三角形或直角三角形 41、在DABC中，SDABC=3,A=60o,b=1，则a的值为 A13 B13 C3 D9 42、已知三点A，B，C 若ABCD为平行四边形，求D点坐标； 若P在直线AB上，且PA=3PB，求P的坐标 求A的大小 10551；P(,)或P(4,)；A=p-arccos） 1024210 43、已知DABC的三个内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量m=(a-c,a-b)，n=(a+b,c) 且m/n 求B 若a=1,b=3，求DABC的面积p3； ） 3244、设函数f(x)=a(b+c)，其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),xR，求函数f(x)的最大值和最小正周期2+2； p） 11
