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1、平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算 一、向量的有关概念 1向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模 2零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的 3单位向量：长度等于1个单位的向量 4平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线 5相等向量：长度相等且方向相同的向量 6相反向量：长度相等且方向相反的向量 二、向量的线性运算 三、向量的数乘运算及其几何意义 1定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下： |a|a|； 当0时，a的方向与a的方向相同；当|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b
2、共线 其中假命题的个数为_ 自主解答 不正确当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线 正确ABDC，|AB|DC|且ABDC. 又A，B，C，D是不共线的四点， 四边形ABCD是平行四边形 反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且AB与DC方向相同，因此ABDC. 不正确两向量不能比较大小 不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线答案 3 由题悟法 1平面向量的概念辨析题的解题方法 准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法 2几个重要结论 (1)向量相等具有传递性，
3、非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关. 1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是_ 解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3. 考点探究二：向量的线性运算 1例2 在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD2DB，CDCACB，则等于_ 3
4、解 CDCAAD，CDCBBD，2CDCACBADBD. 1124又AD2DB，2CDCACBABCACB(CBCA)CACB. 3333122CDCACB，即. 333若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且|BD|BA|，若CDCBCA，则的值为_ 解析：CDCAADCA2ABCA2(CBCA)2CBCACBCA. 2，1.3. 在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识 2若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子： ABCDBCDA；ACBDBCAD； AC
5、BDDCAB.其中正确的有_个 解析：2个 式的等价式是ABBCDACD，左边ABCB，右边DADC，不一定相等；式的等价式是ACBCADBD，ACCBADDBAB成立；式的等价式是ACDCABBD，ADAD成立 考点探究三：共 线 向 量 例3 设两个非零向量a与b不共线 (1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使kab和akb共线 解 (1)证明：ABab，BC2a8b，CD3(ab)， BDBCCD2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB. AB，BD共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线 (2)kab与akb共线，存在
6、实数，使kab(akb)， 即kabakb.(k)a(k1)b. a，b是不共线的两个非零向量，kk10，即k210.k1. 1当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用 2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系 3已知a，b不共线，OAa，OBb，OCc，ODd，OBe，设tR，如果3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由 解：由题设知，CDdc2b3a，CEec(t3)atb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是
7、存在实数k，使得CEkCD，即(t3)atb3ka2kb， 整理得(t33k)a(2kt)b. 因为a，b不共线，所以有t33k0，t2k0，6解之得t. 56故存在实数t使C，D，E三点在一条直线上 51 已知点O为ABC外接圆的圆心，且OAOBCO0，则ABC的内角A等于_ 解析：选A 由OAOBCO0得OAOBOC，由O为ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且CAO60，故A30. 2设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC216，|ABAC|ABAC|， 则|AM|_. 解析：由|ABAC|ABAC|可知，ABAC，则AM为RtABC斜边BC上的中线
8、，因1此，|AM|BC|2. 23设向量e1，e2不共线，AB3(e1e2)，CBe2e1，CD2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为_ 解析：由ACABCB4e12e22CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上 答案： 4设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且OA2imj，OBn ij，OC5ij，若点A，B，C在同一条直线上，且m2n，求实数m，n的值 解：ABOBOA(n2)i(1m)j， BCOCOB(5n)i2j. 点A，B，C在同一条直线上，ABBC，即ABBC.
9、 (n2)i(1m)j(5n)i2j n2(5n)，1m2，m2n，m6，解得或3n3，n.m3，225.如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AEAD，ABa，ACb. 3(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF； (2)求证：B，E，F三点共线 1解：(1)延长AD到G，使ADAG， 2连接BG，CG，得到ABGC，所以AGab， AD2AG2(ab)，AE3AD3(ab)， AF2AC2b，BEAEAB3(ab)a3(b2a)， 11111121BFAFAB2ba2(b2a) 2(2)证明：由(1)可知BEBF，又因为BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线 36设e1，e2是两个不共线向量，已知AB2e18e2，CBe13e2，CD2e1e2. 11(1)求证：A，B，D三点共线； (2)若BF3e1ke2，且B，D，F三点共线，求k的值 解：(1)证明：由已知得BDCDCB(2e1e2)(e13e2)e14e2 AB2e18e2，AB2BD，又AB与BD有公共点B，A，B，D三点共线 (2)由(1)可知BDe14e2，且BF3e1ke2， B，D，F三点共线，得BFBD，即3e1ke2e14e2， 3，得解得k12，k12. k4，
