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1、强烈推荐常见特殊数列求和 阳光家教网 高一化学学习资料 常见特殊数列求和 徐州 伏建彬 前n项和公式都是以正整数为自变量的函数，在熟练掌握等差、等比数列求和方法的基础上，还要会用其他方法求常见特殊数列的和。 一、分解法 有些特殊数列可以分解为基本的等差数列或等比数列，再分别求和。 例1：求数列11111，2，3，nn的前n项和Sn。 4822.解：这个数列可以分解成一个等差数列和一个等比数列之和。 1111111Sn=1+2+3+nn=+ 4824222111-nn(n+1)22n(n+1)1=+=+1-n 12221-2二、错位相减法 有些数列可以把原数列的前n项分别乘以一个适当的因数作出一
2、个辅助数列，它与原数列相减，从而得到Sn所满足的一个关系式，然后解出Sn。 123n，2，3，n的前n项和Sn。 2222123n-1n解：Sn=+2+3+n-1+n 222221作辅助数列：上式两边同时乘以 21123n-1nSn=2+3+4+n+n+1 222222例2：求数列于是-，得 112132nn-1nSn=+-n+1 222222222111111nSn=+2+3+4+n-n+1 2222222Sn-111-n1n22n=-n+1=1-n-n+1 12221-2Sn=2-12n-1-n 2n 评注：设a1，a2，a3，an组成等差数列，b1，b2，b3，bn组成等比数列，那么求
3、学数学 用专页 第 1 页 共 3 页 教数学 用华软 阳光家教网 高一化学学习资料 Sn=aa1a2a3+n或S=a1b1+a2b2+a3b3+anbn都可以考虑用错位相减法求和，b1b2b3bn一般是在原式两边同时乘以等比数列的公比，作辅助数列，然后两式错位相减。这种方法主要来源于等比数列求和公式的推导。 三、裂项法 把数列的每一项都拆成两项的差，拆分后的相邻两项能够相消去，这样所得的结果只剩下首末两项，再化简就是数列的和。 例3：求数列1111，的前n项和Sn。 122334n(n+1)解：an= 111=- n(n+1)nn+11111+ 122334n(n+1) Sn= 111111
4、1+-+-+- 22334nn+11n=1-= n+1n+1=1-评注：凡属mmm，。这种形式的数列，一般都可以用“裂项法”求解。 四、累加法 在推导自然数的n次幂的和的公式时，常用累加法。 例4：求数列12，22，32，n2的前n项和Sn。 解：3=n3+3n2+3n+1 3-n3=3n2+3n+1 23-13=312+31+1 43-33=332+33+1 3-n3=3n2+3n+1 33-23=322+32+1 把上面各等式两边分别相加，得 3-13=3+3+n 3=3-13-3Sn=n(n+1)1-n=n(n+1)(2n+1) 261n(n+1)(2n+1) 6事实上，累加法和裂相法从
5、思路上说都是利用交叉相消的方法求出这类数列的和。 学数学 用专页 第 2 页 共 3 页 教数学 用华软 阳光家教网 高一化学学习资料 特殊数列求和没有一般规律可循，除上面介绍的四种方法以外，还有一些数列求和的特殊技巧，举例如下： 例5：求Sn=7+77+777+7777 解：Sn= =7 97+ 977101-10n23n-n=(10+10+10+10)-n= 991-10=()710n+1-10-9n 81()求特殊数列前n相的和，一般的做法是将原数列转化为若干个容易求和的数列。特别要注意对数列通项进行分解分析，往往能给人以启示，便于找到解题思路。 学数学 用专页 第 3 页 共 3 页 教数学 用华软
