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1、章末复习,第三章 导数及其应用,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握基本初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,知识梳理,题型探究,达标检测,1,知识梳理,PART ONE,1.在xx0处的导数,(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线.,斜率,2.基本初等函数的导数公式,0,nxn1,cos x,sin x,axln a,e
2、x,3.导数的运算法则,f(x)g(x),f(x)g(x)f(x)g(x),4.函数的单调性、极值与导数,(1)函数的单调性与导数如果在(a，b)内，则f(x)在此区间内单调递增；，则f(x)在此区间内单调递减.(2)函数的极值与导数已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极大值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有，则称函数f(x)在点x0处取，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.,f(x)0,f(
3、x)0,f(x)f(x0),极大值,f(x)f(x0),极小值,5.求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有.(2)计算函数f(x)在极值点和，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.,极值点,端点的函数值,2,题型探究,PART TWO,题型一导数几何意义的应用,解f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知a2910，a1或1(舍去).故a1.,(2)求f(x)在x3处的切线方程.,解由(1)得a1.f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.,反
4、思感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由 f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.,跟踪训练1已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为,x01，ke.,题型二函数的单调性与导数,例2已知函数f(x)x2aln x(aR).(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；,因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)
5、0，所以当a4时，x2是一个极小值点.,(2)求f(x)的单调区间.,所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，).,综上，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；,反思感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.,跟踪训练2已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；,解求导得f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立.即3x2a0在R上恒成立，即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调
6、递增，符合题意.所以a的取值范围是(，0.,(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.,解假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立.即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上单调递减，即a3符合题意.所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，).,题型三函数的极值、最值与导数,例3已知函数f(x)x3ax2bxc，过曲线yf(x)上的点
7、P(1，f(1)的切线方程为y3x1，yf(x)在x2时有极值.(1)求f(x)的表达式；,解因为f(x)3x22axb，所以f(1)32ab，故过曲线上P点的切线方程为yf(1)(32ab)(x1)，即y(abc1)(32ab)(x1)，已知该切线方程为y3x1，,因为yf(x)在x2时有极值，所以f(2)0，即4ab12，,所以f(x)x32x24x5.,(2)求yf(x)在3,1上的单调区间和最大值.,解由(1)知f(x)3x24x4(3x2)(x2)，,当x3，2)时，f(x)0；,所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.,反思感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满
8、足极值的定义.(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负.(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.,(1)求a的值；,(2)求函数f(x)的单调区间与极值.,令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去.当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数.所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5，无极大值.,题型四生活中的优化问题,例4某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100
9、元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；,解因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元.又由题意知200rh160r212 000，,(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.,令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去).当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数.,由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时
10、，该蓄水池的体积最大.,反思感悟利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域.(2)求方程f(x)0的所有实数根.(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.,跟踪训练4一家公司计划生产某种小型产品，该产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每销售1万件该产品的收入为4x万元，且每生产1万件国家给予补助 万元(e为
11、自然对数的底数).(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；,解月利润月销售收入月国家补助月总成本，,x22(e1)x2eln x2(x0).,(2)当月生产量在1,2e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润的最大值(万元)及此时的月生产量(万件).(注：月利润月销售收入月国家补助月总成本),当x1,2e时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：,由上表得f(x)x22(e1)x2eln x2在1,2e上的最大值为f(e)，且f(e)e22.即月生产量在1,2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为e22(万元)，此时的月生产量为e万
12、件.,核心素养之逻辑推理,HEXINSUYANGZHILUOJITUILI,导数中不等式证明问题,典例已知函数f(x)xax2ln x(a0).(1)讨论f(x)的单调性；,不妨设(x)2ax2x1(x0，a0)，(*)则关于x的方程2ax2x10的判别式18a.,故f(x)0，函数f(x)在(0，)上单调递减；,方程f(x)0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1x2，,则当x(0，x1)及x(x2，)时，f(x)0，f(x)在(0，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增.,(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)f(x2)32ln 2.,f(x)有极小值
13、点x1和极大值点x2，且x1，x2是方程(*)的两个正根，,f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)22x1x2(ln x1ln x2),f(x1)f(x2)32ln 2.,素养评析(1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值解决.(2)通过对条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明，这正是逻辑推理素养的充分体现.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.已知曲线yf(x)x22x2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是A.(1,3)B.(1，3)C.(2，3)D.(2,3),解析令f(x)2x20，解得x1.
14、又f(1)(1)22(1)23，M(1，3).,1,2,3,4,5,2.如果函数f(x)的图象如图所示，那么导函数yf(x)的图象可能是,解析由f(x)与f(x)的关系可知选A.,1,2,3,4,5,3.体积为16的圆柱，它的半径为 时，圆柱的表面积最小.,2,解析设圆柱底面半径为r，母线长为l.,当r2时，圆柱的表面积最小.,1,2,3,4,5,4.已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为.,3,解析由题意知，f(x)3x2a0(x1)，a3x2，a3，a的最大值为3.,(1)求a的值；,由题意知，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，,1,2,3,4,5,(2)
15、求函数f(x)的极值.,1,2,3,4,5,当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数.故f(x)在x1处取得极小值f(1)3，无极大值.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程yy0f(x0)(xx0).明确“过点P(x0，y0)的曲线yf(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线yf(x)的切线方程”的异同点.2.借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体.3.利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题.,dsfdbsy384y9
16、82ythb3oibt4oy39y409705923y09y53b2lkboi2y58wy0ehtoibwoify98wy049ywh4b3oiut89u983yf9ivh98y98sv98hv98ys9f698y9v698yv98x98tb98fyd98gyd98h98ds98nt98d8genklgb4klebtlkb5k tkeirh893y89ey698vhkrne lkhgi8eyokbnkdhf98hodf hxvy78fd678t9fdu90gys98y9shihixyv78dfhvifndovhf9f8yv9onvkobkw kjfegiudsfdbsy384y982ythb3
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