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1、小学奥数举一反三(三年级),第1讲 找规律,一、知识要点,按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，双数列：2，4，6，8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。,二、精讲精练,【例题1】在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）,【思路导航】在（1）列数
2、中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：12+3=15、15+3=18。在（2）列数中，第2个数比第1个数增加1，第3个数比第2个数增加2，第4个数比第3个数增加3故空格里面的两个数分别为：11+5=16，16+6=22。在（3）列数中，相邻的两个数的积都是3，即每一个数乘以3都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数为：543=162、1623=486。,【练习1】在括号内填上合适的数。（1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）
3、,【例题2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）,【思路导航】在（1）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数两个不同的数列。其中双数列都为2，而单数列是前数比后数大3，根据这一规律，括号里应填的数为：9-3=6、2。在（2）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大3，双数列都是后数比前数大1，根据这一规律，括号里应填的数为：15-3=12、6+1=7。,【练习2】按规律填数。（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（
4、3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）,【例题3】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。1、2、,【思路导航】经仔细观察、分析表格中的数可以发现：1、每一列下面的数与上面的数的差均为4，即9-5=4，14-10=4；11-7=4，16-12=4；13-9=4。依此规律，空格中应填的数为：14+4=18。2、左下角数与右上角数的商与上面数的乘积即为中间数。如824=16；847=14。依此规律，空格中应填的数为：439=12。,【练习3】找出排列规律，在空缺处填上适当的数。1、2、,第2讲 有余
5、除法,一、知识要点,把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数商除数余数。,二、精讲精练,【例题1】68，括号内被除数最大是几？最小是几？,【思路导航】已知商为8、除数为6，则余数最大为5、最小为1，即可求出最大的被除数为6
6、8553，最小的被除数为68149答：被除数最大是53，最小是49。,【练习1】(1)下面题中被除数最大可填_，最小可填_。83(2)下面题中被除数最大可填_，最小可填_。47(3)下题中要使除数最小，被除数应为_。124,【例题2】算式 8 中，被除数最小是几？,【思路导航】题中只告诉我们商是8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。除数最小为2，余数最小为1，那么被除数则为82117。,【练习2】(1)下面算式中，被除数最小是几？4 7 9(2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？3 6,【例题3】算式28 4中，除数和商分别是_和_。,【思路导航】根据“被除数商除数余数”，可以得
7、知“商除数被除数余数”，所以本题中商除数28424。这两个数可能是1和24，2和12，3和8，4和6，又因为余数为4，则除数不得小于4，因此除数可以是24，12，8，6,商分别为1，2，3，4。答：除数和商分别是24，1；12，2；8，3；6，4。,【练习3】（1）下面算式中，除数和商各是几？22 4 65 2 37 7 48 6（2）149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。,【例题4】算式 7 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？,【思路导航】题目中告诉我们除数是7，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为1，2，3，4，5，6。这样被除数就可以求出来了。711
8、8 72216 73324 74432 75540 76648 答：被除数可以是8，16，24，32，40，48。,【练习4】(1)下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？6 5 4(2)算式 9 中，商和余数相等，被除数最大是_。(3)算式 4中，除数和商相等，被除数最小是几？,第3讲 配对求和,一、知识要点,被人称为“数学王子”的高斯在年仅8岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算出了1+2+3+4+99+100的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项
9、与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和（首项末项）项数2 末项首项公差（项数1）项数（末项首项）公差1,二、精讲精练,【例题1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（）,【思路导航】很容易看出这是一个等差数列，公差为1，首项是1，末项是10。依据前面的公式：项数（末项首项）公差1（101）1110 等差数列的和（首项末项）项数2（1+10）10 2 55 答：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10（55）,【练习1】速算。（1）1+2+3+4+5+20（2）1+2+3+4
10、+99+100（3）21+22+23+24+100（4）21+23+25+27+29+31+33（5）312+315+318+321+324,【例题2】有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？,【思路导航】这也是一个等差数列，公差为1，首项是16，项数是10。依据前面的公式：项数（末项首项）公差1 末项（项数1）公差首项 末项（10 1）1 1625 等差数列的和（首项末项）项数2（16 25）10 2 205 答：这堆木材共有205根。,【练习2】（1）体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个
11、座位，这个体育馆东区共有多少个座位？（2）有一串数，第1个数是10，以后每个数比前一个数大4,最后一个数是90，这串数连加的和是多少？（3）有一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？,【例题3】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81,【思路导航】这题相对较复杂些。仔细观察，上列可以变成如下：1000（11 12 13 1415 16 17 18 19 8182 83 84 85 86 87 88）括号里有两个等差数列。一个数列的首项是11，末项是19；另一数列
12、的首项是81，末项是88，公差均为1。项数分别为9，8。依据前面的公式：等差数列的和（首项末项）项数2 两列数的和分别为：（11 19）9 2 135（81 88）8 2 676 则1000（135 676）189,【练习3】（1）1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1（2）1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19（3）2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16,第4讲 加减巧算,一、知识要点,在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟
13、练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。,二、精讲精练,【例题】你有好办法迅速算出结果吗？502+799-298-98,【思路导航】按照“凑整”的方法，502+799-298-98可变为：500+2+800-1-（300-2）-（100-2）=500+800-300-100+2-1+2+2=90
14、0+6-1=905,【练习】（1）308+203-399-97（2）99999+9999+999+99+9（3）1999+199+19（4）375+483+525+617,第5讲 图形个数,一、知识要点,同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。,二、精讲精练,【例题1】数出下图中有多少条线段？,【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方
15、法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。方法二：把图中线段 AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。,【练习1】（1）数出下图中有多少条线段？（2）数出下图中有几个长方形？,【例题2】数出图中有几个角？,【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。方法一：以OA为一边的角有：AO
16、B、AOC、AOD 3个；以OB为一边的角还有：BOC、BOD 2个；以OC为一边的角还有：COD 1个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。方法二：把图中AOB、BOC、COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：AOB、BOC、COD 3个；由2个基本角构成的角有:AOC、BOD 2个；由3个基本角构成的角有：AOD 1个。所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。,【练习2】数出图中有几个角？（1）（2）,【例题3】数出下图中有几个三角形？,【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以PA为边的三角形有：PAB、PAC、PAD、3个；以PB为边的三角形还有：PBC、PBD
17、 2个；以PC为边的三角形还有：PCD 1个。所以，图中共有三角形3+2+1=6（个）。方法二：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，即3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。,【练习3】数出图中共有多少个三角形？（1）（2）,【例题4】数出下图中有多少个长方形？,【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段 CD上有3+2+1=6（条）线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有61=6（个）长方形，而AC上共有2+1=3（条）线段也就有63=18（个）长方形。它的计算公式为：长
18、方形的总数=长边线段的总数宽边线段的总数（3+2+1）（2+1）=18（个）答：图中共有18个长方形。,【练习4】（1）数出下图中有多少个长方形？（2）数出右图中有多少个正方形？,【例题5】有5个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？,【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画出线段图，每一个端点代表一个同学。从上图可以看出，第1个同学要与其余4个同学握手共握手4次；第2个同学还要与其余3个同学握手共握手3次，第3个同学要与其余2个同学握手共握手2次；第4个同学还要与最后1个同学握手共握手1次。所以，一共要握手4+3+2+1=10（次）,【练习5】（1）银海学校三年级有9个班
19、，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？（2）有1，2，3，4，5，6，7，8等8个数字，能组成多少个不同的两位数？,第6讲 植树问题,一、知识要点,爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶随口答道：“27米。”同学们，晶晶答对了吗？这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数总距离间隔长1；在封闭的线路上植树，棵数总距离间隔长。另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头
20、、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。,二、精讲精练,【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？,【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：根据“已经植了9棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是9-1=8（个），每个间隔是3米，所以第一棵和第九棵相距38=24（米），具体列式如下：3（9-1）=38=24（米）答：第一棵和第九棵树相距24米。,【练习1】（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路
21、有多长？（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？,【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？,【思路导航】根据“在路的两侧共栽了14棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了142=7（棵）树，那么从第1棵树到第7棵树之间的间隔是7-1=6（个）。42米长的大路平均分成6段，每段是426=7（米）。列式如下：42（142-1）=42（7-1）=426=7（米）答：相邻两棵树之间的距离是7米。,【练习2】在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了1
22、2把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？,【例题3】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？,【思路导航】我们先求出钢管被锯开了284=7（处），因而被锯开的段数有7+1=8（段）。列式如下：284+1=7+1=8（段）答：这根钢管被锯成了8段。,【练习3】一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？,【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？,【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进
23、行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼”，实际上是说“甲跑3段楼梯与乙跑2段楼梯所用的时间相同。”照这样计算，甲跑到16楼，也就是跑了15段楼梯，应是甲跑3段楼梯所用的时间的5倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑2段楼梯的5倍，也就是这时乙跑了10段楼梯，即他跑到了第10+1=11（楼）。列式如下：（3-1）（16-1）（4-1）+1=25+1=11（楼）答：甲跑到16楼时，乙跑到了11楼。,【练习4】小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第16层时，小
24、红跑到了第几层？,【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？,【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗3006=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是50面。3006=50（面）答：跑道周围插了50面红旗和50面黄旗。,【练习5】（1）有一个正方形水池，周长是200米。如果沿着水池周围每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯中间等距离地装4盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？（2）一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米植一棵樟
25、树，两棵樟树中间又等距离地栽了3棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？,第7讲 简单推理,一、知识要点,数学课上，老师布置了一道题：=28=（）=（）要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。,二、精讲精练,【例题1】下式中，和各代表几？=28=（）=（）,【思路导航】根据=28，我们可以得出=28；由=得到=28-，即=28。则等于284=7；由=可求出=777=21。,【练习
26、1】（1）=18=（）=（）（2）=25=（）=（）（3）=36=（）=（）,【例题2】下式中，和各代表几？=36=4=（）=（）,【思路导航】根据=4可知：如为1份，则是4份，即=4；又根据=36，可以得到4=36，即=9，进一步得到=3，=4=43=12。,【练习2】（1）和各表示几？=16=4=（）=（）（2）想想，填填。=20=（）=（）（3）和各代表几？=16=（）=（）,【例题3】下式中，和各代表几？=16=14=（）=（）,【思路导航】方法一：我们知道等式两边加上相同的数等式仍然成立。故=16可变为：=16 把=14代入上式可得到：1414=16 则=28-16=12，=123=
27、4=14，=14-4-4=6,【思路导航】方法二：=16、=14两式左右分别相减，即=2。那么如果把换成了，则16需要加上2，即=162，那么=（162）3=6，=1662=4。,【练习3】（1）=38=22=（）=（）（2）=52=48=（）=（）（3）=10=12=12=（）=（）=（）,【例题4】下式中，和各代表几？=34=48=（）=（）,【思路导航】按前题思路，下式和上式左右分别相减可得：=14。=34，即（）（）=34，14+14+=34=34-14-14=6；=14，则=14-6=8 答：=8，=6,【练习4】（1）=24=36=（）=（）（2）=54=76=（）=（）（3）=9
28、6=123=（）=（）,【例题5】下式中，、和各代表几？=80=（）=（）=（）,【思路导航】因为2个等于3个，3个又等于4个，所以2个等于4个，那么1个等于2个。在=80中，2个可以用1个替代，就变为=80，而2个又可以用3个替代，也就是=80，所以：=20，=2032=30，=2034=15。,【练习5】（1）=100=（）=（）=（）（2）=40=（）=（）=（）（3）=320=（）=（）=（）,第8讲 算式谜,一、知识要点,一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它成为一道完整的算式。解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算
29、式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字的关系，抓准解题的突破口。,二、精讲精练,【例题1】在下面算式的内，填上适当的数字，使算式成立。,【思路导航】已知被乘数个位是8，积的个位是2，可推出乘数可能是4或9，但积的百位上是7，因而乘数只能是4，被乘数百位是1，那么十位上只能是9。,【练习1】在里填上适当的数，使算式成立。,【例题2】里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？,【思路导航】已知除数和商的某些位上的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积，可知被除数个位为0，再想商十位上的数与6的乘积为一位数，这个数只能
30、是1，这样确定商的十位为1，最后被除数十位上的数为9。,【练习2】在里填上适当的数，使算式成立。,【例题3】在下面中填入适当的数，使算式成立。,【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位8与除数的乘积是48，由此可求出除数为6。再根据商的千位与6的乘积是二十几，于是可求出商的千位是4，因而被除数的万位是2，千位是4，然后可求出商的百位是0，十位是2，被除数的百位是1，十位是6，个位是8。（填法见右）,【练习3】在下面中填入适当的数，使算式成立。,第9讲 添运算符号,一、知识要点,根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦
31、掌握方法，就有取得成功的把握。添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的式子；2如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。,二、精讲精练,【例题1】在下面各题中添上、（），使等式成立。1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10,【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来
32、分析。从结果10想起，最后一个数是5，可以从下面几种情况中想：5=10，5=10，5=10，5=10。（1）从5=10考虑，=5，前4个数必须组成得数是5的算式有：（12）345=10（12）345=10（2）从5=10考虑，=15，前4个数必须组成得数是15的算式有：12345=10（3）从5=10考虑，=2，前4个数必须组成得数是2的算式有：（1234）5=10（1234）5=10（4）从5=10考虑，=50，前面4个数必须组成得数是50的算式，而前面4个数无法组成得数是50的算式。,【练习1】1你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？（1）4 1 2 5=10（2）4 1 2 5=
33、10 2在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。（1）3 4 5 6 8=8（2）3 4 5 6 8=8 3巧添运算符号，使等式成立。（1）3 3 3 3=1（2）3 3 3 3=2（3）3 3 3 3=3,【例题2】拿出都是8的四张牌，添上、或（），使等式成立。你能试一试吗？8 8 8 8=0 8 8 8 8=1 8 8 8 8=2 8 8 8 8=3,【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：（1）等于0的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：88（88）=0 8888=0 88（88）=0 8888=0（2）等于
34、1的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到1，有：（88）（88）=1 88（88）=1 88（88）=1 8888=1 8888=1 8（888）=1（3）等于2的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为1，有：8888=2（4）等于3的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为3个8，有：（888）8=3,【练习2】1.在各数中添上、或（），使算式相等。4 4 4 4=0 4 4 4 4=1 4 4 4 4=2 4 4 4 4=3 4 4 4 4=4 4 4 4 4=5 2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。5 5 5
35、5 5=0 5 5 5 5 5=1 5 5 5 5 5=2 5 5 5 5 5=3,第10讲 文字算式谜,一、知识要点,一般说来，算式都是由一些数字和运算符号组成的，可有些算式却由汉字或英文字母组成，我们称它为文字算式。文字算式是一种数字谜，解答时要注意在同一道题中，相同的文字或英文字母应表示相同的数字，不同的文字或英文字母应表示不同的数字。通过本周的学习，我们可以发现解文字算式谜与添运算符号、填竖式的步骤与方法基本是一样的，都要仔细观察算式的特征，认真分析，正确选择解题的突破口，最后通过尝试找寻正确答案。,二、精讲精练,【例题1】下式中，每个字各代表一个不同的数字，其中“心”代表9，请问其他
36、汉字分别代表哪个数字？,【思路导航】乘数个位与被乘数个位相乘，“心”“心”=99=81，所以“少”=1，乘积就是111111111。根据积，用乘数“心”去逐一乘被乘数，9“中”的积个位数应该是3，所以“中”=7，往前一位进7；9“乐”的积的个位数应是4，“乐”=6，往前一位进6；9“俱”的积个位数应是5，“俱”=5，往前一位进5；9“球”积个位数字应是6，“球”=4，往前一位进4；9“足”的积个位数是7，所以“足”=3，往前一位进3；9“年”的积的个位数是8，“年”=2，往前一位进2；912=11，即：123456799=111111111,【练习1】1.下面（左下）每个字代表不同的数字，这些
37、汉字分别代表几？2如果A、B满足下面算式，它们各代表几？（下中）3下右图各个汉字分别代表几？,【例题2】下面不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。它们各表示几？,【思路导航】由积的个位是2，乘数是3，可推出被乘数个位上“学”是4，43=12，在积的个位上写2，向十位进1；因为积的十位上“学”为4，所以“数”3应为3，推出“数”为1；因为“数”为1，百位上“庚”3末位应为1，因而“庚”为7，千位上532=17，在千位上写7，向万位进1，因而“罗”为5，万位上831=25，在千位上写5，向前一位进2，因而“华”为8。,【练习2】下面各个竖式中的汉字分别代表几？,【例题3】在下面的竖式
38、中，a、b、c、d各代表什么数字?,【思路导航】仔细审题发现千位a9的结果是一位数，于是就可以确定a只能是1。接着思考个位d9=1是不可能的，所以应该是d9等于几十一，于是确定d=9。或者想千位上19=9，所以d一定是9。最后确定剩下的c为8。只有89=72，728=80，积中才会有0。,【练习3】（1）下面（左下）竖式中的字母各代表几？（2）上面（右上）竖式中的字母各代表几？ABC=（）,【例题4】下面算式里，相同的汉字代表同一个数字，不同的汉字代表不同的数字。如果以下3个等式成立：那么，小=（）朋=（）友=（）爱=（）科=（）学=（）小小朋朋=友小小友 爱爱科科=爱学学爱 朋朋朋朋=小小学
39、学,【思路导航】通过观察，我们发现第三个等式最特殊，它是相同的两位数相乘得到千位和百位、十位和个位分别相同的积，逐步试验，1111，2222得不到四位数，然后从3333试，我们发现8888=7744，这样可以得出：朋=8，小=7，学=4。将朋=8、小=7代入第一个算式中得出7788=6776，确定友=6。这样，09中，只剩下9，5，3，2，1，0这几个数字，其中0、1不考虑，试后发现5599=5445，所以爱=5，科=9。,【练习4】下面竖式中的汉字各代表数字几？,【例题5】下面算式中四个字分别代表四个数，你能求出来吗？,新=（）年=（）快=（）乐=（）,【思路导航】从千位上看，千位上得数是2
40、，假设新=2，那么百位上，“新年”不可能等于0，因而“新”不可能是2，只能是“新=1”。从百位上看，新年进来的数=10，我们可判断“年”=7或8。而“新年=8”，即使个位进来2，十位上也不可能向百位进2，因而“年”=8，十位上“新年”=18=9，而个位上已向十位进了1，因而“快”=0，最后从“新年快乐”=11中可推出“乐”=1。即：新=（1）年=（8）快=（0）乐=（1）,【练习5】1下面（左下）算式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请问这些汉字各代表几？2上面（上中）各字母分别代表几？3上面（上右）竖式中每个字母代表不同的数字，想想下面的算式怎样写？,第11讲 填数游戏,
41、一、知识要点,填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。,二、精讲精练,【例题1】在下图中分别填入19，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？,【思路导航】我们可以这样想，把19中间的5填到中心的内，剩下八个数，一大一小，搭配成和都是10的四组，这样两条直线上五个数的和都是5102=25。如果把1填在中心的内，这样剩下的八个数可以一大一小搭配成和都是11的四组，这时两条直线上五个数的和是1112=23
42、。想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？,【练习1】1.在下图（左下）中填入210，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图（中上图）中7朵花里，使每条直线上三个数的和相等。3.把6、8、10、12、14、16、18七个数填在右上图的中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是32。,【例题2】把数字18分别填入下图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。,【思路导航】题目中所给8个数字的和是36，题中要使每个五边形上五个数的和等于20，那么两个五边形上数字的总和是202=40。两个五边形上的数字总和比8个数的和多4036=4，多4的
43、原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。18中只有1和3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1、一个填3。20（13）=16，16可以分成268和457，所以本题应该这样填：,【练习2】1.将数字16填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。2.把18这八个数，分别填入上右图的各个内，使得每一横行、每一竖行的三个数的和是13。,【例题3】在图中填入29，使每边3个数的和等于15。,【思路导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了两次，多算了一次，所以4边数的和是154=60，所给的数的和是23456789=44，所以4个顶点数的
44、和是6044=16。我们可选出3742=16填入4个顶点。想一想，有没有其他填法？,【练习3】1.把18填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。2.将19这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于19，且有一个顶点的数字为1。3.把110这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？,【例题4】把18填入下图内，使每边上三个数的和最大。求最大的和是多少？,【思路导航】要使每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为：（8765）243214=62
45、4 和不是整数，说明四条边上的总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。所以，最大的和为：（622）4=15,【练习4】1.把310填入下图（左下）中，使每边上三个数的和最大，求最大的和是多少？2.把18填入中上图中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？3.将数字18填入右上图中，使横行中的数之和等于竖行中的数之和，这个和可以是多少？,【例题5】在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和都是21。,【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数，恰好每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21是
46、单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，要使和为单数，8要填入中间部分，如右图。,【练习5】1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和是15。2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是27。3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11.使每个圆中4个数的和是33。,第12讲 周期问题,一、知识要点,在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，如：人的十二生肖，一年有春夏秋冬四个季节，一个星期七天等等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题
47、。这类问题一般要利用余数的知识来解答。在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，然后利用除法算式求出余数，最后根据余数得出正确的结果。,二、精讲精练,【例题1】小丁把同样大小的红、白、黑珠子按先2个红的、后1个白的、再3个黑的的规律排列（如下图），请你算一算，第32个珠子是什么颜色？,【思路导航】从上图可以看出，珠子是按“两红一白三黑”的规律重复排列，即6个珠子为一周期。326=5（组）2（个），32个珠子中含有5个周期多2个，所以第32个珠子就是重复5个周期后的第2个珠子，应为红色。,【练习1】1.如图，算出第20个图形是什么？2.“数学
48、趣味题数学趣味题”依次重复排列，第2001个字是什么？3.把38面小三角旗按下图排列，其中有多少面白旗？,【例题2】2001年10月1日是星期一，问：10月25日是星期几？,【思路导航】我们知道，每星期有7天，也就是说以7天为一个周期不断地重复。从10月1日到10月25日经过251=24天，247=3（星期）3（天），说明24天中包括3个星期还多3天。所以从10月1日开始过3个星期，最后一天还是星期一，从这最后一天起再过3天就应是星期四。,【练习2】（1）2001年5月3日是星期四，5月20日是星期几？（2）2001年8月1日是星期三，8月28日是星期几？（3）2001年6月1日是星期五，9月
49、1日是星期几？,【例题3】100个3相乘，积的个位数字是几？,【思路导航】这道题我们只考虑积的个位数字的排列规律。1个3.积的个位是3；2个3相乘积的个位数字是9；3个3相乘积的个位数字是7；4个3相乘积的个位数字是1；5个3相乘积的个位数字是3可以发现，积的个位数字分别以3、9、7、1不断重复出现，即每4个3积的个位数字为一周期。1004=25（个），因此100个3相乘积的个位数字是第25个周期中的最后一个，即是1。,【练习3】（1）23个3相乘，积的个位数字是几？（2）100个2相乘，积的个位数字是几？（3）50个7相乘，积的个位数字是几？,【例题4】有一列数按“4327918643279
50、18643279186”排列，那么前54个数字之和是多少？,【思路导航】上面一列数中，从第1个数字开始重复出现的部分是“43279186”，周期数是8。要求出这列数字的和，就要先求出这列数里共有多少组“43279186”。548=6（组）6（个）因此，前6组数字和是（43279186）6=240，余下6个数字之和是432791=26。所以，这列数中前54个数字之和是24026=266。,【练习4】（1）一列数按“294736294736294”排列，那么前40个数字之和是多少？（2）有一列数按“9453672945367294”排列，那么前50个数字之和是多少？（3）有一列数“72316523
