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1、2023年3月14日星期二,1,第三章 直线的投影,下一页,返回,上一页,3-1 直线的投影一、直线投影图的画法 直线的空间位置是由线上任意两点决定的。画直线的投影时，可根据“直线的投影一般还是直线”的性质，在直线上任取两点，画出该点的投影后，再将其同面投影连接起来即为直线的投影。同面投影：几何形体在同一投影面上的投影。比较A、B两点坐标值，可知AB的空间位置。,2023年3月14日星期二,2,Z,Y,A,B,直线的三面投影,作图：1.作出直线上两点的投影2.用直线分别连接其各同面投影。,2023年3月14日星期二,3,二、直线相对于一个投影面的的投影特性,a,a,a,b,b,(b),直线的投
2、影特性,1ABP 直线 实形性,2ABP 直线 类似性,3ABP 直线 重影性或积聚性,2023年3月14日星期二,4,三、直线在三投影面体系中的投影特性直线对投影面的相对位置可分为三类（1）不平行于任何一个投影面的直线，称为一般位置直线（2）平行于一个投影面的直线，称为投影面平行线（3）垂直于一个投影面（平行于另外两个投影面）的直线 称为投影面垂直线(2)、(3)为特殊位置直线，下面分别予以讨论。,2023年3月14日星期二,5,投影面平行线,平行于一个投影面 倾斜于另外两个投影面。平行线分三种：,2023年3月14日星期二,6,水平线（/面、倾斜和面）,投影特性：1、正面和侧面投影比实长短
3、，ab OX;ab OYW 2、ab=AB 反映实长，倾斜于OX轴，反映、角。,2023年3月14日星期二,7,正平线（/面、倾斜和面）,投影特性：1、水平和侧面投影比实长短，ab OX;a b OZ 2、a b=AB 反映实长,倾斜于OX轴，反映、角,2023年3月14日星期二,8,侧平线（/面、倾斜和面）,投影特性：1、正面和水平投影比实长短，ab OZ;ab OYH 2、ab=AB 反映实长,倾斜于OZ轴，反映、角,2023年3月14日星期二,9,投影面平行线的投影特性（1）直线在所平行的投影面上的投影表达实长（2）其它投影平行于相应的投影轴（3）表达实长的投影与投影轴所夹的角等于空间直
4、线对相应投影面的倾角。,2023年3月14日星期二,10,投影面垂直线,垂直于一个投影面 平行于另外两个投影面。垂直线分三种：,2023年3月14日星期二,11,投影特性：1、水平投影 a b 积聚 成一点 2、a b/OZ;a b/OZ；a bOX;a b OY 3、a b=a b=AB 反映实长,铅垂线（面、/面、/面）,2023年3月14日星期二,12,正垂线（面、/面、/面）,投影特性：1、正面投影ab积聚 成一点。2、ab/OY;ab/OY；ab OX;ab OZ 3、ab=ab=AB 反映实长。,2023年3月14日星期二,13,侧垂线（面、/面、/面）,投影特性：1、侧面投影 a
5、b 积聚 成一点 2、ab/OX;ab/OX；ab OYH;ab OZ 3、ab=ab=AB 反映实长。,2023年3月14日星期二,14,投影面垂直线的投影特性：（1）直线所垂直的投影面上的投影 积聚一点，有积聚性（2）其它两面投影反映实长，且垂直于相应的投影轴,下一页,返回,上一页,2023年3月14日星期二,15,从属于V 面的直线,2023年3月14日星期二,16,从属于V 投影面的铅垂线,2023年3月14日星期二,17,从属于OX轴的直线,Z,X,a,b,a,O,YH,YW,a(b),b,2023年3月14日星期二,18,一般位置直线,倾斜于三个投影面的直线。直线与它的水平投影、正
6、面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面、的倾角，用、表示。,2023年3月14日星期二,19,一般位置直线的投影特性,投影特性：1、a b、ab、a b均小于实长 2、a b、ab、a b均倾斜于投影轴 3、不反映、实角,2023年3月14日星期二,20,直角三角形法求解实长、倾角。1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角,3-2 一般位置线段的实长 及其对投影面的倾角,2023年3月14日星期二,21,1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角,2023年3月14日星期二,22,2 求直线的实长及对正面投影面的夹角
7、 角,|YA-YB|,|YA-YB|,2023年3月14日星期二,23,3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角,2023年3月14日星期二,24,直线实长,直线实长,直线实长,水平投影长,Z,正面投影长,侧面投影长,Y,X,距离差,实长,投影,2023年3月14日星期二,25,用直角三角形法求线段的实长,X,O,a,b,a,b,b0,b01,Zb-Za,Yb-Ya,X,O,a,b,a,b,a,b,2023年3月14日星期二,26,例：已知EF=30，试完成如图所示的ef,下一页,返回,上一页,f,Z,f,2023年3月14日星期二,27,例 已知正平线AB30mm、30、AB距面20mm、A
8、点在B点的右上方，试作该直线的两面投影。,X,O,b,a,b,a,2023年3月14日星期二,28,试用直角三角形法确定直线AB的实长及对投影面V的倾角。,例题,a,b,a,b,X,O,2023年3月14日星期二,29,投影长度ab,投影长度ab,例题 已知线段AB30毫米及其投影ab和a，试求出ab。,a,a,b,2023年3月14日星期二,30,例题 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。,2023年3月14日星期二,31,3-3 直线上点的投影特性和直线的迹点,a,b,c,一、直线上点的投影特性 点在直线上，点的各个投影必在该直线的同面投影上，并且符合点的投影特性。直线上的点分割直线之比
9、，在其投影后保持不变。利用上述性质，可以在直线上求点和分割线段成定比。,2023年3月14日星期二,32,2023年3月14日星期二,33,10,a,e,f,b,例1,E点在AB直线上,F点不在AB直线上,判断 E、F点是不是在直线AB上。,2023年3月14日星期二,34,例2 已知点C在AB上，求c，c。,X,YH,YW,O,Z,a,b,a,b,b,a,2023年3月14日星期二,35,例3 求点C 使AC：CB=1：4 如图：解：因AC：CB=1：4 根据直线上点的投影特性可得ac：cb=ac：cb=1：4 这样只要将ab ab 分成5等分后取一份即可求得c，c。,1,5,下一页,返回,
10、上一页,B0,2023年3月14日星期二,36,例4 判断点D 是否在直线AB 上 若D在AB 上，那么应有ad：db=ad：db 因为 aB1=ab aD1=ad，D1d不平行B1b 所以 D不在AB上。,下一页,返回,上一页,2023/3/14,试判断K点是否在直线EF上。,f,e,e,f,k,k,f,e,f,e,e,f,E,F,K,k,k,k,X,O,直接判断,2023年3月14日星期二,38,例题5 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。,2023/3/14,已知K点在直线AB上，试求作K点的H面投影。,2023年3月14日星期二,40,二、直线的迹点 直线和投影面的交点叫迹点。直线
11、和水平面的交点叫水平迹点，通常用M(m，m，m”)表示 和正面的交点叫正面迹点，N(n，n，n”)和侧面的交点叫侧面迹点。L(l，l，l”)在两投影面系中的直线，最多只有两个迹点。迹点是直线和投影面的共有点，它的投影同时具有直线上的点和投影面内的点的投影特性。根据这些特点可以求迹点的投影。,2023年3月14日星期二,41,X,a,a,m,b,M(m),n,b,N(n),2023年3月14日星期二,42,例4 如图所示、求作直线AB 的迹点 M，N 的投影图 解：若M 为水平迹点，由于M 在H 面内，m 必与M 重合；ZM=0m必在X轴上，又因为 M在AB上，m必在ab 或其延长线上，m 必在
12、ab 或其延长线上。同理 N为V 面内的点 n表达N 的位置，且yN=0 n必是X轴与ab 或其延长线的交点。作图方法是：（1）将ab 或ab 延长与X 轴交于m 或 n（2）在ab 或ab 上求出m 或 n,下一页,返回,上一页,n,N(n),2023年3月14日星期二,43,3-4 两直线的相对位置,一、两直线平行二、两直线相交三、两直线交叉,2023年3月14日星期二,44,两直线的相对位置,V,a,b,d,c,a,a,b,b,d,c,c,e(f),A,A,A,B,B,B,D,C,C,C,D,E,F,平行两直线,相交两直线,交叉两直线,2023年3月14日星期二,45,一 两直线平行,5
13、,规则：若空间两直线平行，则它们的各同面投影平行。,同向、同比例,2023年3月14日星期二,46,6,不平行,判断空间两直线是否平行。,平行,2023年3月14日星期二,47,X,O,Y,Z,V,f,e,f,e,e,f,C,D,d,c,c,d,d,c,7,E,F,2023年3月14日星期二,48,基本作图,8,过已知点A作直线AB平行于已知直线CD。,b,b,2023年3月14日星期二,49,二 相交两直线,交点K的三面投影符合点的投影规律。,2023年3月14日星期二,50,10,2023年3月14日星期二,51,基本作图,过已知点作直线与已知直线相交。,11,答案有多少个？,关键问题是什
14、么？,交点。,无数个。,2023年3月14日星期二,52,12,答案有多少个？,无数个。,举 例,如图所示，作一条与V面相距20mm并与已知直线 CD相交的直线AB。,x,2023年3月14日星期二,53,d,d,k,k,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作CD的正面投影,2023年3月14日星期二,54,三 交叉两直线,空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线。,交叉两直线的同面投影可能相交，但不符合空间点的投影规律。,2023年3月14日星期二,55,2023年3月14日星期二,56,X,O,Y,Z,V,f,e,f,e,e,f,C,D,d,c,c,d,d,c,7,E,F,2023年3月1
15、4日星期二,57,判断交叉两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,前遮后、上遮下、左遮右,上遮下,前遮后,2023年3月14日星期二,58,交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。,1,1,2,2,3,3,4,4,(),(),2023年3月14日星期二,59,基本作图,15,能否过A点随意作线呢？,答案有多少个？无数个。,2023年3月14日星期二,60,例题 判断两直线的相对位置,2023年3月14日星期二,61,例题 判断两直线的相对位置,1d,1c,
16、2023年3月14日星期二,62,例：判断两直线的相对位置。,交点的连线垂直于OX，且两直线为一般位置直线，由两面投影可判断为相交两线。,ab与cd在一直线上，而abcd，两直线平行。,CD为侧平线，利用点分割线段成比例进行判断。为交叉两直线。,2023年3月14日星期二,63,例：已知：两直线AB、CD的投影及点M的水平投影m，试作一直线MNCD并与直线AB相交于N点。,n,n,m,作图：过m作mncd，并与ab交于n；由n求出n；过n作nmcd，求得m。,2023年3月14日星期二,64,例题 判断两直线重影点的可见性,2023年3月14日星期二,65,3-4 直角投影定理,一、垂直相交的
17、两直线的投影定理一：垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二：相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,2023年3月14日星期二,66,一、垂直相交的两直线的投影,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,2023年3月14日星期二,67,二、交叉垂直的两直线的投影定理三：相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四：两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。,2023年3月14日
18、星期二,68,二、交叉垂直的两直线的投影,AB垂直于MN,且AB平行于H面,则有ab mn,2023年3月14日星期二,69,17,两垂直直线的判断,关键是：,两垂直直线中必须有一条直线是投影面的平行直线。,2023年3月14日星期二,70,18,基本作图,过已知点，作直线垂直于已知直线。,a,b,a,b,k,k,l,答案有多少个？,o,x,2023年3月14日星期二,71,例题 过点A 作EF 线段的垂线AB。,垂直相交,2023年3月14日星期二,72,例题 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。,2023年3月14日星期二,73,19,注意：,距离直线只有平行于投影面时才能反映实长。,
19、举 例,求作点到直线的距离。,2023年3月14日星期二,74,两平行直线的距离,8,投影面垂直线,2023年3月14日星期二,75,9,投影面平行线,两平行直线的距离,实距,2023年3月14日星期二,76,例6：已知：直线EF平行CD并与直线AB相交，F点在H面上。求所缺的投影,a,a,b,b,c,c,d,d,O,X,e,e,f,K,2023年3月14日星期二,77,例题 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。,2023年3月14日星期二,78,掌握点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。点分割直线成定比定比定理。,
