椭圆习题.docx

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1、椭圆习题椭圆习题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 22A53030 B7 C或7 D或7 66622xyxy1设F1、F2分别是椭圆C:2+2=1(ab0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中8椭圆2+2=1(ab0)的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的abab点在y轴上，若PF1F2=30，则椭圆的离心率为 圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( ) A2525 B C D 23399已知两点F1(-1,0)、F(1,0)，且F1F2是PF则动点P的轨迹方程是( ） 1与PF2的等

2、差中项，A1133 B C D 3636x2y22已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点坐标为(3,0),|AM|=1,且PMAM=0,则|PM|的最小值是2516x2y2x2y2x2y2x2y2+=1 B+=1 C+=1 D+=1 A16916124334x2y2a210设F1、F2分别是椭圆2+2=1(ab0)的左、右焦点，若在直线x上存在P，使线段PF1abc的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A0, A22 B23 C11 D22 4已知点M(3，0)，椭圆2223320,1 B C D ,12323x2y1与直线yk(x3)交于点A、B，则ABM的周长为( ) 42

3、x2y2+2=1 (b0)的左、11已知焦点在x轴的椭圆C:右焦点分别为F1,F2，直线AB过右焦点F2，3b0C的标准方程为 和椭圆交于A,B两点，且满足AF2=3F2B， F1AB=60，则椭圆A4 B8 C12 D16 22x2y22222225若直线mxny4与O：xy4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点xyx3yxx249=1 C+2y=1 D+y2=1 +=1 B+A323332个数是( ) A至多为1 B2 C1 D0 22xy+=1，则以点M(-1,2)为中点的弦所在直线方程为( ) 1216A3x-8y+19=0 B3x+8y-13=0 C2x-3y+8=0 D

4、2x+3y-4=0 6已知椭圆7已知实数4,m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线12已知离心率为e的双曲线和离心率为若F1PF2=2的椭圆有相同的焦点F1、F2，P是两曲线的一个公共点，2p3，则e等于( ) x+y2=1的离心率为 m2A.556 B. C. D.3 222第 1 页 共 10 页 第II卷 填空题 x2y21+=1的离心率是，则m的值为 . 13若椭圆24m18(本小题满分12分) 设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4,点M在椭圆上，。 求椭圆E的方程； 设动直线L交椭圆E于A、B两点，且OAOB，求OAB的面积的取值范围。 x2y2222214已知P为椭圆1上的一点

5、，M，N分别为圆(x3)y1和圆(x3)y4上的点，2516 则|PM|PN|的最小值为_ 22xy2215已知命题p：实数m满足m12a0)，命题q：实数m满足方程1表示的 m-12-m 焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为_ 22xy16圆x2+y2=r2(r0)经过椭圆2+2=1(ab0)的两个焦点F1,F2，且与该椭圆有四个不同 ab 交点，设P是其中的一个交点，若DPF1F2的面积为26，椭圆的长轴长为15，则a+b+c= . 三.解答题 x2y2217已知椭圆C:2+2=1(ab0)经过点A(2, 1)，离心率为，过点B(3, 0) ab2 的直线l与椭圆C

6、交于不同的两点M,N 求椭圆C的方程； 求BMBN的取值范围. 第 2 页 共 10 页 19(本小题满分12分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点 x2y2120(本小题满分12分)已知椭圆C的方程为2+2=1 (ab0)，其离心率为，经过椭圆焦点且垂2ab直于长轴的弦长为3 求椭圆C的方程； 1设直线l：y=kx+m (k)与椭圆C交于A、B两点，P为椭圆上的点，O为坐标原点，且满2足OP=OA+OB，求OP的取值范围 (1)求证：AB1BF； (2)求证：AEBF； (3)棱CC1上是否存在点F，使BF平面AEP，若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理

7、由 第 3 页 共 10 页 13x2y221(本小题满分12分)已知椭圆C:2+2=1(ab0)过点(1,)，且离心率e. 22ab求椭圆方程； 若直线l:y=kx+m(k0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点22(本小题满分12分)如图所示，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e1，斜率为2的直线l过点A(2,3) 21G(,0)，求k的取值范围。 8(1)求椭圆E的方程； (2)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由 第 4 页 共 10 页 参考答案 1A 试题分析：点P在椭圆C上，线

8、段PF1的中点在y轴上，PF2F1F2，PF1F2=30， x2y2点P(m，n)在椭圆1的内部，故所求交点个数是2故选B 496C 试题分析：设弦的两端点为A，B， b2a=3，e2+23e-1=0，0e1，e=3，故选A 2c333考点：椭圆的简单性质 2B 试题分析：A点为椭圆的右焦点，由于PMAM=0，PMAM.当PA最小时，PM最小， x12y12+=11216代入椭圆得， 22x2+y2=11216两式相减得PA的最小值为a-c=5-3=2，此时PM=4-1=3. 考点：椭圆的性质. 3D 22y-y22(x1-x2)(x1+x2)( y- y2)(y1+y2)= +1=0，整理得

9、11216x1-x2322，其方程为y-2=，整理得2x-3y+8=0故选C 33弦所在的直线的斜率为x2y2+=1，所以可设点(x,y)的试题分析：利用等比数列的定义即可得到m=6的值，通过分类讨论及利用圆锥曲线的标准方程和圆试题分析：由于椭圆2x+3y=1264c锥曲线的离心率e=的计算公式即可得出 a代入得：x+2yx=6cosq,y=2sinq(qR)考点：椭圆的性质以及直线与椭圆的关系在解决弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求 7C x+2y=6cosq+4sinq=22(中scosqcfs+cqosfi)o 22试题分析：画出如下示意图可知0M为PF1F2的中位线，PF2=2OM

10、=2b，PF1=2a-PF2=2a-2b，又M22222222为PF1的中点，MF1=a-b，在RtOMF1中，由OM+MF1=OF1,可得(a-b)+b=c=a-b可得2a=3b，进而可得离心率e=c5= a3因为直线过椭圆的左焦点(3，0)，所以ABM的周长为|AB|AM|BM|4a8，故选B 5B 由题意知：4m+n222， 即m+nn，由 m+n=2a1，m-n=2a2得m=a1+a2，n=a1-a2.又F1PF2=p3，13故e1 3324c2=m2+n2-mn=a12+3a22， 2a123a2a233当b2c0时，y0，此时kQF2不存在，此时F2为中点，c2c，得e综上得，e2

11、+2=4，即ccc3321 11A 136+2=4，解得e=，选C. e2222考点：椭圆和双曲线的标准方程和几何性质. 如图所示，设BF2=x,则AF2=3x，由椭圆的定义，得AF1=23-3x，BF1=23-x，133或0在DAF1B中，由余弦定理得，(23-x)2=(23-3x)2+(4x)2-2(23-3x)(4x)cos60，解得16 322试题分析：分类讨论：当椭圆的焦点在x轴时，a=4，b=m，椭圆的离心率e=x=232432234343，在DAF由余弦定理得，4c2=(解得c=1，)+-2cos600，1F2中，333392224-m1=，22x2y2+=1 故b=a-c=2，

12、故椭圆方程为3222解得m=3；当椭圆的焦点在y轴时，a=m，b=4，椭圆的离心率e=m-41=，解得m2m=16 3考点：椭圆的简单性质 第 6 页 共 10 页 147 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127 1513， 3822x2y2y2由a0，m7am12a0，得3am4a，即命题p：3am0.由1由题干 “过点B(3, 0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N”设直线l的方程为y=k(x-3)， m-12-m2-m表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m13a11313必要条件，所以3

13、或3解得a，所以实数a的取值范围是， 38384a4a221613+y=k(x-3),33，即命题q：1m0，解得-1k1.设M，N的坐标分别为(x1,y1)考点：椭圆的定义与性质. ，(x2,y2)，则12k2x1+x2=1+2k2，18k2-6x1x2=1+2k22，y1=k(x1-3)，y2=k(x2-3)=BMBN=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k)x1x2-3(x1+x2)+93+3k2=1+2k2x2y2+=1；17(1)(2, 3. 633333Q-1k1+20, 即8k2-m2+404分 x4km1+x2=-1+2k22m2xx=-8121+2k2y=(kxkx2k

14、2(2m2-8)4k2m22m2-8k221y21+m)(2+m)=kx1x2+km(x1+x2)+m=1+2k2-1+2k2+m=1+2k222OA,需使x2m-8m-8k21x2+y1y2=0,即1+2k2+1+2k2=0, 2所以3m2-8k2-8=0, 即m2=8k+83 7分 将它代入式可得k20,+)8分 P到L的距离为d=|m|1+k2S=12|AB|d=121+k2|x|m|1-x2|又1+k2 =12m2(x1+x2)2-4x1x2m2=8k2+8及韦达定理代入可得S=81+k2将334k4+4k2+110分 当k0时S=8k231+84k+4k2+131+14=4k2+1

15、k2+4由4k2+1k24,+) 故S=831+1(8,4k2+132212分 k2+4当k=0时, S=83 当AB的斜率不存在时, S=83 , ,综上S83,2213分 考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系。 要使点评：求椭圆的标准方程是解析几何的基本问题，涉及直线与椭圆的位置关系问题，常常运用韦达定理，本题属于中档题。 19见解析见解析P是CC1的中点 (1)证明：连结A1B，CD1，AB1A1B，AB1BC，A1BBCB， AB1平面A1BCD1，又BF平面A1BCD1，所以AB1BF. (2)证明：取AD中点M，连结FM，BM，AEBM， 又FMAE，BMFMM，A

16、E平面BFM，又BF平面BFM，AEBF. (3)解：存在，P是CC1的中点易证PEAB1，故A、B1、E、P四点共面 由(1)(2)知AB1BF，AEBF，AB1AEA，BF平面AEB1，即BF平面AEP. x24+y220133=1 3OP2。 第 8 页 共 10 页 试题分析：由已知可得e2=所以3a2=4b2 a-b1， =a2422试题分析：由题意椭圆的离心率 b23又 = a2解之得a2=4,b2=3 e=c1= a=2c b2=a2-c2=3c2 a2x2y2椭圆方程为2+2=1 2分 4c3cx2y2故椭圆C的方程为+=1 5分 43y=kx+m, 由x2y2消y化简整理得：

17、(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0， =1.+34D=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=48(3+4k2-m2)0 设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)， x0=x1+x2=-8km6m 8分 ,y=y+y=k(x+x)+2m=012123+4k23+4k23231又点(1,)在椭圆上 2+22=1 c2=14分 24c3cx2y2+=1 6分 椭圆的方程为43x2y2=1+设M(x1,y1),N(x2,y2) 由4 3y=kx+m消去y并整理得(3+4k)x+8kmx+4m-12=0 8分 直线y=kx+m与椭圆有两个交点 222

18、22x0y0=1 由于点P在椭圆C上，所以 +4316k2m212m2+=1，化简得4m2=3+4k2，经检验满足式 从而2222(3+4k)(3+4k)D=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)0，即m24k2+3 8km4km3mMNP(-,)10分 中点的坐标为3+4k23+4k23+4k211设MN的垂直平分线l方程：y=-(x-) k83m14km12=-(-)Qp在l上 即4k+8km+3=0 223+4kk3+4k81m=-(4k2+3)11分 8k又x1+x2=-22又|OP|=x0+y0=64km36m +22(3+4k)(3+4k2)222234m2(16k2+9)

19、16k2+9=4-. =22224k+3(3+4k)4k+312因为k，得34k34， 2313321，故3OP 12分 (4k2+3)21222 4将上式代入得 4k+322064k考点：椭圆的标准方程，平面向量的线性运算，直线与椭圆的位置关系。 点评：中档题，确定圆锥曲线的标准方程，往往利用几何特征，确定a,b,c,e得到关系。曲线关系问题，5555往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题利用韦达定理，简化了计算过程。 即k或k- k的取值范围为(-,-)U(,+)12分 有10101010x2y255+=1;(-,-)U(,+). 21431010考点：椭圆的简单性质；直

20、线与椭圆的综合应用；中点坐标公式；直线垂直的条件。 点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判第 9 页 共 10 页 定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等y02x01， 价转化等数学思想方法 由解得：x02，y03， 所以点R与点A是同一点，这与假设矛盾， 22xy故椭圆E上不存在关于直线l对称的相异两点 +1 221612不存在，见解析 x2y2解：(1)设椭圆E的方程为2+21(ab0)， ab由题意e22c149，2+21， a2ab2又cab， 解得：c2，a4，b23， x2y2+1 椭圆E的方程为1612(2)假设椭圆E上存在关于直线l对称的相异两点P、Q，令P(x1，y1)、Q(x2，y2)，且PQ的中点为R(x0，y0) PQl， kPQ1y2-y1， 2x2-x1x12y12+=1,1612又 22x2+y2=1,1612x22-x12y22-y12+=0 两式相减得：161216(y2-y1)1612x2+x1()， 1223y2+y112(x2-x1)2x0， y03即又R(x0，y0)在直线l上， 第 10 页 共 10 页