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1、概率论与数理统计复习题2及答案第二章 习题 1下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ 352311(1) (2) 0.50.30.20.70.10.1 (3) 111112223230122LnLnL122n (4)11111LL22L2L23L解 是 0.7+0.1+0.11，所以它不是随机变量的分布列。 1111131+1+L+L=,所以它不是随机变量的分布列。 2232323411为自然数，且n0,=1，所以它是随机变量的分布列。 2n=122nnn2设随机变量x的分布列为：P(x=k)=k,k=1,2,3,4,5，求(1)P(x=1或x=2); 1515(2P(x) ； (3) P(1
2、x2)。 22121=; 解 (1) P(x=1或x=2)=+15155151(2) P(x)=P(x=1)+P(x=2)=; 2251(3) P(1x2)=P(x=1)+P(x=2)=. 523 解 设随机变量x的分布列为P(x=i)=C,i=1,2,3。求C的值。 322解 C+32+3323i，所以C=1=27。 384 一个口袋中装有m个白球、n-m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了x个白球，求x的分布列。 解 设“x=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则x的分布列为： P(x=k)=m(m-1)L(m-k+1)(n-m),k=0,1,L,m.
3、n(n-1)L(n-k)6 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0p1)，设x为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求x的分布列。 解P(x=k)=qk-1p+pk-1q,k=2,3,L，其中q=1-p。 1-(1+x)e-xx07 设随机变数x的分布函数为F(x)=，求相应的密度函数，x00并求P(x1)。 解：d1-(1+x)e-x=xe-x，所以相应的密度函数为 dxxe-xp(x)=0x0 x0P(x1)=F(1)=1-2。 e9 随机变数x的分布函数为F(x)=A+Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。 pp解：因为limF(x)=A+B(-)=0， limF(x)=
4、A+B=1 x-x+22所以 A=11111,B=，因而 F(x)=+arctgx,p(x)=F(x)=。 2p2pp(1+x2)x10 已知随机变数x的密度函数为p(x)=2-x00x11x2 其它 求相应的分布函数F(x)； 求P(x1.3),P(0.2x1.2)。 x00x12ydy=x0x102解：F(x)=1 x12ydy+(2-y)dy=2x-x-112118P(x1.3)=1-P(x1.3)=1-F(1.3)=0.245 P(0.2x1.2)=F(1.2)-F(0.2)=0.66P(x0.5)=F(0.5)=12 某城市每天用电量不超过一百万度，以x表示每天的耗电率，它具有分布密
5、度为 12x(1-x)20x0.8)=12x(1-x)2dx=0.0272 0.81 P(x0.9)=12x(1-x)2dx=0.0037 0.91因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。 13 设随机变数x服从上的均匀分布，求方程4x2+4xx+x+2=0有实根的概率。 解：当且仅当 (4x)2-16(x+2)0 x2或x-1。成立时，方程4x2+4xx+x+2=0有实根。不等式的解为： 因此，该方程有实根的概率 p=P(x2)+P(x-1)=P(x2)=5213dx=。 5514 某种电池的寿
6、命x服从正态N(a,s2)分布，其中a=300，s=35 (1) 求电池寿命在250小时以上的概率； 求x，使寿命在a-x与a+x之间的概率不小于0.9。 x-300-1.43) 解：P(x250)=P(35x-3001.43)=F(1.43)0.9236； =P(35xx-300x P(a-xxa+x)=P(-0,b0是两个常数，且a+b=1。证明 F(x)=aF1(x)+bF2(x) 也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？ 证：因为F1(x)与F2(x都是分布函数，当x10x00F2(x)=x01这时 01+xF(x)=21x001显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。
