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1、概率统计课程第4次作业参考解答第四次作业 Remark 批改第4次作业(注明日期Apr.11)，发现全班45位同学都交了本次作业，赞一个！并希望保持下去！ 本次作业的质量普遍很高！很多同学得到了A级评定，存在问题主要有几个小细节没有说理到位. 参考解答 习题1.4 P.51-53. 1110. 设A，B是两事件，P(A)=P(B)=3,P(AB)=6，1求P(AB)=6. 解 先由乘法公式，得 111P(AB)=P(B)P(AB)=. 3618再由概率的加法公式得 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 11111=+-=， 3318181118=7P(AB)=P(AB)=于是 P(AB)
2、= 11-P(B)12P(B)1-31-1 . 16. 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍. (1)求任取一个零件是合格品的概率； (2)如果取出的零件是不合格品，求它是第二台车床加工的概率. 解 记 A“任取一个零件是合格品”， B“零件是第一台车床加工的”. 则由已知有 12P(B)=，P(B)=， 33P(AB)=1-0.03=0.97，P(AB)=1-0.06=0.94， (1)利用全概率公式，得 P(A)=P(B)P(AB)+P(B)P(AB) 2
3、1=0.97+0.94 33=0.96. (2)利用贝叶斯公式得，如果取出的零件是不合格品，它是第二台车床加工的概率为 2 P(BA)=P(B)P(AB)P(B)P(AB)+P(B)P(AB)10.063= 210.03+0.0633=0.5. 32. 设P(A)=p，P(B)=1-e,证明： p-epP(AB)1-e1-e. 证 由于ABA，ABW，利用概率的单调性得 P(AB)P(A)，P(AB)1. 于是，一方面，由条件概率定义得 P(AB)P(A)pP(AB)=P(B)P(B)1-e. 另一方面，利用条件概率定义和乘法公式得 P(AB)=P(AB)P(A)+P(B)-P(AB)P(A)
4、+P(B)-1p-e=P(B)P(B)P(B)1-e. 所以 p-epP(AB)1-e1-e. 3 习题1.5 P.59-60. 2. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求： (1)两粒种子都能发芽的概率； (2)至少有一粒种子能发芽的概率； (3)恰好有一粒种子能发芽的概率. 解 记 A“从甲批取的一粒种子能发芽”， B“从乙批取的一粒种子能发芽”， 易见A与B独立，且由已知有 P(A)=0.8，P(B)=0.9， 于是 (1)记 C=“两粒种子都能发芽” 则 P(C)=P(AB) =P(A)P(B) =0.80.9=0.72； )=P(AB) (2)P(
5、至少有一粒种子能发芽 =P(A)P(B)-P(AB) =P(A)P(B)-P(A)P(B) =0.8+0.9-0.80.9 =0.98； 4 )=P(ABAB) (3)P(恰好有一粒种子能发芽 =P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.9)+(1-0.8)0.9 =0.26. 12. 每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99的把握击中飞机，需要几门高射炮？ 解 设需要n门高射炮才能以99的把握击中飞机，又记 Ai“第i门高射炮击中飞机”，i=1,2,L,n 易见，A1，A2，An独立，且由已知有 P(Ai)=0.3，i=1,2,L,n. 于是，依题意，要 P(A1UA2ULUAn)0.99， 即 1-P(A1UA2ULUAn)0.99， 也即 n1-(1-0.3)0.99， 0.7n0.01, 验证可知，当n13时能符合要求，故至少需要13门高射炮才能以99的把握击中飞机. 5
