概率论与数理统计课后习题答案.docx

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1、概率论与数理统计课后习题答案第一章事件与概率 1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。 (1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。 (2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解 (1)记9个合格品分别为正1,正2，L，正9，记不合格为次，则 (正2，正4)，L，(正2，正9)，(正2，次)， W=(正1，正2)，(正1，正3)，L，(正1，正9)，(正1，次)，(正2，正3)，(正3，正4)，L，(正3，正9)，(正3，次)，L，(正8，正9)，(正8，次)，(正9，次) A=(正1，次)，(正2，次

2、)，L，(正9，次) (2)记2个白球分别为w1，w2，3个黑球分别为b1，b2，b3，4个红球分别为r1，r2，r3，r4。则W=w1，w2，b1，b2，b3，r1，r2，r3，r4 () A=w1，w2 () B=r1，r2，r3，r4 1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。 (1) 叙述ABC的意义。 (2)在什么条件下ABC=C成立？ (3)什么时候关系式CB是正确的？ (4) 什么时候A=B成立？解 (1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2) ABC=C 等价于CAB，表示全系运动员

3、都有是三年级的男生。 (3)当全系运动员都是三年级学生时。 (4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。 1.3 一个工人生产了n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品。用Ai表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。解 (1) IAi; (2) IAi=UAi; (3) UAi(IAj); i=1nnnnni=1i=1i=1j=1ji(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为UAiAj； i,j=1ijn1.4 证明下列各式： (1)AB=BA; (2)AB

4、=BA (3)(AB)C=A(BC); (4)(AB)C=A(BC) (5)(AB)C=(AC)(BC) (6) IAi=UAi i=1i=1nn证明显然，和的证法分别类似于课文第1012页式和(1.6)式的证法。 1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为A82=87。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”11A5=236个样本点。于是包含A32+2A32369=。

5、 87141.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。 P(A)=5解样本点总数为3=10。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件A“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，3于是P(A)=。 101.7 一个小孩用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的，问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解显然样本点总数为13!，事件A“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含3!2!2!

6、2!个样本点。3!2!2!2!48 =13!13!1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于910-1=89个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为 17P(A)= 891.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为所以P(A

7、)=97。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位A97乘客离开电梯”。所以包含A个样本点，于是P(A)=7。 9791.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？ 949解用A表示“牌照号码中有数字8”，显然P(A)=，所以 1000010949P(A)=1-P(A)=1-=1- 10000101.11 任取一个正数，求下列事件的概率： (1)该数的平方的末位数字是1； (2)该数的四次方的末位数字是1； (3)该数的立方的最后两位数字都是1； 1解 (1)

8、答案为。 5(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为42= 10544(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含102个样本点。用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a=7，因此A所包含的样本点只有71这一点，于是。 1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的

9、情形。解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有531种接法，同样对尾也有531种接法，所以样本点总数为(531)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有531种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为42。所以A包含的样本点数为(531)(42)，于是P(A)=(531)(42)8= 15(531)2(2) 2n根草的情形和(1)类似得 1

10、.13 把n个完全相同的球随机地放入N个盒子中。如果每一种放法都是等可能N+n-k-2的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有k个球的概率为n-k，0kN+n-1nn Nn-1N-m-1m(2)恰好有m个盒的概率为，NN+n-1n-nmN-1 (3)指定的m个盒中正好有m+j-1N-m+n-j-1，1mn-jj个球的概率为m-1N+n-1nN,0jN. 解略。 1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。 3解所求概率为P(A)= 5n-111.15 在DABC中任取一点P，证明DABP与DABC的面积之比大于的概率为2

11、。 nn1与DABC的面积之比大于解截取CD=CD，当且仅当点P落入DCAB之内时DABPn21CD2DABC有面积CDn-11n=，因此所求概率为P(A)=。 =22DABC的面积CD2nnCD21.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当11242-232-222220x-y2,0y-x1。因此所求概率为P(A)=0.121 2241.17 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求： (1) x2

12、位于x1与x3之间的概率。 (2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。 111-3132=1 解 (1) P(A)= (2) P(B)=3121.18 在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为a,b,c，求三角形与平行线相交的概率。解分别用A1,A2,A3表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然P(A1)=P(A2)=0.所求概率为P(A3)。分别用Aa,Ab,Ac,Aab,Aac,Abc表示边a,b,c，二边ab,ac,bc与平行线相交，则P(A3)=P(AabAacAbc).显然P(Aa)P(Aab

13、)+P(Aac)，P(Ab)=P(Aab)+P(Abc)，P(Ac)=P(Aac)+P(Abc)。所以 P(A3)=211(a+b+c)=(a+b+c) P(Aa)+P(Ab)+P(Ac)=2pdpd21.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。 1.20 甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求

14、甲或乙先取到白球的概率。 b个678解w1表示白，w2表示黑白，w3表示黑黑白，wb+1表示黑L黑白， a则样本空间W=w1，w2，wb+1，并且P(w1)=， a+bbabb-1a， P(w3)=， P(w2)=a+ba+b-1a+ba+b-1a+b-2P(wi)=bb-1b-(i-2)aL a+ba+b-1a+b-(i-2)a+b-(i-1)b!a(a+b)(a+b-1)LaP(wb+1)=甲取胜的概率为P(w1)+P(w3)+P(w5)+ 乙取胜的概率为P(w2)+P(w4)+P(w6)+ 1.21 设事件A,B及AB的概率分别为p、q及r，求P(AB)，P(AB)，P(AB)，P(AB

15、) 解由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)得 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=p+q-r P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=r-q ，P(AB)=r-p P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-r 1.22 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)=1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2); (2) 1-P(A1)-P(A2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)+P(A2). 证明 (1) P(A1A2)=P(A1A2)=1-P(A1A2)=1-P(A1)-P(A2)+P(A1A2) (2) 由(1)和P(A1A2)0得第一个不等

16、式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。 1.23 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)+P(AC)-P(BC)P(A) 证明 P(A)PA(BC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC) P(AB)+P(AC)-P(BC) 1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比： (1)只订甲报的； (2)只订甲、乙两报的； (3)只订一种报纸的； (4)正好订两种报纸的； (5)至少订一种

17、报纸的； (6)不订任何报纸的。解事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。 (1) P(ABC)=P(A-(ABAC)=P(A)-P(ABAC)=30% (2) P(ABC)=P(AB-ABC)=7% (3) P(BAC)=P(B)-P(AB)+P(BC)-P(ABC)=23% P(CAB)=P(C)-P(AC)+P(BC)-P(ABC)=20% P(ABC+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14% (5) P(A+B+C)=90% (6) P(ABC)=1-P(

18、A+B+C)=1-90%=10% 1.26 某班有n个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解用Ai表示“第i张考签没有被抽到”， i=1,2,L,N。要求P(UAi)。 i=1NN-1P(Ai)=NNnN-2，N-N，P(AiAj)=P(A1LAN)=NnnN=0 nnNNN-1N-11-1P(Ai)=(-1) 11i=1NNNN-22-1NN-2-P(AiAj)=-=(-1)2N2N， 1iNnnN-i所以P(UAi)=(-1) Ni=1i=1i-1NNn1.27 从n阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元

19、素的概率是多少？解n阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为a1i1a2i2Lanin，当且仅当1,2,L,n的排列(i1i2Lin)中存在k使ik=k时这一项包含主对角线元素。用Ak表示事件“排列中ik=k”即第k个主对角线元素出现于展开式的某项中。则 (n-2)!(n-1)!P(Ai)=1in P(AiAj)=(1i0)，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，(lp)r-lpe。证明：一个母鸡恰有r个下一代的概率为r!解用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则 P(B)=P(Ak)P(B|Ak)=k=rlke-lkk=rpr(1-p)k-r k!r(lp)r

20、-ll(1-p)k-r(lp)r-ll(1-p)=ee =er!r!(k-r)!k=r(lp)r-lp=e r! 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解用Ak表示“任选一名射手为k级”， k=1,2,3,4，B表示“任选一名射手能进入决赛”，则P(B)=P(Ak)P(B|Ak)=40.9+80.7+70.5+10.2=0.645 k=14202020201.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生

23、来的话，迟到的概率分别是结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 111、，而乘飞机不会迟到。4312解用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。则 P(A|B)=P(A1)P(B|A1)=1 1P(A)P(B|A)kkk=1421.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则AB、AB及A-B都与C独立。证明 P(AB)C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC) =P(AB)P(C) PABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C) P(A-B)C)=P(A-AB)C)=P(AC-ABC)=P

24、(A-B)P(C) 1.38 试举例说明由P(ABC)=P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)=P(A)P(B)一定成立。解设W=w1,w2,w3,w4,w5，P(w1)=P(w2)= P(w3)=P(w4)=P(A)=P(B)=P(C)=118，P(w5)=， 646415，A=w1,w2，A=w1,w3，A=w1,w4 则 641151+=， 646441 P(ABC)=P(w1)=P(A)P(B)P(C) 641但是P(AB)=P(w1)=P(A)P(B) 641.39 设A1,A2,L,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)=pk(1kn)，求下列事件的概率： (1) n个事件

25、全不发生； (2) n个事件中至少发生一件； (3) n个事件中恰好发生一件。解 (1) P(IAk)=P(Ak)=(1-pk) k=1k=1k=1nnn(2) P(UAk)=1-P(IAk)=1-(1-pk) k=1k=1k=1nnn(3) PU(AkIAj)=(AkIAj)=pkC(1-pj). k=1j=1jkk=1j=1jkk=1j=1jknnnnnn1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B)。解一方面P(A),P(B)0，另一方面P(A)P(B)=P(AB)=0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B)=0. 1.41

26、一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率 (1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。 5解 (1)从5个人任选2人为O型，共有2种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：52320.460.400.110.130.0168 2522(2) 0.460.400.1557 3(3) (1-0.03)50.8587 1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.

27、6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k=1,2,L，B表示“击中飞机”。则P(Ak)=0.6，k=1,2,L。 (1) P(A1A2)=1-P(A1A2)=1-0.42=0.84 (2) P(A1LAn)=1-P(IAk)=1-0.4n0.99 , nk=1nlg0.015.026 lg0.4取n=6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。 1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次

28、的概率。解用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n+m-1次试验中失败了m次”， C表示“第n+m次试验成功” n+m-1n-1m则 P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=mp(1-p)p n+m-1nm =p(1-p)m1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴的概率。解用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”，用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”， C,D分别表示“第2n-r次在甲盒取”，“第2n-r次在乙盒取”， A0BrC表示取了2n-r次火柴，且第2n-r次是从甲盒中取的，即在前2n

29、-r-1在甲盒中取了n-1，其余在乙盒中取。所以 2n-r-11P(A0BrC)=n-12n-112n-r1 2由对称性知P(ArB0C)=P(A0BrD)，所求概率为： 2n-r-11P(A0BrCArB0D)=2P(A0BrC)=n-122n-r-1第二章离散型随机变量 2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ 352311(1) (2) 0.50.30.20.70.10.1 (3) 111112223230122LnLnL122n (4)11111LL22L2L23L解是 0.7+0.1+0.11，所以它不是随机变量的分布列。 1111131+1+L+L=,所以它不是随机变量的

30、分布列。 2232323411n为自然数，且0,=1，所以它是随机变量的分布列。 2n=122nnn2.2 设随机变量x的分布列为：P(x=k)=k,k=1,2,3,4,5，求(1)P(x=1或x=2); 1515(2P(x) ； (3) P(1x2)。 22121解 (1) P(x=1或x=2)=+=; 15155151(2) P(x)=P(x=1)+P(x=2)=; 2251(3) P(1x2)=P(x=1)+P(x=2)=. 522.3 解设随机变量x的分布列为P(x=i)=C,i=1,2,3。求C的值。 322解 C+332，所以C+=1332i=27。 382.4 随机变量x只取正

31、整数N，且P(x=N)与N2成反比，求x的分布列。解根据题意知P(x=N)=C2N分布列为P(x=N)=6pN222Cp，其中常数C待定。由于2=C所以C=62，即x的=1，6pN=1N，N取正整数。 2.5 一个口袋中装有m个白球、n-m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了x个白球，求x的分布列。解设“x=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则x的分布列为： P(x=k)=m(m-1)L(m-k+1)(n-m),k=0,1,L,m. n(n-1)L(n-k)2.6 设某批电子管的合格品率为31，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第x44次为

32、首次测到合格品，求x的分布列。 1解 P(x=k)=4k-13,k=1,2,L. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以x表示取出球的取大号码，求x的分布列。 k-12解 P(x=k)=,k=3,4,5. 532.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0p0)k=0,1,2,L。由于le-l-l=l22e-l,得l1=2,l2=0。24-22-2e=e。所以P(x=4)=4!32.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。解设x为该种商品

33、当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(xx)0.999。查普哇松分布的数值表，得x16。 2.12 如果在时间t内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解设x为时间t内通过交叉路口的汽车数，则 (lt)k-lt P(x=k)=e(l0),k=0,1,2,L k!t=1时，P(x=0)=e-l=0.2，所以l=ln5；t=2时，lt=2ln5，因而 P(x1)=1-P(x=0)-P(x=1)=(24-ln25)/250.83。 2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出

34、现在每一页上。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。 1解在指定的一页上出现某一个错误的概率p=，因而，至少出现三个错误的概率为 5005001499 k500500k=3500k500-k5001499=1-k500500k=02k500-k利用普哇松定理求近似值，取l=np=500151-e-1=1-0.080301 2ek=0k!21=1，于是上式右端等于 500214 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装100+x个产品，其中有k个次品，则要求x,使 100+xk100

35、+x-k0.90.030.97 ， kk=0x3k-3利用普哇松分布定理求近似值，取l=(100+x)0.033，于是上式相当于0.9e，查普k=0k!x哇松分布数值表，得x=5。 2.15 设二维随机变量(x,h)的联合分布列为： P(x=n,h=m)=lnpm(1-p)n-mm!(n-m!)e-l(l0,0p0， 1若x+h为偶数，问取什么值时x与z独立？又P(x=0)=P(h=0)=1-p0，定义z=p0若x+h为奇数解P(z=1)=P(x=0)P(h=0)+P(x=1)P(h=1)=(1-p)2+p2 P(z=0)=P(x=0)P(h=1)+P(x=0)P(h=1)=2p(1-p)

36、而P(x=1,z=1)=P(x=1,h=1)=p2，由P(x=1,z=1)=P(x=1)P(z=1)得p=1 2 2.22 设随机变量x与h独立，且P(x=1)=P(h=1)=独立，但不相互独立。证明P(z=1)=P(x=1)P(h=1)+P(x=-1)P(h=-1)=P(z=-1)=P(x=1)P(h=-1)+P(x=-1)P(h=1)=1 21，定义z=xh，证明z,x,h两两21 2因为P(x=1,z=1)=P(x=1,h=1)=1=P(x=1)Pz=1) 41P(x=1,z=-1)=P(x=1,h=-1)=P(x=1)Pz=-1) 41P(x=-1,z=1)=P(x=-1,h=-1)=P(x=-1)P(z=1) 41P(x=-1,z=-1)=P(x=-1,h=1)=P(x=-1)P(z=-1) 4所以z,x相互独立。同理h与z相互独立。但是P(x=1,h=1,z=1)P(x=1)P(h=1)P(z=1)，因而z,x,h不相互独立。 2.23设随机变量x与h独立，且只取值1、2、3、4、5、6，证明x+h不服从均匀分 11证明设P(x=k)=pk,P(h=k)=qk,k=1,2,L,6。若P(x+h=k)=1,k=2,3,L,12，则 111P(x+h=2)=p1q1= (1) 111P(x+h=7)=p1q6+p2q5+L+p6q1= (

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