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1、清华大学出社流体力学课后答案流体力学 1-1解：设：柴油的密度为，重度为；40C水的密度为0，重度为0。则在同一地点的相对密度和比重为： d=rg，c= r0g0r=dr0=0.831000=830kg/m3 g=cg0=0.8310009.8=8134N/m3 1-2解：r=1.2610106-3=1260kg/m3 g=rg=12609.8=12348N/m3 DV1-3解：bp=-VDVDp=-VDpbp=-DVVEp=0.011.96109=19.6106N/m2 DV1-4解：bp=-V100010-6=12.510-9Dp=4105=2.510-9m2/N Ep=1bp=0.410
2、9N/m2 1-5解：1）求体积膨涨量和桶内压强 受温度增加的影响，200升汽油的体积膨涨量为： DVT=bTV0DT=0.000620020=2.4(l) 由于容器封闭，体积不变，从而因体积膨涨量使容器内压强升高，体积压缩量等于体积膨涨量。故： DVTDp=-V0+DVTbp=-DVTV0+DVTEp=2.4200+2.4140009.8104=16.27106N/m22）在保证液面压强增量0.18个大气压下，求桶内最大能装的汽油质量。设装的汽油体积为V，那么：体积膨涨量为： DVT=bTVDT 体积压缩量为： DVp=DpEp(V+DVT)=DpEpV(1+bTDT) 因此，温度升高和压强
3、升高联合作用的结果，应满足： Dp V0=V(1+bTDT)-DVp=V(1+bTDT)1-EpV=V0Dp(1+bTDT)1-Ep=200(1+0.000620)1-4140009.8100.18105=197.63(l) m=rV=0.71000197.6310-3=138.34(kg) 1-6解：石油的动力粘度：m=石油的运动粘度：n=281000.1=0.028pa.s m0.028=3.1110-5m2/s r10000.940100=0.4St=410-5m2/s -51-7解：石油的运动粘度：n=石油的动力粘度：m=rn=0.8910004101-8解：t=m1-9解：t=m=0
4、.0356pa.s udu=1.147=mu110.001=1147N/m2 0.51=162.5N/m2 (0.12-0.1196)22F=pdLt=3.140.11960.14162.5=8.54N d=0.065(D-d)第二章 2-4解：设：测压管中空气的压强为p2，水银的密度为r1，水的密度为r2。在水银面建立等压面1-1，在测压管与容器连接处建立等压面2-2。根据等压面理论，有 pa=r1gh+p2 p1+r2g(H+z)=p2+r2gz 由式解出p2后代入，整理得： p1+r2g(H+z)=pa-r1gh+r2gz h=pa-p1-r2gHr1g136009.80.745-1.5
5、104-10009.81136009.8=0.559mm(水银柱)2-5解：设：水银的密度为r1，水的密度为r2，油的密度为r3；h1=1.6，h2=0.3，h=0.4，h3=0.5。根据等压面理论，在等压面1-1上有： p0+r2g(h1+h2+h3)=r1gh3+pap0=r1gh3+pa-r2g(h1+h2+h3)=136009.80.5+1.001310-10009.8(1.6+0.3+0.5)5=1.39105Pa在等压面2-2上有： p0+r2gh1=r2gh+r3gH+p0H=r2h1-r2hr38001000(1.6-0.4)=1.5m2-6解：设：甘油的密度为r1，油的密度为
6、r2，h=0.4。根据等压面理论，在等压面1-1上有： p0+r2g(H-h)=r1gDh+p0H=h+ r1Dh12600.7=0.4+=1.26mr27002-7解：设：水银的密度为r1，油的密度为r2。根据等压面理论，当进气关1通气时，在等压面1-1上有： p0+r2gH1=r1gDh1+p0 当进气关2通气时，在等压面1-1上有： +r2gH2=r1gDh2+p0 p0式-式，得： r2g(H1-H2)=r1g(Dh1-Dh2)g2=r2g=r1g(Dh1-Dh2)H1-H2=r1g(Dh1-Dh2) aH2=r1gDh2r1gDh2Dh2a= r2gg2Dh1-Dh22-8解：设：水
7、银的密度为r1，热水的密度为r2，锅炉内蒸汽压强为p1，大气压强为p0。根据等压面理论，在等压面1-1上有： p1=r1gh2+p0 在等压面2-2上有： p1+r2gz2=r2gz1+p0 将式代入，得： p0+r1gh2+r2gz2=r2gz1+p0 h1=z1-z2=r1h2 r22-9解：设：水银的密度为r1，水的密度为r2。根据等压面理论，在等压面1-1上有： pA+r2gZA+r1gh=pB+r2g(ZA+h-1) pA-pB=r2g(ZA+h-1)-r2gZA-r1gh=r2g(h-1)-r1gh=10009.8(0.5-1)-136009.80.5=-0.7154105Pa2-
8、10解：设：水银的密度为r1，油的密度为r2。根据题意，有： pA=r2gZA+p2 pB=r2g(ZA+Dh)+p3 根据等压面理论，在等压面1-1上有： p2=r1gDh+p3 将式代入，得： pA=r2gZA+r1gDh+p3 将-，得： pA-pB=(r1-r2)gDh=(1000-920)9.80.125 =98Pa2-11解：设：水的密度为r1，油的密度为r2。根据题意，有： pA=r1g(ZB+Dh)+p2 pB=r1gZB+r2gDh+p2 pA-pB=(r1-r2)gDh=(1000-920)9.80.125 =98Pa2-12解：设：手轮的转数为n，则油被压缩的体积为： D
9、V=-p4d2nt 根据压缩性，有： DVpbP=-V=4DpDpVd2ntn=DpVbPp4=2501053004.7510-10d2tp4=22.68 120.22-13解：设：水银的密度为r1，水的密度为r2。根据等压面理论，在等压面1-1上有： p+r2gz=r1gh+p0p=r1gh+p0-r2gz 当测压管下移Dz时，根据压缩性，在等压面1-1上有： p+r2g(z+Dz)=r1gh+p0h=p+r2g(z+Dz)-p0r1gr1gh+p0-r2gz+r2g(z+Dz)-p0r1gr1gh+r2gDzr1gr2Dzr1=h+2-14解：建立坐标如图所示，根据匀加速直线运动容器中相对
10、静止液体的等压面方程，有： -rgz-ax=c 设x=0时，自由界面的Z坐标为Z1，则自由界面方程为： z=z1-agx 设x=L时，自由界面的Z坐标为Z2，即： z2=z1-agLz1-z2=agLa=g(z1-z2)L=ghL=9.80.050.3=1.633m/s2 2-15解：根据题意，容器在Z方向作匀加速运动。建立坐标如图所示，根据匀加速直线运动容器中相对静止液体的压强方程，有： dp=razdzp=razZ+c 当Z=0时，p=p0。则 p=razZ+p0 1）容器以6m/s2匀加速向上运动时，az=9.8+6=15.8，则： p=100015.81+1105=115800Pa 2
11、）容器以6m/s2匀加速向下运动时，az=9.8-6=3.8，则： p=10003.81+1105=103800Pa 3）容器匀加速自由下落时，az=9.8-9.8=0.0，则： p=10000.01+1105=100000Pa 4）容器以15m/s2匀加速向下运动时，az=9.8-15=-5.2，则： p=-10005.21+1105=94800Pa 2-16解：建立坐标如图所示，根据匀速旋转容器中相对静止液体的液面等压面方程，有： z=z0+1w22gr2 式中r=0时，自由界面的Z坐标为Z0。 1)求转速n1 由于没有液体甩出，旋转前后液体体积相等，则： p11w242Dh1=2przd
12、r=2pZ0D+D 48816g02D/2h1=Z0+1w216g1w216gD2 Z0=h1-D2 当式中r=R时，自由界面的Z坐标为H，则： H=z0+1w28gD2 将式代入，得： H=h1-1w216gD2D+=21w28gD2w=n1=16(H-h1)g16(0.5-0.3)9.80.32=18.667rad/s60w2p=6018.6672p=178.25r/min 2)求转速n2 当转速为n2时，自由界面的最下端与容器底部接触，z0=0。因此，自由界面方程为： z=1w22g2r2 当式中r=R时，自由界面的Z坐标为H，则： H=1w22g2R2w2=1R2gH=10.1529.
13、80.5=20.87rad/s n2=60w22p21w2=6020.872p2=199.29r/min h2=16gD=120.872169.80.32=0.25m 2-17解：建立坐标如图所示，根据题意，闸门受到的液体总压力为： P=rg12H2B=10009.8121.521.5=16537.5N 在不考虑闸门自重的情况下，提起闸门的力F为： F=mP=0.716537.5=11576.25N 2-18解：建立坐标如图所示。闸板为椭圆形，长半轴b=根据题意，总压力P为： 12sin450d=12短半轴a=d，12d。P=pabrgycsin450=p0.3闸板压力中心为： 0.62850
14、9.85=16654N pyP=yC+JCXyCS1=5sin450=Hsin450+4Hab3=1Hsin450+sin450+80.625=7.077mpab4Hb2=1H0sin450+8Hsin45sin450d2sin450在不考虑闸板自重的情况下，提起闸板的力F为： H151-d)P7.077-+0.6yP-(1665400sin45sin4522F=11941N d0.62-19解：建立坐标如图所示。油罐端部的投影为园形，直径为D=2.54m。根据题意，总压力P为： P=rgZcp2.54pD2=7009.8+0.22.542=51097.4N 424压力中心为： pZP=ZC+
15、JCXyCS=D2+0.2+64D4=1DDp2+0.2D24+0.2+16D2+0.22D21=2.54+0.2+16=1.744m2.542+0.222.5422-20解：1）求液面高度： H=Vp4=1000D2p4=4.9736m 162设下圈高度为dz，受到的压力为： T=p0Ddz+rgHDdz 2）求下圈受到的拉应力 s=T2edz=p0Ddz+rgHDdz2edz=p0D+rgHD2e2）求下圈壁厚e 根据强度理论，有ss，则： ep0D+rgHD2s=0.0810516+8009.84.97361621.176108=2.6310-3m 2-21解： 建立坐标如图示。总压力的
16、作用点的 z坐标为： ZP=ZC+12JCXZCBH112 1h-HBH21H2BH3=h-H+=h-1H+1212h-H2闸门能自动打开，要求 1h-0.4ZP=h-H +12H2h-2H211H-0.2H-0.233h=1.333m 11H-0.4-0.4222-22解： 1）求上半球受到的液体总压力 根据压力体理论，上半球受到的液体总压力为： 2pP=10009.8(1+1)p12-13=41050N 3上半球受到的液体总压力即为螺栓受到的总拉力。 2-23解：设：油面蒸汽压为p0，油的密度为r。建立坐标如图所示。 1）A-A截面上的作用力 Dp2PZ=p0DL+rgDL+0.2-DL2
17、8p=136009.80.3682.29.6+7209.82.29.6(1.1+0.2)-2.229.6 8=1035873+64983=1100856N2）B-B截面上的作用力 DPX=p0DL+rg+0.2DL22.2=136009.80.3682.29.6+7209.8+0.22.29.6 2=1035873+193730=1229603N2-24解：根据题意，得 rgHp42d2+mg=rgp4d12(H-Z) mg+rgH=p4d12Z0.1009.8+7509.8=7509.8p40.120.15rgp4(d212-d2)p4p40.12-0.022()d2 =1.059m 2-2
18、5解：根据题意，得 rgV+p0p4d2+rgd2H2=mg+rgp4d2H1+pABp4mg+rgp0-pAB=p4d2(H1-H2)-rgVp44d230.1512(8500-1000)9.8p+10009.8p0.1(5-2)342 =1p0.124=45937.47Pa真空度为： Hs=p0-pABrg=45937.4710009.8=4.688m 真空度大于4.688m，球阀可打开。 2-26解：根据题意，得： rgV+pd2h=mg 4h=m-rVrp4=0.025-7001010-6700d2p4=0.08185m 0.0222-27解：设：木头的密度为r1，水的密度为r。根据题
19、意，得 (r-r1)gdLn-=mg 4mg10000n=10.39 pp(r-r1)gd2L(1000-800)9.80.2521044p取n=11 第三章 补充题： 1在任意时刻t流体质点的位置是x=5t，其迹线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方向的分量是多少？ 2已知速度场ux=yz+t，uy=xz+t，uz=xy。试求当t=0.5时在x=2，y=1，z=3处流体质点的加速度。 3已加欧拉方法描述的流速为：ux=xt，uy=y。试求t=0时，过点处的加速度。 7已知不可压缩流场的流函数y=3xy-y，试求证流动为无旋流动并求相应的势函数。 8给定拉格朗日流场：x=ae-2t/
20、k2322，y=bet/k，z=cet/k，其中k为常数。试判断：是否是稳态流动；是否是不可压流场；是否是有旋流动。 9已知不可压缩流体的压力场为： p=4x3-2y2-yz2+5z(N/m2) 若流体的密度p1000kgm，则流体质点在(3，1，-5)位置上的加速度如何？ 10理想不可压缩均质流体作无旋运动，已知速度势函数： 3j=-2tx+y+z2222在运动过程中，点(1，1，1)上压力总是p1117.7kNm。求运动开始20s后，点(4，4，2)的压力。假设质量力仅有重。 11不可压缩流体平面射流冲击在一倾斜角为=600的光滑平板上，如图所示。若喷嘴出口直径d=25mm，喷射流量Q=0
21、.0334m/s，试求射流沿平板两侧的分流流量Q1和Q2，以及射流对平板的作用力。 3补充题答案： 1解：因流体质点的迹线xy=25，故：y=25x=5t-2 =-10t-3ux=xt=10t，ax=2xt2=10，uy=yt，ay=2yt2=30t-4 2解：根据欧拉方法，空间点的加速度为： duxdt=uxt+uxuxx+uyuxy+uzuxz=1+(yz+t)0+(xz+t)z+xyy=1+xz2+xy2+ztduydt=uyt+uxuyx+uyuyy+uzuyz=1+(yz+t)z+(xz+t)0+xyx=1+yz2+x2y+ztduzdt=uzt+uxuzx+uyuzy+uzuzz=
22、0+(yz+t)y+(xz+t)x+xy0 =y2z+x2z+xt+ytt=0.5时在x=2，y=1，z=3处流体质点的加速度为： duxdtduydtduydt=1+xz2+y2+zt=1+232+12+305=22.5 ()()=1+yz2+x2+zt=1+132+22+30.5=15.5 ()()=zx2+y2+(x+y)t=322+12+(2+1)05=16.5 ()()3解：根据欧拉方法与拉格郎日方法的转换关系，有： dxdt=xtlnx=1212t+cx=c1e2 t2dydt=ylny=t+cy=c2et 当t=0时，过点求t1时，位于(1，l，1)的流体质点及其加速度和迹线 流
23、体质点的拉格郎日变数为a=1e，b=e，c=1。该流体质点的速度和加速度为 ux=xtyt=ae=t1ee=1，ax=1e2xt2=aet=2yt21ee=1 1euy=-be-t=-e=-1，ay=be-t=e=1 uz=zt=0，az=t-12zt2=0 迹线方程为：x=e，y=e-t+1，z=1；即xy=1。 2）求流线 根据拉格郎日方法与欧拉方法的转换关系，得： ux=xt=aet，uy=yt=-be-t，uz=zt=0 a=xe-t，b=yet，c=z 将式代入，得： ux=x，uy=-y，uz=0 根据流线方程，有： dxx=dyylnx=-lny+c1xy=c t1时，流线通过(
24、1，l，1)点，则：c=1。即流线方程： xy=1 5解：1）求流线 dxu0y=dyu0cos(kx-at)1ksin(kx-at)=u0u0y+c u0ku0sin(kx-at)+c1 当t0时流线通过点(0，0)，c1=0。流线方程： y=2）求迹线 u0u0ksin(kx) dxdtdydt=u0x=u0t+c1 =u0cos(kx-at)=u0cos(ku0t+kc1-at)y=-u0ku0-asin(ku0t+kc1-at)+c2当t0时流体质点在点(0，0)，c1=0，c2=0。迹线方程： x=u0t，y=u0ku0-asin(ku0t-at) 3）若k、a0，流线为： y=迹线
25、为： u0u0x x=u0t，y=u0t y=u0u0x 流线与迹线重合。 6解：1）求流函数 根据势函数的性质，有： ux=uy=jxjy=2ax+by =bx-2ay 根据流函数的性质，有： ux=yy=2ax+byy=2axy+12by2+c1(x)c(x)c(x)uy=-=bx-2ay-2ay+1=bx-2ay1=-bxxxxy1c1(x)=-bx2+c 211y=2axy+by2-bx2+c 222）求处的加速度 duxdt=uxt+uxuxx+uyuxyduydt=uyt+uxuyx+uyuyy+uzuyz=(2ax+by)2a+(bx-2ay)b =(2ax+by)b+(bx-2
26、ay)(-2a)=4a2x+b2x=4a2+b27解：1）求证流动为无旋流动 根据流函数的性质，有： =b2y+4a2y=0ux=yy=3x2-3y2 uy=-yxuxy=-6xy 根据旋度，有： uyx-=-6y-(-6y)=0 旋度=0，流动为无旋流动。 2）求势函数 ux=uy=jxjy=3x2-3y2j=x3-3xy2+c(y) =-6xy-6xy+c(y)y=-6xyc(y)=c1 j=x3-3xy2+c1 8解：1）将拉格朗日方法转换为欧拉方法 ux=xt=-2ake-2t/k，uy=yt=bket/k，uz=zt=cket/k 解拉格朗日变数： a=xe2t/k，b=ye-t/k
27、，c=ze-t/k 欧拉方法表示的流场： ux=-因2kx，uy=uzt1ky，uz=1kz uxtuxxuyx=uytuyyuxy=0 ，是稳态流动。 2k1k1k因+uzz=-+=0，是不可压流场。 uzx因-=0,uzy-uyz=0,uxz-=0，是无有旋流动。 9解：根据理想流体运动微分方程，有 duxdt=-=-=Fx-11prx3rx12(4x-2y2-yz2+5z)rx232121000=0.108duydt=-=-=-=Fy-11pry3ry1(4x-2y2-yz2+5z2)r(-4y-z)12(-4-(-5)1000=Fz-11p=0.029duzdtrz=-g-=-g-rz
28、1(4x3-2y2-yz2+5z)r(-2yz+5)1=-9.8-=-9.8151000(-21(-5)+5)10解：根据势函数，有 ux=jxjyjz=2tx(x(x(x2+y2+z22ty)32uy=2+y2+z22tz)32uz=2+y2+z232求各加速度分量： duxdt=uxt2x+uxuxx+uyuxy2tx+uzuxz2ty2+z2-2x2(x(x(x(x2+y+z2ty2322)+()6txz22225(x(x2+y+z6txy2322)(x22+y+z2tz22522)-2+y2+z22x)322+y2+z2t2+y2+z8xt2)52-=2+y+z2x222)3+(x(x
29、224)(x+y+z)(x+y+z)(4(xy+xz-2x)-12xy-12xz)22223223=2+y+z2223-2+y2+z2)3duydt=uyt2y+uxuyx-+uyuyy2tx+uzuyz6txy22522(x(x(x(x2+y+z2ty2322+2+y+z2y2322=2+y+z2y222(x+y+z)(x+y+z)2t(x-2y+z)2tz6tyz -)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)t(-12xy+4(yx+yz-2y)-12yz)+)(x+y+z)2222222522223222252222223232224)322=2+y+zuzt2z222)3-8yt2(
30、x2+y2+z2)uzy2tx3duzdt=+uxuzx+uy+uzuzz6txz(x(x(x(x2+y+z2ty2322)-(x(x2+y+z6tyz2322)(x(x2+y+z2tz2522)-2+y+z2y2322)2+y+zt222522)-2+y+z22322)=2+y2+z22y)32+(x(x2+y+z8zt224)(-12xz-12y2(xz+4(zx2tx2+y2-2z22(+y+z2522) )2+zy2-2z3=2+y+z2223-2+y2+z2)3根据理想流体运动微分方程，有 duzdt-=Fx-2x1prx(x2+y2+z2)32+8xt2(x)122+y+z-223
31、)=1prx+c1(y,z,t)2p=r222x+y+z2t2(x2+y2+z2)2duydt-=Fy-2y1pry+8yt2(x2+y+z222)3(x2+y2+z2)322t2=-+c1(y,z,t)12222y2222()x+y+z()x+y+zc1(y,z,t)y=0c1(y,z,t)=c2(z,t) 2p=r222x+y+z()12-2t2(x2+y2+z2)2+c2(z,t) duzdt-=Fz-2z1prz+8zt2(x2+y+z222)3(x2+y+z223)2=g+y222x+y+z()12-2t2(x2+y2+z2)2+c2(z,t)c2(z,t)z=-gc2(z,t)=-
32、gz+c3(t) 2p=r222x+y+z()12-2t2(x2+y2+z2)2-gz+c3(t) 2在运动过程中，点(1，1，1)上压力总是p1117.7kNm。因此 222tp1=r-g+c3(t)122222222()1+1+1()1+1+1 c3(t)=p1r+g-233+2t292p=r222x+y+z()12-2t2(x2+y2+z2)22t2-g(z-1)+-+ r39p123运动开始20s后，点(4，4，2)的压力为： 2p=10002224+4+2()12-2202(42+4+2222)-9.8(2-1)+117.710310002202-+392312202117.7103
33、232202=1000-9.8+-+2310003936=195.35kPa第二种解法： 由于流动为无旋流，根据拉格朗日积分，同一时刻流场中任意两点间的关系有： j1t因： +12u12+gz1+p1r=j2t+122u2+gz2+p2rjt=-2x+y+z222ux=jxjyjz=2tx(x(x(x2+y2+z22ty)32uy=2+y2+z22tz)32uz=2+y2+z232则点(1，1，1)的相关量为： j1t=-21+1+1222=-23ux=uy=uz=2t(12+12+122t33)32=2t332t3222u=ux+uy+uz=3= 点(4，4，2) 的相关量为： j2t=-2
34、4+4+2222=-13u2x=2t4(4(4(42+42+222t4)32=t27t27t54t27u2y=2+42+222t2)32= u2z=2+42+2232= u2=故： 222u2x+u2y+u2z=1+1+14=t18-23+29t+9.81+2117.71031000=-13+12182t2+9.82+p2r1117.710322=-+-20-9.8+=195.35m2 r3910002183p2=195.351000=195.35kPap21211解：根据题意，得： u0=Q0p4=0.0334d2p4=68.04(m/s) 0.0252根据伯努里方程，有： p0rgp0+u
35、022g=p1rgp2+u122gu0=u1 rg+u022g=rg+u22gu0=u2 根据动量方程，有： Rx=rQ1u1-rQ2u2-rQ0u0cosq Ry=-rQ0(-u0sinq)=rQ0u0sinq 由于在大气环境下，Rx=0。因此 Q1-Q2-Q0cosq=0 根据不可压缩流体的连续性方程，有： Q1+Q2-Q0=0 式+得： Q1=故 12Q0(1+cosq)=120.03341+cos600=0.02505m3/s ()Q2=Q0-Q1=0.0334-0.02505=0.00835m3/s Ry=rQ0u0sinq=10000.033468.04sin600=1968N 根
36、据作用与反作用的关系，平板受力为： Fy=-Ry=-1968N 第三章 3-1解： duxdt=uxt+uxuxx13+uyuxy+uzuxz=0+xy2y2-=13xy4uyty32xy+xy0duydt=+ux13uyx+uyuyy+uzuyz=0+xy20-=13y5y3-y2+xy0()duzdt=uzt+uxuzx13+uyuzy+uzuzz=0+xy2y-=23xy3y3x+xy0当(x,y,z)=(1,2,3)时，加速度为： duxdt=13xy4=13124=163duydt=13y5=132325=323duxdt=23xy3=123=1633-2解： duxuxB2p=duyuyy=dyB2pxx2+y2dxx2+y2dxy=dyxx2-y2=C3-4解： uQp4d4Q4=5010003600800=0.166m p0.8d2pu3-5解：由于吸入管直径大于排出管直径，根据连续性原理，排出管中液体流速大于吸入管中液体流速。设排出管中液体流速为
