《常微分方程模型及其数值解课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程模型及其数值解课件.ppt（66页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、0、导言,在许多实际问题中，例如物理中的速率问题，人口的增长问题，放射性衰变问题，经济学中的边际问题等，常常涉及到两个变量之间的变化规律。微分方程是研究上述问题的一种机理分析方法，它在科技、工程、生态、环境、人口以及经济管理等领域中有着十分广泛的应用。在应用微分方程解决实际问题时，必须经过两个阶段。一是微分方程的建立，建立一个微分方程的实质就是构建函数、自变量以及函数对自变量的导数之间的一种平衡关系。而正确地构建这种平衡关系，需要对实际问题的深入浅出的刻画，根据物理的和非物理的原理、定律或定理，作出合理的假设和简化并将它升华成数学问题。,另一个是方程的求解和结果分析。对一些常系数的或特殊函数形
2、式的微分方程，往往能得到解析解，这对实际问题的分析和应用都是有利的,但是大多数变系数的、非线性函数形式的微分方程都是求不出解析解的,此时就需要应用求解微分方程的另一个重要方法数值解法。本章简要介绍有关微分方程模型的概念，微分方程的数值解法和图解法，主要介绍若干建模实例，通过它们展示微分方程模型的建模步骤及解决实际问题的全过程。,1、实例及其数学模型,例1 海上缉私问题 海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c海里处有一艘走私船正以速度a向正北方向行驶，缉私艇立即以最大速度b前往拦截。用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船。建立任意时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，讨论缉私艇能
3、够追上走私船的条件，求出追上的时间。,建立直角坐标系如图，设在t=0时刻缉私艇发现走私船，此时缉私艇的位置在(0,0)，走私船的位置在(c,0)。走私船以速度a平行于y轴正向行驶，缉私艇以速度b按指向走私船的方向行驶。在任意时刻t缉私艇位于P(x,y)点，而走私船到达Q(c,at)点，直线PQ与缉私艇航线（图中曲线）相切，切线与x轴正向夹角为。,Q(c,at),P(x,y),R(c,y),0,y,x,c,缉私艇在x,y方向的速度分别为，由直角三角形PQR写出sin 和cos 的表达式，得到微分方程：（1）初始条件为（2）这就是缉私艇位置(x(t),y(t)的数学模型。但是由方程（1）无法得到x
4、(t),y(t)的解析解，需要用数值算法求解。我们将在后面继续讨论这个问题。,例2 弱肉强食,问题 自然界中在同一环境下的两个种群之间存在着几种不同的生存方式，比如相互竞争，即争夺同样的食物资源，造成一个种群趋于灭绝，而另一个趋向环境资源容许的最大容量；或者相互依存，即彼此提供部分食物资源，二者和平共处，趋于一种平衡状态；再有一种关系可称之为弱肉强食，即某个种群甲靠丰富的自然资源生存，而另一种群乙靠捕食种群甲为生，种群甲称为食饵（Prey），种群乙为捕食者（Predator），二者组成食饵-捕食者系统。海洋中的食用鱼和软骨鱼（鲨鱼等）、美洲兔和山猫、落叶松和蚜虫等都是这种生存方式的典型。这样两
5、个种群的数量是如何演变的呢？近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进行了深入的研究，建立了一系列数学模型，本节介绍的是最初的、最简单的一个模型，它是意大利数学家Volterra在上个世纪20年代建立的。,模型 用x(t)表示时刻t食饵（如食用鱼）的密度，即一定区域内的数量，y(t)表示捕食者（如鲨鱼）的密度。假设食饵独立生存时的（相对）增长率为常数r0，即，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小量与捕食者密度成正比，比例系数为a0，则。捕食者离开食饵无法生存，设它独自存在时死亡率为常数d0，即，而食饵的存在为捕食者提供了食物，使捕食者的死亡率减小，设减小量与食饵密度成正比，比例系数为b0，则
6、，实际上，当bxd时捕食者密度将增长。给定食饵和捕食者密度的初始值x0,y0，由上可知x(t),y(t)满足以下方程：（3）（3）的解x(t),y(t)描述了食饵和捕食者密度随时间的演变过程。但是我们同样得不到x(t),y(t)的解析解，需要用数值算法求解。我们将在3继续讨论这个问题,2 欧拉方法和龙格库塔方法,一阶常微分方程初值问题的一般形式为,y=(x,y),axb,(4),y(a)=,其中(x,y)是已知函数,为给定的初值.,如果函数(x,y)在区域axb,-y上连续且关于y满足Lipschitz条件,其中L0为Lipschitz常数,则初值问题(4)有唯一解.,所谓数值解法,就是设法将
7、常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值.,a=x0 x1x2xnxN=b,其中剖分节点xn=a+nh,n=0,1,N,h称为剖分步长.数值解法就是求精确解y(x)在剖分节点xn上的近似值yny(xn),n=1,2,n.,假设初值问题(4)的解y=y(x)唯一存在且足够光滑.对求解区域a,b做剖分,我们采用数值积分方法来建立差分公式.,2.1 构造数值解法的基本思想,在区间xn,xn+1上对方程(4)做积分,则有,对右边的积分应用左矩形公式，则有,梯形公式,o,x,y,a,b,左矩形公式,y=(x),右矩形公式,中矩形公式,对右边的积分应用左矩形公式，则有,因此，建立节点处
8、近似值yn满足的差分公式,称之为Euler公式.,称为梯形公式.,若对(6)式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式,利用Euler方法求初值问题,解 此时的Euler公式为,称为Euler中点公式或称双步Euler公式.,若在区间xn-1,xn+1上对方程(4)做积分,则有,对右边的积分应用中矩形求积公式，则得差分公式,例3,的数值解.此问题的精确解是y(x)=x/(1+x2).,分别取步长h=0.2,0.1,0.05,计算结果如下,Euler中点公式则不然,计算yn+1时需用到前两步的值yn,yn-1,称其为两步方法,两步以上的方法统称为多步法.,在Euler公式和梯形公式中,为求得
9、yn+1,只需用到前一步的值yn,这种差分方法称为单步法,这是一种自开始方法.,隐式公式中,每次计算yn+1都需解方程,要比显式公式需要更多的计算量,但其计算稳定性较好.,在Euler公式和Euler中点公式中,需要计算的yn+1已被显式表示出来,称这类差分公式为显式公式,而梯形公式中,需要计算的yn+1隐含在等式两侧,称其为隐式公式.,从数值积分的角度来看,梯形公式,计算数值解的精度要比Euler公式好,但它属于隐式公式,不便于计算.,实际上,常将Euler公式与梯形公式结合使用:,2.2 改进的Euler方法,由迭代法收敛的角度看，当,(是给定的精度要求)时,取,就可以保证迭代公式收敛,而
10、当h很小时,收敛是很快的.,而且,只要,通常采用只迭代一次的算法:,称之为改进的Euler方法.这是一种单步显式方法.,改进的Euler方法也可以写成,y=y-2x/y,0 x1,的数值解,取步长h=0.1.精确解为y(x)=(1+2x)1/2.,例4 求初值问题,y(0)=1,解(1)利用Euler方法,计算结果如下:,(2)利用改进Euler方法,在节点xn+1的误差y(xn+1)-yn+1,不仅与yn+1这一步计算有关,而且与前n步计算值yn,yn-1,y1都有关.,为了简化误差的分析,着重研究进行一步计算时产生的误差.即假设yn=y(xn),求误差y(xn+1)-yn+1,这时的误差称
11、为局部截断误差,它可以反映出差分公式的精度.,2.3 差分公式的误差分析,如果单步差分公式的局部截断误差为O(hp+1),则称该公式为p阶方法.这里p为非负整数.显然,阶数越高,方法的精度越高.,研究差分公式阶的重要手段是Taylor展开式,一元函数和二元函数的Taylor展开式为:,另外,在yn=y(xn)的条件下,考虑到y(x)=(x,y(x),则有,y(xn)=(xn,y(xn)=(xn,yn)=n,y(xn)=(xn,y(xn)=x(xn,yn)+y(xn,yn)(xn,yn),yn+1=yn+h(xn,yn),对Euler方法，有,=yn+(xn,yn)h+O(h2),从而有:y(x
12、n+1)-yn+1=O(h2),所以Euler方法是一阶方法.,再看改进Euler方法,因为,可得,所以,改进的Euler方法是二阶方法.,而,从而有:y(xn+1)-yn+1=O(h3),2.4 Taylor展开方法,设y(x)是初值问题（4)的精确解,利用Taylor展开式可得,称之为p阶Taylor展开方法.,因此，可建立节点处近似值yn满足的差分公式,其中,所以,此差分公式是p阶方法.,由于Taylor展开方法涉及很多复合函数(x,y(x)的导数的计算,比较繁琐,因而很少直接使用,经常用它为多步方法提供初始值.然而,Taylor展开方法给出了一种构造单步显式高阶方法的途径.,Euler
13、方法可写为,可见,公式的局部截断误差为:y(xn+1)-yn+1=O(hp+1).,2.5 Runge-Kutta方法,构造差分公式,改进的Euler方法可写为,其中i,i,ij为待定参数.,若此公式的局部截断误差为,由于,yn+1=yn+h1n+h2(n+hxn+hn yn)+O(h3),O(h3),称此公式为p阶Runge-kutta方法,简称p阶R-K方法.,对于p=2的情形,应有,=yn+h(1+2)n+h22(xn+n yn)+O(h3),所以,只要令,1+2=1,2=1/2,2=1/2(8),一般地,参数由(8)确定的一族差分公式(7)统称为二阶R-K方法.,称之为中点公式,或可写
14、为,若取=1,则得1=2=1/2,=1,此时公式(7)就是改进的Euler公式;,若取1=0,则得2=1,=1/2,公式(7)为,高阶R-K公式可类似推导.,下面列出常用的三阶、四阶R-K公式.,四阶标准R-K公式,三阶R-K公式,解 四阶标准R-K公式为,例3 用四阶标准R-K方法求初值问题,y=y-2x/y,0 x1,y(0)=1,的数值解,取步长h=0.2.,计算结果如下:,也可以构造隐式R-K方法,其一般形式为,称之为p级隐式R-K方法,同显式R-K方法一样确定参数.如,是二级二阶隐式R-K方法,也就是梯形公式.但是p级隐式R-K方法的阶可以大于p,例如,一级隐式中点公式为,或写为,它
15、是二阶方法.,2.6 变步长Runge-Kutta方法,以p阶R-K方法为例讨论.设从xn以步长h计算y(xn+1)的近似值为,局部截断误差为,其中,C是与h无关的常数.,如果将步长减半,取h/2为步长,从xn经两步计算得到y(xn+1)的近似值记为,其局部截断误差为,于是有,从而,得到事后误差估计,可见,当,成立时,可取,.否则,应将步长再次减半进行计算.,求解初值问题,的单步显式方法可一统一写为如下形式,yn+1=yn+h(xn,yn,h)（9),对于Euler方法,有,2.7 单步方法的收敛性,y=(x,y),axb,y(a)=,其中(x,y,h)称为增量函数.,(x,y,h)=(x,y
16、),对于改进的Euler方法,有,(x,y,h)=1/2(x,y)+(x+h,y+h(x,y),设y(x)是初值问题（4)的解,yn是单步法（9)产生的近似解.如果对任意固定的点xn,均有,y(xn),则称单步法（9)是收敛的.,可见,若方法（9)是收敛的,则当h0时,整体截断误差en=y(xn)-yn将趋于零.,定理 设单步方法（9)是p1阶方法,增量函数(x,y,h)在区域axb,-y+,0hh0上连续,且关于y满足Lipschitz条件,初始近似y0=y(a)=,则方法（9)是收敛的,且存在与h无关的常数C,使,|y(xn)-yn|Chp,证明 因为单步方法（9)是p阶方法,则y(x)满
17、足,定义,其中,局部截断误差|Rn(h)|C1hp+1,记en=y(xn)-yn,则有,利用Lipschitz条件得,y(xn+1)=y(xn)+h(xn,y(xn),h)+Rn(h),递推得到,注意到,en+1=en+h(xn,y(xn),h)-(xn,yn,h)+Rn(h),|en+1|(1+hL)|en|+C1hP+1,1+hLehL,(1+hL)nenhLeL(b-a),由于e0=y(a)-y0=0,所以有,则有,设(x,y)连续且关于y满足Lipschitz条件,对于Euler方法,由于(x,y,h)=(x,y),故Euler方法是收敛的.,对于改进的Euler方法,由(x,y)的L
18、ipschitz条件有,|en|e0|eL(b-a)+C1hp/L(eL(b-a)-1),|en|C1hp/L(eL(b-a)-1)=Chp,|(x,y,h)-(x,y*,h)|1/2|(x,y)-(x,y*)|+1/2|(x+h,y+h(x,y)-(x+h,y*+h(x,y*)|,1/2L(1+hL)|y-y*|,则当hh0时,关于y满足常数为1/2L(1+h0L)的Lipschitz,条件,因此改进的Euler方法是收敛的.,可类似验证各阶R-K方法是收敛的.,2.8 单步方法的稳定性,定义 对于初值问题（4),取定步长h,用某个差分方法进行计算时,假设只在一个节点值yn上产生计算误差,即
19、计算值yn=yn+,如果这个误差引起以后各节点值ym(mn)的变化均不超过,则称此差分方法是绝对稳定的.,讨论数值方法的稳定性,通常仅限于典型的试验方程,y=y,其中是复数且Re()0.,在复平面上,当方法稳定时要求变量h的取值范围称为方法的绝对稳定域,它与实轴的交集称为绝对稳定区间.,将Euler方法应用于方程y=y,得到,设在计算yn时产生误差n,计算值yn=yn+n,则n将对以后各节点值计算产生影响.记ym=ym+m,mn,由上式可知误差m满足方程,m=(1+h)m-1=(1+h)m-nn,mn,对隐式单步方法也可类似讨论.如将梯形公式用于方程y=y,则有,yn+1=yn+h/2(yn+
20、yn+1),yn+1=(1+h)yn,可见,若要|m|n|,必须且只须|1+h|1,因此Euler法的绝对稳定域为|1+h|1,绝对稳定区间是-2Re()h0.,解出yn+1得,类似前面分析,可知绝对稳定区域为,由于Re()0,所以此不等式对任意步长h恒成立,这是隐式公式的优点.,一些常用方法的绝对稳定区间为,解 因y0=1,计算得y10=1024,而y(1)=9.35762310-14.,例4 考虑初值问题,y=-30y,0 x1,y(0)=1,取步长h=0.1,利用Euler方法计算y10y(1).y(x)=e-30 x,这是因为h=-3不属于Euler方法的绝对稳定区间.,若取h=0.0
21、1,计算得y100=3.23447710-16.,若取h=0.001,计算得y1000=5.91199810-14.,若取h=0.0001,计算得y10000=8.94505710-14.,若取h=0.00001,计算得y100000=9.315610-14.,单步显式方法的稳定性与步长密切相关,在一种步长下是稳定的差分公式,取大一点步长就可能是不稳定的.,收敛性是反映差分公式本身的截断误差对数值解的影响;稳定性是反映计算过程中舍入误差对数值解的影响.只有即收敛又稳定的差分公式才有实用价值.,2.9 线性多步方法,由于在计算yn+1时,已经知道yn,yn-1,及(xn,yn),(xn-1,yn
22、-1),利用这些值构造出精度高、计算量小的差分公式就是线性多步法.,2.9.1 利用待定参数法构造线性多步方法,r+1步线性多步方法的一般形式为,当-10时,公式为隐式公式,反之为显式公式.参数i,i的选择原则是使方法的局部截断误差为,y(xn+1)-yn+1=O(h)r+2,选取参数,0,1,2,使三步方法,yn+1=yn+h(0n+1n-1+2n-2),这里,局部截断误差是指,在yn-i=y(xn-i),i=0,1,r的前提下,误差y(xn+1)-yn+1.,为三阶方法.,例5,解 设yn=y(xn),yn-1=y(xn-1),yn-2=y(xn-2),则有,n=(xn,y(xn)=y(x
23、n),y(xn+1)=y(xn)+hy(xn)+1/2h2y(xn)+1/6h3y(xn),于是有,若使:y(xn+1)-yn+1=O(h4),只要,0,1,2满足:,n-1=(xn-1,y(xn-1)=y(xn-1)=y(xn-h),=y(xn)-hy(xn)+1/2h2y(xn)-1/6h3y(4)(xn)+O(h4),n-2=y(xn)-2hy(xn)+2h2y(xn)-4/3h3y(4)(xn)+O(h4),yn+1=y(xn)+h(0+1+2)y(xn)-h2(1+22)y(xn),+h3(1/21+22)y(xn)-h4/6(1+82)y(4)(xn)+O(h5),+1/24h4y
24、(4)(xn)+O(h5),=1,0+1+2=1,1+22=-1/2,1+42=1/3,于是有三步三阶显式差分公式,设pr(x)是函数(x,y(x)的某个r次插值多项式,则有,解之得:,yn+1=yn+h/12(23n-16n-1+5n-2),因为,2.9.2 利用数值积分构造线性多步方法,其中,选取不同的插值多项式pr(x),就可导出不同的差分公式.下面介绍常用的Adams公式.,设已求得精确解y(x)在步长为h的等距节点xn-r,xn上的近似值yn-r,yn,记k=(xk,yk),利用r+1个数据(xn-r,n-r),(xn,n)构造r次Lagrange插值多项式,由此,可建立差分公式,1
25、.Adams显式公式,其中,由此,可建立差分公式,由于,hrj,则有,称之为r+1步Adams显式公式.,下面列出几个带有局部截断误差主项的Adams显式公式,r=0 yn+1=yn+hn+(1/2)h2y(xn),2.Adams隐式公式,r=1 yn+1=yn+(h/2)(3n-n-1)+(5/12)h3y(xn),r=2 yn+1=yn+(h/12)(23n-16n-1+5n-2)+(3/8)h4y(4)(xn),r=3 yn+1=yn+(h/24)(55n-59n-1+37n-2-9n-3)+(251/720)h5y(5)(xn),如果利用r+1个数据(xn-r+1,n-r+1),(xn
26、+1,n+1)构造r次Lagrange插值多项式pr(x),则可导出数值稳定性好的隐式公式,称为Adams隐式公式,其一般形式为,其中系数为,下面列出几个带有局部截断误差主项的Adams隐式公式,r=0 yn+1=yn+hn+1-(1/2)h2y(xn),r=1 yn+1=yn+(h/2)(n+n+1)-(1/12)h3y(xn),r=2 yn+1=yn+(h/12)(5n+1+8n-n-1)-(1/24)h4y(4)(xn),r=3 yn+1=yn+(h/24)(9n+1+19n-5n-1+n-2)-(19/720)h5y(5)(xn),3.Adams预估-校正公式,由显式公式提供一个预估值
27、，再用隐式公式校正一次，求得数值解，称为预估校正方法。,校正 yn+1=yn+(h/24)(9n+1+19n-5n-1+n-2),一般预估公式和校正公式都采用同阶公式。例如：,预估 yn+1=yn+(h/24)(55n-59n-1+37n-2-9n-3),n+1=(xn+1,yn+1),n=3,4,称为四阶Adams预估校正公式.实际计算时通常用四阶单步方法(如四阶R-K公式)为它提供起始值y1,y2,y3.,例6,用四阶Adams预估校正公式求解初值问题,y=y-2x/y,0 x1,y(0)=1,取步长h=0.1.,解 用四阶R-K公式提供起始值,计算结果如下,3 RK方法的MATLAB实现
28、,对于微分方程（组）的初值问题 龙格库塔方法可用如下MATLAB命令实现其计算：t，x=ode23(f，ts，x0，options)t，x=ode45(f，ts，x0，options)其中ode23用的是3级2阶龙格库塔公式，ode45用的是以Runge-Kutta-Fehberg命名的 5级4阶公式。,命令的输入f是待解方程写成的函数m文件：function dx=f(t,x)dx=f1;f2;fn;若ts=t0,t1,t2,tf，则输出在指定时刻t0,t1,t2,tf的函数值；等分点时用ts=t0:k:tf，输出在t0,tf内等分点处的函数值。x0为函数初值（n维向量）。options可用
29、于设定误差限（options缺省时设定相对误差10-3，绝对误差10-6），命令为：options=odeset(reltol,rt,abstol,at)其中rt，at分别为设定的相对误差和绝对误差。命令的输出t为指定的ts，x为相应的函数值（n维向量）。注意，计算步长是根据误差限自动调整的，并不是输入中指定的ts的分点。,下面用MATLAB软件解决1提出的两个问题,例1 海上缉私（续）模型的数值解 1.设a=20(海里/小时)，b=40(海里/小时)，c=15(海里)，由模型（1），（2）求任意时刻缉私艇的位置及缉私艇航线。对于给出的a,b,c用MATLAB求数值解时，记x(1)=x,x(2
30、)=y,x=(x(1),x(2)T。编写如下m文件：function dx=jisi(t,x)%建立名为jisi的函数m文件a=20;b=40;c=15;s=sqrt(c-x(1)2+(a*t-x(2)2);dx=b*(c-x(1)/s;b*(a*t-x(2)/s;%以向量形式表示方程（1）,然后运行以下程序：ts=0:0.05:0.5;%设定t的起终点及中间的等分点，终点可先作试探，再按照x(t)c=15调整到0.5x0=0,0;%输入x，y的初始值（2）t,x=ode45(jisi,ts,x0);%调用ode45计算t,x%输出t,x(t),y(t)plot(t,x),grid,%按照数值
31、输出作x(t),y(t)的图形gtext(x(t),gtext(y(t),pauseplot(x(:,1),x(:,2),grid,%作y(x)的图形gtext(x),gtext(y),得到的数值结果x(t),y(t)为缉私艇的位置，列入表1。走私船的位置记作x1(t),y1(t)，显然x1(t)=c=15，y1(t)=at=20t，将y1(t)列入表1最后一列。可知当t=0.5（小时），x,y与x1,y1几乎一致，认为缉私艇追上走私船。x(t),y(t)及y(x)的图形见图2，y(x)为缉私艇的航线。,a=20，b=40，c=15的数值解x(t),y(t)和y1(t),a=20，b=40，c
32、=15 时x(t),y(t)和y(x)的图形,2.设b，c不变，而a变大为30，35，接近40(海里/小时)，观察解的变化 修改a的输入，并相应地延长t的终点。设a=35，t的终点经试探，调整为1.6合适。表2是计算结果，其中x(t),y(t)有两列数字，左边的是用“缺省”精度（即相对误差10-3，绝对误差10-6）计算的，中间的y1(t)=at=35t是走私船到达的位置。可知t=1.3,1.4,1.5时缉私艇的位置x15,但y与y1(t)相差甚远，t=1.6时x,y与x1,y1也有差距，这是累积误差造成的。可利用ode45的控制参数options提高精度（上面的“调用ode45计算”用以下程
33、序代替），如设,opt=odeset(reltol,1e-6,abstol,1e-9);t,x=ode45(jisi,ts,x0,opt);得到的x(t),y(t)，与走私船到达的位置x1(t)，y1(t)相对照，可知t=1.6时x,y与x1,y1几乎一致，认为缉私艇追上走私船。x(t),y(t)及y(x)的图形见图，y(x)为缉私艇的航线，当x接近15时航线几乎是正北方向，形成沿走私船逃向的追赶态势。读者可尝试寻求缉私艇追上走私船的判断标准，设计程序并计算。,a=35，b=40，c=15 时x(t),y(t)和y(x)的图形,模型的解析解,要想得到缉私艇拦截到走私船的精确时间和位置，必须对模
34、型（1）做进一步的分析，设法得到某种形式的解析解。将（1）的两式相除，消去dt得到（27）（27）式对x求导得（28）为消去式中的dt，利用曲线弧长的微分，缉私艇的速度，以及微分关系，得,（29）这是关于y(x)的二阶微分方程，若令，可化为p(x)的一阶微分方程（30）依题意其初始条件为（31）（30）为可分离变量方程，容易求得在（31）下的解为（32）,设，即走私船速度a小于缉私艇速度b，对（32）积分并注意到得（35）这就是缉私艇航线的解析表达式。由（35）式知，当x=c时，这也是走私船的y坐标。因为走私船速度是a，所以缉私艇拦截到走私船的时间为,例2 弱肉强食（续）,模型的数值解 为了考
35、察模型（3）描述的食饵和捕食者密度随时间的演变过程，选取模型参数r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用MATLAB求（3）的数值解，记x(1)=x,x(2)=y,x=(x(1),x(2)T。编写如下m文件：function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=diag(r-a*x(2),-d+b*x(1)*x;%以向量形式表示方程（3）,然后运行以下程序：ts=0:0.1:15;%t的终值经试验后定为15。x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,xplot(t,x),grid,gtext(fontsize12x(t),gtext(fontsize12y(t),%将标记x(t),y(t)的字体放大pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,xlabel(x),ylabel(y),
