大学物理震动与波课件.pptx

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1、第二章 振动与波,2.1 简谐振动,任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.,机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.其运动形式有直线、平面和空间振动.,周期和非周期振动,例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动等.,描述振动的运动微分方程是线性微分方程的称为线性振动。,(1),一 简谐振动,(8-49),第二章 振动与波,1、简谐振动的描述,简谐振动可以用一个弹簧振子来演示。,第二章 振动与波,2、简谐振动的动力学方程,由胡克定律，弹簧振子中的质点沿 方向运动时受到的弹性回复力为:,代入牛顿第二定律,或：,称为倔强系数,可得：,(2-1),(2-4),第二章 振动与波,根据

2、周期函数的定义，如果找出一个T值，使得,则将T称为函数 的周期。下面按此找出简谐振动的周期。,令：,则有：,又由于余弦函数的周期为，故可列成：,(2-8),第二章 振动与波,在式 中，与 成正比，故称之为圆频率。,在国际单位制中,T的单位是s（秒），f的单位是（赫兹），的单位为（弧度秒）,由物体的振动方程（24）可求出物体振动的速度和加速度的表达式：,比较（24）式上式可得：,可得简谐振动的加速度和位移成正比而反向。,(1),(2),第二章 振动与波,由上面定义的，可得出这一简谐振动的圆频率为：,可见，圆频率由振动系统本身的性质（包括力的性质和物体的质量）所决定。所以，它又可称为振动系统的固有

3、频率，其周期就叫做固有周期，为：,在简谐振动的三个特征量A、中，由上式确定。A和 则由初始条件确定，即令t=0，代入（24)式 和前面的速度公式，可得初始的位移和速度值为:,将以上两式两边平方，并做代换可得:,(1),（28.1）,第二章 振动与波,将式（1）中的两式,相除可得:,在用上式确定 时，一般说来，在 到 之间有两个值，可将此两个角度值代入式,中判定取舍。,利用 式，可以得出振幅的平方为：,再将式 代入上式可得：,在上式中 为弹簧振子的初始弹性势能，为振子的初始动能，故两者之和表示了振子的初机械能。,将上式两边开方可得：,（2-8.2）,第二章 振动与波,取,第二章 振动与波,o,y

4、,5cm,a,b,例1已知两个相同的弹簧振子a和b，周期为T=2s，将两物从平衡位置上向右拉开5cm，然后先放a，经过0.4s后再放b。如以b释放时为时间起点。求两振子位移与时间的关系。,解：选取如图的坐标，则两个振子的振动方程可相应列得：,（1),（2）,第八章 振动与波,对于a振子来说，b振子在t=0时它已振动了0.4s。由于a、b两振子完全相同，故t=0时a振子的位移和速度就是t=0.4s时b振子的位移和速度。再由（3）、（4）式可列得：,将以上所得的，,值代入速度公式可得b振子的速度表达式：,（4）,第二章 振动与波,例2已知如图所示的单摆系统，求单摆的振动周期。,解：当摆线与竖直方向

5、成 角时，摆球所受的合力（即绳子的拉力与摆球的重力的合力）沿圆弧的切线方向。其大小等于重力在这一方向的分力。如取逆时针方向为角位移 的正方向，则此力应相应列成：,当角位移 很小时，有，代入上式得：,第二章 振动与波,或：,这一方程与 这个简谐振动的特征微分方程具有相同的形式，故可断定：在角位移很小的情况下，单摆的振动是简谐振动。故这一振动的圆频率的平方等于以上微分方程中 一次项前的系数，即：,以上微分方程的解为:,第二章 振动与波,3、简谐振动的能量,由（2-4）和速度公式，可列得简谐振动的势能和动能分别为：,（2-12）,（2-13）,故弹簧振子的总能量（即机械能）为:,对于弹簧振子，由前知

6、，可列得,代入上式：,由此可得：,（2-14）,或：,第二章 振动与波,将前面推的公式 和（2-14）式 比较得：,这说明简谐振动的机械能是守恒的，其值与振幅的平方成正比，不随时间而改变。,第二章 振动与波,二、阻尼振动,在上一节所讲的简谐振动是一种等振幅的振动，它是忽略阻力作用的理想情况。事实上，阻力是不可避免的，克服阻力作功的结果使得振动系统的能量逐渐减少。因此，实际发生的一切自由振动，振幅总是逐渐减小直至为零的。这种在回复力和阻力作用下的振动就称为阻尼振动。,第二章 振动与波,设质量为的振动物体，在弹性力 和上述的阻力 作用下运动，则由牛顿第二定律可列得其运动方程为：,令：,式中的 为振

7、动系统的固有圆频率（即做简谐振动时的圆频率），称为阻尼系数，将上式代入前式，并移项可得：,（215）,(2-17),第二章 振动与波,（828）,其中：,上式为阻尼振动的表达式。如图1为其的函数图象。,0,0,式中的 和 是由初始条件决定的积分常数。,（当 时）,图1,三种阻尼的比较,图2,第二章 振动与波,三、受迫振动、共振,在周期性外力策动下发生的振动称为受迫振动。,为简单起见，设策动外力是随时间按余弦规律变化的简谐力。除此之外，振动物体原还受到弹性力和阻力的作用，故物体受迫振动的运动方程为：,第二章 振动与波,微分方程的解为：,可见，受迫振动可以看成两个振动的合成。一个振动是由上式第一项

8、表示的阻尼振动（因形式与阻尼振动的解相同）。经过一段时间后，这一部分振动就减弱到可以忽略不计。另一个振动是由上式第二项表示的是与简谐振动同形的等振幅振动（因形式与（24）式相同）。由此，受迫振动的稳定状态为:,第二章 振动与波,在式 中，为 的函数，,将该式两边求导，通过求极值的方法可得到使振幅达到极大值的策动力的圆频率 为：,相应的最大振幅为:,（2),在弱阻尼即 的情况下，由（1）式得，即策动力频率 等于振动系统的固有频率 时，受迫振动的振幅达到最大值。我们把这种振幅达到最大值的现象称为共振。,(1),第二章 振动与波,单摆1作垂直于纸面的简谐运动时，单摆5将作相同周期的简谐运动，其它单摆

9、基本不动.,第二章 振动与波,共振现象的危害,1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌,第二章 振动与波,2.2 简谐振动的合成,在实际问题中，常遇到两个或更多个简谐振动的合成情况。,设一质点在一直线上同时进行两个独立的同频率（亦即圆频率 相同）的简谐振动。如果取这一直线为X轴，质点的平衡位置为原点。按简谐振动的数学表达式（24），可相应列得：,一、一维振动的合成,第二章 振动与波,式中合振幅 和初相 的值分别为：,（2-22）,两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动,以上结果，也可用如图所示的简谐振动矢量迭加的方法得到。,上式表明合振动的振幅不仅与两个分振动的振幅有关，

10、还与它们的初相差 有关。,(2-21),第二章 振动与波,下面讨论两个特例：,（1）两分振动的相位差，为零或任意整数，即。这时，代入（2-22）式,可得：,第二章 振动与波,（2）两分振动的相位差,这时，代入（2-22）式可得：,3）一般情况,第二章 振动与波,第二章 振动与波,二、二维振动合成,当一质点同时参与两个不同方向的振动时，这时质点的位移是这两个振动的位移的矢量和。在一般情形下，质点将在平面上作曲线运动。质点的轨道可有各种形状。轨道的形状由两个振动的周期、振幅和相位差来决定。,下面先讨论两个相互垂直的、同周期（圆频率相同）的简谐振动的合成。设两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行，其位移

11、方程：,第二章 振动与波,下面通过几个特例来说明其意义。,1）或,代入（822）式得:,S,即此时质点轨迹是一条直线。这一通过坐标原点的直线斜率为，在任一时刻，质点离开平衡位置的位移:,由上式可见，合振动仍为简谐振动，频率与分振动相同，振幅等于。,第二章 振动与波,(822),第二章 振动与波,两相互垂直不同频率的简谐运动的合成,测量振动频率和相位的方法,李 萨 如 图,第二章 振动与波,作业：,两类波的不同之处,机械波的传播需有传播振动的介质;,电磁波的传播可不需介质.,能量传播反射折射干涉衍射,两类波的共同特征,第二章 振动与波,2.3 简谐波,第一章 连续体力学,一、物体的弹性变形,弹性

12、：指变形固体当外力去掉后能恢复原来形状和尺寸的性质。,弹性变形：指变形体上的外力去掉后可消失的变形。,塑性变形：在变形体上的外力去掉后，变形不能全部消失而留有残余，此残余部分就称为塑性变形。,第二章 振动与波,第一章 连续体力学,应力和应变,物体内部各部分之间的相互作用力称为内力。为了研究物体内某处的内力，可取一假想的截面把物体截开。,如图所示，在截面上取一微小面积s，设作用在这微小面积上的内力为，则在截面上的应力定义为：,s,当外力F为沿轴线方向的常力时可列得：,s,应力的单位：帕斯卡（Pa)。,=F/S,第二章 振动与波,第一章 连续体力学,通常将 分解为法向分量（称为正应力）和切向分量（

13、称为剪应力）。,第二章 振动与波,第一章 连续体力学,1、弹性体的拉伸和压缩与线变,L,L0,L,L0,拉伸,压缩,b0,b,b0,b,设有一直杆两端受与杆平行的力 拉伸或压缩时，杆的长度由 变为，杆的长度变化为 长度的相对变化称为长应变（或线应变),用 表示。即：,在弹性范围内正应力与线应变成正比，即：,式中的比例系数称为杨氏弹性模量。上式称为弹性体在拉伸或压缩发生变形时的胡克定律。,第二章 振动与波,第一章 连续体力学,直杆在发生纵向变形的同时，总伴随有横向变形。设直杆的横向线度原为b0，改变量b=b-b0，则横向应变为：,第二章 振动与波,第一章 连续体力学,2、弹性体的剪切形变,d,a

14、,如图，在杆的横向加上两个方向相反、作用线间隔一小段距离的力，杆的截面将移动一个距离b。这种变形称为剪切形变。相应的剪切应变为b/a，这个比值可用剪切角来表示，即：,在弹性范围内，剪切应力的大小与剪切应变成正比。即：,（824）,式中的比例系数G称为切变模量，上式称为剪切形变的胡克定律。,第二章 振动与波,第二章 振动与波,产生条件：1）波源；2）弹性介质.,机械波：机械振动在弹性介质中的传播.,一、平面简谐波的描述,1、机械波的形成,第二章 振动与波,横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.,（仅在固体中传播）,2、横波与纵波,特征：具有交替出现的波峰和波谷.,第二章 振动与波,纵波：质

15、点振动方向与波的传播方向互相平行的波.,（可在固体、液体和气体中传播）,特征：具有交替出现的密部和疏部.,第二章 振动与波,3、波线 波面 波前,（波阵面）,（球面波与柱面波的动画演示）,第二章 振动与波,二、描述波动的基本物理量,波长 波的周期和频率 波速,波长：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.,O,y,A,第二章 振动与波,周期：波前进一个波长的距离所需要的时间.,频率：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.,显然，波的周期和频率也就是它所传播的振动的周期和频率.,第二章 振动与波,波速的大小决定于媒质的性质，不同媒质中的波速不

16、同。如在拉紧的绳索或细线中，横波的波速 由下式给出：,式中 为绳索或细线中的张力，为其质量线密度。,在固体中传播的纵波的波速 由下式给出：,（2-25.2）,式中 为媒质的扬氏模量（纵变弹性模量），为其密度.,在各向同性均匀固体媒质中，横波的波速 由下式给出：,式中 为媒质的切变弹性模量，为其密度。由于同种材料的，故在同种媒质中，横波的波速要比纵波的波速小些.,（2-25.3）,(2-25.1),第二章 振动与波,液体和气体中的纵波波速由下式给出：,式中 为媒质的体变弹性模量，为其质量密度。,(2-25.4),(2-25.5),例1 在室温下，已知空气中的声速 为340 m/s，水中的声速 为

17、1450 m/s，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？,在水中的波长,第二章 振动与波,各质点相对平衡位置的位移,波线上各质点平衡位置,简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.,三、平面简谐波的表达式,平面简谐波：波面为平面的简谐波.,介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 称为波函数.,第二章 振动与波,以速度u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波.令原点O 的初相为零，其振动方程,第二章 振动与波,第二章 振动与波,由于在上式中的x值是任意的，所代表的就是离O点距离为x的任意观测点

18、的振动状态，故足标p可省去，由此可列得平面简谐波的表达式：,（2-26）,因，此式还可写成下列两种形式：,（2-27）,波线上各点的简谐运动图,第二章 振动与波,若y为一定值，均变化，即 则此时的波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.,第二章 振动与波,代入（2-27）式得：,第二章 振动与波,点 O 振动方程,如果原点的初相位不为零,(2-26.2),第二章 振动与波,质点的振动速度，加速度,第二章 振动与波,例2A已知频率为 的平面余弦纵波沿金属棒传播，棒的扬氏弹性模量，棒的体密度。已知波源的振幅为。试求（1）波源的振动方程。,解：由（2-25.2）式，可得棒中的波速：,故波源的振动

19、方程可写成：,第二章 振动与波,求（2）波动方程,将以上求得的各值代入（829）式，可列得波动方程,第二章 振动与波,求（5）在波源振动0.0021s时的波形。,将t=0.0021s代入前面（2）求出的波动方程，可得其波形为：,第二章 振动与波,四 波动能量,当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.,1、媒质元的能量,第二章 振动与波,下面计算体积元的弹性势能,由图，体积元左端的位移为，右端的位移为，故体积元的长度变化为，由于体积元的原长度为，由第一章知，其长应变为，由前面所得公式其正应力为 式中的 为扬氏弹性模量

20、。设棒的横截面积为S，则所受的弹性力为，式中的 为倔强系数.,由此，可列得体积元的弹性势能为：,纵波在棒中的传播,第二章 振动与波,对波动方程求偏导数可得：,将上式和，及 或，代入以上的势能公式，可列得：,或：,（229）,第二章 振动与波,二、能流密度,波传播时，媒质单位体积内的能量叫波的能量密度。如以 表示能量密度，则媒质中x处在t时刻的能量密度，由前式可列得：,（2-31）,第二章 振动与波,能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.,设在媒质中垂直于波速的方向上取一面积，则在dt时间内通过 面的能量就等于该面所流过的体积 中所具有的能量，这一能量等于。如以P表示通过此面积的能流，则可列得

21、：,可见，P与 一样，是随时间周期性地变化的。取其平均值，则通过 面的平均能流为：,(2.32.1),第二章 振动与波,三、波的吸收,设有一平面行波以波速u在均匀媒质传播，在垂直于传播方向上取两个平面，面积都等于S。和 分别表示平面波在这两平面处的振幅，由式（2-32）和（2-32.1）知，通过这两个平面的平均能流分别为：,如果，那 么，即通过这两个平面的平面波的平均能流相等时，振幅才会不变。显然，要实现这一情况的条件是波在媒质中传播时不吸收能量。,实际上，平面行波在均匀媒质中传播时，媒质总要吸收波的一部分能量，因此，波的强度和振幅都将逐渐减小。吸收的波动能量将转换成其他形式的能量。这种现象称

22、为波的吸收。,第二章 振动与波,设波通过极薄的（厚度为dx）一层有吸收的媒质后，振幅的减弱量（-dA）应与振幅A及媒质厚度dx成正比，即：,式中比例系数 称为媒质的吸收系数，其值只与媒质的品种和波的频率有关。,将上式变形成：,两边积分：,得:,由（233）式知，波的强度与振幅的平方成正比，所以将上式两边平方并乘以，代入（233）式，便可得到平面波强的衰减规律为：,（2-35）,其中,第二章 振动与波,例26已知空气中声波的吸收系数为，钢中的吸收系数为（式中的 代表声波的频率）。求 的超声波透过多少厚度的空气或钢后，其声强减为原来的1%，即。,解：由题意，可列得空气和钢的吸收系数分别为：,由式（

23、846）式 可列得：,第二章 振动与波,2.4 波的叠加和干涉,一 波的叠加原理,几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.,在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.,第二章 振动与波,频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.,二 波的干涉,第二章 振动与波,能产生干涉现象的两列（或几列）波称为相干波，相应的波源称为相干波源。,第二章 振动与波,点P 的两个分振动,常量,第二

24、章 振动与波,1)合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.,（236）,第二章 振动与波,振动始终减弱,振动始终加强,其他,3),（2037）,例 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点 A 为波峰时，点B 适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结果.,解,设 A 的相位较 B 超前，则 波源的初相差.,第二章 振动与波,第二章 振动与波,三 驻波,驻波：振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.,驻波中始终静止不动的那些点称

25、为波节，振幅最大的那些点称为波腹。,第二章 振动与波,正向,负向,下面讨论驻波方程。设两列频率、振幅相同、振动方向相同的平面简谐波，一列沿x轴的正向，一列沿x轴的负向传播，它们可分别表示为：,(238),第二章 振动与波,驻波方程,1）振幅 随 x 而异，与时间无关.,第二章 振动与波,2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生 的相位跃变.（与行波不同，无相位的传播）.,第二章 振动与波,驻 波 的 形 成,第二章 振动与波,绳索上的驻波,A,B,P,m,作业：,第二章 振动与波,四 半波损失（相位跃变）,当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成

26、波节.入射波与反射波在此处的相位时时相反,即反射波在分界处产生 的相位跃变，相当于出现了半个波长的波程差，称半波损失.,第二章 振动与波,当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹.入射波与反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变.,第二章 振动与波,四 声波、超声波及其在生物学中的应用,在弹性介质中传播的机械纵波，一般统称为声波.,可闻声波 20 20000 Hz次声波低于20 Hz 超声波高于20000 Hz,声强：声波的能流密度.,第二章 振动与波,声强级：人们规定声强（即相当于频率为 1000 Hz 的声波能引起听觉的最弱的声强)为测定声强的标准.如

27、某声波的声强为 I,则比值 的对数,叫做相应于 I 的声强级 LI.,声强：声波的能流密度.,能够引起人们听觉的声强范围：,（8-44）式）,第二章 振动与波,几种声音近似的声强、声强级和响度,第二章 振动与波,超声波由于频率高、波长短，因此有许多独特的性质。,由前面的（844）式 知，如果振幅相等，介质中的能流密度将和频率的平方成正比。人讲话的声音的频率一般只有一千赫兹左右，而超声波的频率有两万赫兹以上。所以一般人们谈话的声强(能流密度)约为,而目前超声波的声强可达到大约。,特点：1、超声波频率高、能量大，所以产生的振动作用强烈。2、超声波频率高、波长短，衍射现象不明显，故方向性好。3、固体

28、和液体对超声波吸收很弱，因而在固体和液体中衰减很小，穿透力很强。,由于超声波的这些特点，它被广泛应用在生物科学和农林科学等方面。,第二章 振动与波,次声波：一般指频率在10-420Hz 之间的机械波.,在火山爆发、地震、硕石落地、大气湍流、雷暴、磁暴等自然活动中都会有次声波产生。,次声波还会对生物产生影响，某些频率的强次声波能引起人的疲劳和极度痛苦，甚至导致失明。,第八章 振动与波,习题81已知振动方程，试求振动的振幅,频率和初相位，并求t=1s时的位移与速度。,解：将已知的方程与标准方程 比较得：,将t=1s代入振动方程，可得此时的位移：,速度：,所以，将t=1s代入速度方程，可得此时的速度

29、的大小为：,第八章 振动与波,o,y,习题82已知t=0时，由于物体的重量，使弹簧伸长了，求振动的频率和振幅。,解：由胡克定律，伸长量为 时弹力的大小为：,f,mg,当物体在o点平衡时有：,比较上两式得：,由（811）式可求得振动的圆频率：,所以频率：,已知物体在o点处t=0时的：,代入（814）式可得振幅：,第八章 振动与波,习题88已知作简谐振动的物体的,当t=0时,求（1）t=0.5s时，物体所在的位置；,解：先求出振动方程。,由于 得：,由（814）式 可列得：,代入（815）式可得：,将 三个特征量代入（81）式,可得物体的振动为方程：,（1）,也可用（813）式求,第八章 振动与波

30、,将t=0.5s代入（1）式，可得此时物体所在的位置：,（2）求t=0.5s时，物体所受的力的大小与方向；,先求倔强系数，由 可列得：,将 和 的值代入胡克定律公式,可得此时物体所受的力:,（3）由起始位置到x=12cm=0.12m处所需的最少时间；,将x=0.12m代入振动方程（1）得：,反查三角函数得：,故：,第八章 振动与波,（4）求由起始位置运动到x=12cm=0.12m处物体的速度、动能、势能和总能量。,先对方程（1）求导得：,将第（3）问中求出的x=0.12m时的 代入上式得物体的速度：,将以上各值代入式（820）、（821）可得此时物体的动能、势能和总能量：,第八章 振动与波,习

31、题811已知声源的频率，离声源2m处振动的振幅为，初相位为.波速为。求离声源2m处空气的振动表达式和该声波的波长。,解：由（843）式 可求得声波的波长：,由（850）式 和以上各值，可列得x=2m处空气的振动表达式:,第八章 振动与波,习题813已知横波方程,式中的各量以厘米克秒制表示。,求（1）波的振幅、频率、速度和波长。,解：将已知横波方程与波动方程的标准形式（850）式,比较可得：,振幅,频率,波长,波速,第八章 振动与波,（2）求绳中某质点的最大横向速度,由波动方程：,可求得x处质点的振动速度为：,第八章 振动与波,习题815已知一弦线按 方程振动，式中和的单位为厘米，的单位为秒。,求（1）振幅与速度各为多大的两成分波的迭加才能产生上述的振动。,解：将已知的方程与标准驻波方程（869）式：,比较得已知的方程为一驻波方程，故它是由形如以下的两成分波组成：,（1),将已知方程与（1）比较得：,第八章 振动与波,由以上的值代入可得两成分波的波速：,（2）求相邻两波节之间的距离,（3）求在x=3.0cm处，当t=9/8 s时，弦上的速度为多大。,由于弦上x处质点的振动速度为：,故将x=3.0cm、t=9/8 s代入上式，可得相应的速度为：,